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2. 用公式法解下列方程：
(1) $(x+1)(3x-1)=1$；
(2) $x^2 + 3 = 2\sqrt{3}x$。
(1) $(x+1)(3x-1)=1$；
(2) $x^2 + 3 = 2\sqrt{3}x$。
答案
(1) 整理为$3x^2+2x-2=0$，$a=3,b=2,c=-2$，$\Delta=2^2-4×3×(-2)=28$，代入求根公式得$x=\frac{-2±\sqrt{28}}{6}=\frac{-1±\sqrt{7}}{3}$，即$x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$；(2) 整理为$x^2-2\sqrt{3}x+3=0$，$a=1,b=-2\sqrt{3},c=3$，$\Delta=(-2\sqrt{3})^2-4×1×3=0$，代入求根公式得$x_1=x_2=\sqrt{3}$。
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需按固定步骤操作：①先把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②准确确定$a$、$b$、$c$的取值，需注意各项的符号；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程实数根的情况；④若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最终将结果化简为最简形式即可。本题两个小题均按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 先将原方程展开整理为一般形式：
展开$(x+1)(3x-1)=1$得$3x^2 -x +3x -1 =1$，移项合并同类项得$3x^2+2x-2=0$。
可得$a=3$，$b=2$，$c=-2$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=2^2 - 4×3×(-2)=4+24=28＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{-2\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{3}$，
即$x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$。
(2) 先将原方程移项整理为一般形式：
移项得$x^2 - 2\sqrt{3}x +3=0$，
可得$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3=12-12=0$，方程有两个相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{2\sqrt{3}\pm0}{2}=\sqrt{3}$，
即$x_1=x_2=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$；
(2) $x_1=x_2=\sqrt{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式，根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是严格遵循操作步骤，重点注意整理一般式时的符号问题，计算判别式和求根时要保证运算准确，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需按固定步骤操作：①先把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②准确确定$a$、$b$、$c$的取值，需注意各项的符号；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程实数根的情况；④若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最终将结果化简为最简形式即可。本题两个小题均按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 先将原方程展开整理为一般形式：
展开$(x+1)(3x-1)=1$得$3x^2 -x +3x -1 =1$，移项合并同类项得$3x^2+2x-2=0$。
可得$a=3$，$b=2$，$c=-2$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=2^2 - 4×3×(-2)=4+24=28＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{-2\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{3}$，
即$x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$。
(2) 先将原方程移项整理为一般形式：
移项得$x^2 - 2\sqrt{3}x +3=0$，
可得$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3=12-12=0$，方程有两个相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{2\sqrt{3}\pm0}{2}=\sqrt{3}$，
即$x_1=x_2=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$；
(2) $x_1=x_2=\sqrt{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式，根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，解题核心是严格遵循操作步骤，重点注意整理一般式时的符号问题，计算判别式和求根时要保证运算准确，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
1. 写出一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,b^2-4ac≥0)$的求根公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
。答案
1. $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
解析
【分析】
本题要求写出满足条件的一元二次方程求根公式，解题时可通过回忆配方法推导一元二次方程求根公式的过程得出结果，也可直接调用已记忆的求根公式，需要注意公式中的正负号、分母2a以及题目给出的适用条件，避免出现细节错误。
【解析】
我们通过配方法推导求根公式，步骤如下：
1. 因为$a≠0$，将方程两边同时除以$a$，得：$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
2. 移项，把常数项移到等号右侧：$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
3. 配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$：
$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$
4. 左侧整理为完全平方形式，右侧通分计算：
$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
5. 已知$b^2 - 4ac ≥ 0$，且$4a^2＞0$，对两边同时开平方：
$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
