14 [2025烟台]如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ ABC=2∠ C$，点$D$在线段$CB$的延长线上，且$BD=AB$，连接$AD$。
（1）求证：$AD$是$\odot O$的切线；
（2）当$AB=5$，$AC=8$时，求$BC$的长及$\odot O$的半径。

14. （1）证明：如图,延长 AO 交$\odot O$于点 E,连接 BE.
∵ $BD=AB$,
∴ $∠D=∠BAD$.
∴ $∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD$.
∵ $∠ABC=2∠C$,
∴ $∠C=∠BAD$.
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,
∴ $∠E=∠C$.
∴ $∠E=∠BAD$.
∵ AE 为$\odot O$的直径,
∴ $∠ABE=90°$.
∴ 在Rt△ABE 中,$∠E+∠BAE=90°$.
∴ $∠BAD+∠BAE=90°$,即$∠DAE=90°$.
∴ $AE⊥AD$.
∵ AE 为$\odot O$的直径,
∴ AD 是$\odot O$的切线
（2）如图,过点 A 作 $AH⊥CD$,垂足为 H,则$∠AHC=90°$.
∵ $∠D=∠BAD,∠C=∠BAD$,
∴ $∠D=∠C$.
∴ $AD=AC=8$.
∵ $AB=5,BD=AB$,
∴ $BD=5$.
∵ $∠BAD=∠C,∠ADB=∠CDA$,
∴ $△DAB∽△DCA$.
∴ $\frac{BD}{AD}=\frac{AD}{CD}$,即$\frac{5}{8}=\frac{8}{CD}$,解得 $CD=\frac{64}{5}$.
∴ $BC=\frac{64}{5}-5=\frac{39}{5}$.
∵ $AD=AC,AH⊥CD$,
∴ $CH=\frac{1}{2}CD=\frac{32}{5}$.
∴ 在Rt△ACH 中,$AH=\sqrt{8^2-(\frac{32}{5})^2}=\frac{24}{5}$.
∵ $∠E=∠C,∠ABE=∠AHC=90°$,
∴ $△ABE∽△AHC$.
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AH}$.
∴ $AE=\frac{AB·AC}{AH}=\frac{25}{3}$.
∴ $\odot O$ 的半径为 $\frac{1}{2}AE=\frac{25}{6}$

15 [2025 南通]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,M为BC的中点,DM交AC于点G.
（1）求证：$AG=2GC$.
（2）设$∠ BCD$与$∠ BDC$的平分线相交于点I.
① 若$AB=6$,$BC=8$,求点I到BC的距离；
② 当$AB+AC=2BC$时,作直线GI交BD,CD于点E,F,求$\frac{EF}{BC}$的值.

15. （1）证明：
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴ $AD// BC$,且 $AD=BC$.
∴ 易得$△ADG∽△CMG$.
∴ $\frac{AG}{CG}=\frac{AD}{CM}$.
∵ M 为 BC 的中点,
∴ $\frac{BC}{CM}=\frac{AD}{CM}=2$.
∴ $\frac{AG}{CG}=2$,即 $AG=2CG$
（2）① 如图①,过点 I 分别作 $IH⊥CD$ 于点 H,$IF⊥BC$ 于点 F,$IN⊥BD$ 于点 N,连接 IB. 设点 I 到 BC 的距离为 x.
∵ $∠BCD$ 与$∠BDC$的平分线相交于点 I,
∴ $IH=IF=IN=x$.
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ $AB=CD=6,∠BCD=90°$.
∴ 在Rt△BCD 中,$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=10$.
∵ $S_{△BCD}=S_{△IBC}+S_{△ICD}+S_{△IBD}$,
∴ $\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×8×IF+\frac{1}{2}×6×IH+\frac{1}{2}×10×IN$,即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×8x+\frac{1}{2}×6x+\frac{1}{2}×10x$,解得 $x=2$.
∴ 点 I 到 BC 的距离为 2
② 如图②,过点 G 作 $GK⊥BC$ 于点 K,$IP⊥BC$ 于点 P,则 $GK// IP$. 设 $AB=m,AC=n$,
∵ $AB+AC=2BC$,
∴ $BC=\frac{m+n}{2}$.
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ $∠ABC=90°$.
∴ 在Rt△ABC 中,$m^2+(\frac{m+n}{2})^2=n^2$,解得 $m_1=-n$(舍去),$m_2=\frac{3}{5}n$.
∴ $△BCD$ 的三边长分别为 $\frac{3}{5}n,\frac{4}{5}n,n$.
∴ 同理于①可求出 $IP=\frac{1}{5}n$.
∵ $∠ABC=∠GKC=90°,∠GCK=∠ACB$,
∴ $△CGK∽△CAB$.
∴ $\frac{GK}{AB}=\frac{CG}{CA}=\frac{CG}{AG+CG}=\frac{1}{3}$.
∴ $GK=\frac{1}{5}n$.
∴ $IP=GK$.
∴ 四边形 GKPI 为矩形.
∴ $EF// BC$.
∴ $△DEF∽△DBC$,四边形 GFCK 是矩形.
∴ 易得$\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{DC}=\frac{2}{3}$