6. 移项整理得求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
【答案】
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式、配方法解一元二次方程、一元二次方程判别式
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对一元二次方程求根公式的掌握程度，求根公式是解一元二次方程的核心工具之一，既要熟练记忆公式内容，也要理解其推导过程，注意公式的适用条件，避免混淆符号、漏写分母等错误。
【难度系数】
0.9
本题要求写出满足条件的一元二次方程求根公式，解题时可通过回忆配方法推导一元二次方程求根公式的过程得出结果，也可直接调用已记忆的求根公式，需要注意公式中的正负号、分母2a以及题目给出的适用条件，避免出现细节错误。
【解析】
我们通过配方法推导求根公式，步骤如下：
1. 因为$a≠0$，将方程两边同时除以$a$，得：$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
2. 移项，把常数项移到等号右侧：$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
3. 配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$：
$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$
4. 左侧整理为完全平方形式，右侧通分计算：
$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
5. 已知$b^2 - 4ac ≥ 0$，且$4a^2＞0$，对两边同时开平方：
$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
6. 移项整理得求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
【答案】
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式、配方法解一元二次方程、一元二次方程判别式
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对一元二次方程求根公式的掌握程度，求根公式是解一元二次方程的核心工具之一，既要熟练记忆公式内容，也要理解其推导过程，注意公式的适用条件，避免混淆符号、漏写分母等错误。
【难度系数】
0.9
2. 若关于x的一元二次方程$2x^2 -3x +k =0$没有实数根，则一次函数$y=kx+1$的图象不经过第
四
象限.答案
2. 四
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程没有实数根的条件，利用根的判别式Δ＜0求出k的取值范围；第二步，根据一次函数的系数k和常数项的正负，判断其图象经过的象限，进而得到不经过的象限。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$2x^2 -3x +k =0$没有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
其中$a=2$，$b=-3$，$c=k$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×2× k ＜ 0$
$9 - 8k ＜ 0$
解得：$k ＞ \frac{9}{8}$，即$k＞0$
对于一次函数$y=kx+1$：
斜率$k＞0$，函数图象从左到右上升；截距$1＞0$，图象与y轴交于正半轴
∴ 该一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限
【答案】
四
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础的小综合题，将一元二次方程根的情况与一次函数图象性质结合考查，解题关键是先准确求出参数k的取值范围，再结合一次函数图象的规律判断即可。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程没有实数根的条件，利用根的判别式Δ＜0求出k的取值范围；第二步，根据一次函数的系数k和常数项的正负，判断其图象经过的象限，进而得到不经过的象限。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$2x^2 -3x +k =0$没有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
其中$a=2$，$b=-3$，$c=k$，代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×2× k ＜ 0$
$9 - 8k ＜ 0$
解得：$k ＞ \frac{9}{8}$，即$k＞0$
对于一次函数$y=kx+1$：
斜率$k＞0$，函数图象从左到右上升；截距$1＞0$，图象与y轴交于正半轴
∴ 该一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限
【答案】
四
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础的小综合题，将一元二次方程根的情况与一次函数图象性质结合考查，解题关键是先准确求出参数k的取值范围，再结合一次函数图象的规律判断即可。
【难度系数】
0.7
3. 用公式法解方程$4x^2 -12x=3$,得到（
D
）答案
3. D
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程的核心思路为：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确识别系数$a$、$b$、$c$，需格外注意系数的符号；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，验证$\Delta≥0$后即可代入求根公式；第三步对求出的根进行化简，对比选项得到答案。
【解析】
首先将方程$4x^2-12x=3$移项整理为一般形式：
$4x^2-12x-3=0$
可得$a=4$，$b=-12$，$c=-3$。
计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4×4×(-3)=144+48=192＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{12\pm\sqrt{192}}{2×4}=\frac{12\pm8\sqrt{3}}{8}$
对结果约分，分子分母同时除以4得：
$x=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{2}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程求根公式，二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，易错点为未将方程化为一般形式就直接确定系数、代入公式时符号出错，或二次根式化简错误，解题时按照步骤逐步计算即可避免失误。
【难度系数】
0.7
使用公式法解一元二次方程的核心思路为：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确识别系数$a$、$b$、$c$，需格外注意系数的符号；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，验证$\Delta≥0$后即可代入求根公式；第三步对求出的根进行化简，对比选项得到答案。
【解析】
首先将方程$4x^2-12x=3$移项整理为一般形式：
$4x^2-12x-3=0$
可得$a=4$，$b=-12$，$c=-3$。
计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4×4×(-3)=144+48=192＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{12\pm\sqrt{192}}{2×4}=\frac{12\pm8\sqrt{3}}{8}$
对结果约分，分子分母同时除以4得：
$x=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{2}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程求根公式，二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，易错点为未将方程化为一般形式就直接确定系数、代入公式时符号出错，或二次根式化简错误，解题时按照步骤逐步计算即可避免失误。
【难度系数】
0.7
4. 判断 $x = \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2 + 4×2×1}}{2×2}$ 是下列哪个一元二次方程的根(
A.$2x^2+3x+1=0$
B.$2x^2-3x+1=0$
C.$2x^2+3x-1=0$
D.$2x^2-3x-1=0$
C
)A.$2x^2+3x+1=0$
B.$2x^2-3x+1=0$
C.$2x^2+3x-1=0$
D.$2x^2-3x-1=0$
答案
4. C
解析
【分析】
本题可通过一元二次方程求根公式的结构反向推导原方程。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的求根公式是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，只需将题干给出的根的表达式与求根公式逐项对应，即可确定系数$a、b、c$的值，进而得到原方程。
【解析】
解：一元二次方程的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(a≠0)$，将题干中的根的表达式与求根公式逐项对比：
1. 对比分母：$2a=2×2$，可得$a=2$；
2. 对比分子的一次项部分：$-b=-3$，可得$b=3$；
3. 对比根号内的判别式部分：$b^2-4ac=3^2+4×2×1$，将$a=2、b=3$代入得：
$9-4×2× c=9+8$
化简得$-8c=8$，解得$c=-1$。
因此原方程为$2x^2+3x-1=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题核心是考查对一元二次方程求根公式结构的掌握程度，只要熟练记忆求根公式的组成，就能快速通过系数对应得到原方程，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
本题可通过一元二次方程求根公式的结构反向推导原方程。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应的求根公式是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，只需将题干给出的根的表达式与求根公式逐项对应，即可确定系数$a、b、c$的值，进而得到原方程。
【解析】
解：一元二次方程的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(a≠0)$，将题干中的根的表达式与求根公式逐项对比：
1. 对比分母：$2a=2×2$，可得$a=2$；
2. 对比分子的一次项部分：$-b=-3$，可得$b=3$；
3. 对比根号内的判别式部分：$b^2-4ac=3^2+4×2×1$，将$a=2、b=3$代入得：
$9-4×2× c=9+8$
化简得$-8c=8$，解得$c=-1$。
因此原方程为$2x^2+3x-1=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题核心是考查对一元二次方程求根公式结构的掌握程度，只要熟练记忆求根公式的组成，就能快速通过系数对应得到原方程，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
5. 已知$(m^2 + n^2)(m^2 + n^2 - 2) - 8 = 0$,则$m^2 + n^2$的值是(
A.4
B.-2
C.4或-2
D.-4或2
A
)A.4
B.-2
C.4或-2
D.-4或2
答案
5. A
解析
【分析】
观察已知方程的结构，发现式子中反复出现$m^2 + n^2$，因此可采用换元法简化计算：先将$m^2 + n^2$设为一个新的未知数$t$，同时根据平方的非负性可知$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解后，再结合$t$的取值范围舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
设$t = m^2 + n^2$，由平方的非负性可知$m^2≥0$，$n^2≥0$，因此$t≥0$。
将原方程中的$m^2 + n^2$替换为$t$，可得：
$t(t - 2) - 8 = 0$
展开并整理方程：
$t^2 - 2t - 8 = 0$
对左边因式分解得：
$(t - 4)(t + 2) = 0$
解得$t_1 = 4$，$t_2 = -2$。
因为$t≥0$，所以$t = -2$不符合要求，舍去，因此$m^2 + n^2 = 4$。
【答案】
A
【知识点】
换元法解方程、因式分解法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题的解题关键是利用换元法将复杂方程转化为常见的一元二次方程，解题时要注意挖掘式子中的隐含条件，对求解出的根进行验证，避免忽略取值范围造成错解。
【难度系数】
0.7
观察已知方程的结构，发现式子中反复出现$m^2 + n^2$，因此可采用换元法简化计算：先将$m^2 + n^2$设为一个新的未知数$t$，同时根据平方的非负性可知$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解后，再结合$t$的取值范围舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
设$t = m^2 + n^2$，由平方的非负性可知$m^2≥0$，$n^2≥0$，因此$t≥0$。
将原方程中的$m^2 + n^2$替换为$t$，可得：
$t(t - 2) - 8 = 0$
展开并整理方程：
$t^2 - 2t - 8 = 0$
对左边因式分解得：
$(t - 4)(t + 2) = 0$
解得$t_1 = 4$，$t_2 = -2$。
因为$t≥0$，所以$t = -2$不符合要求，舍去，因此$m^2 + n^2 = 4$。
【答案】
A
【知识点】
换元法解方程、因式分解法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题的解题关键是利用换元法将复杂方程转化为常见的一元二次方程，解题时要注意挖掘式子中的隐含条件，对求解出的根进行验证，避免忽略取值范围造成错解。
【难度系数】
0.7
6. 用公式法解下列方程：
(1) $4x^2 - 3x + 1 = 0$;
(2) $5x + 2 = 3x^2$;
(3) $(x - 2)(3x - 5) = 0$;
(4) $x^2 - 4x - 12 = 0$.
(1) $4x^2 - 3x + 1 = 0$;
(2) $5x + 2 = 3x^2$;
(3) $(x - 2)(3x - 5) = 0$;
(4) $x^2 - 4x - 12 = 0$.
答案
(1) 无实数根;(2)$x_1 = 2,x_2 = -\frac{1}{3}$;(3)$x_1 = 2,x_2 = \frac{5}{3}$;(4)$x_1 = 6,x_2 = -2$
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程的通用解题思路如下：①先将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②准确对应找出系数$a$、$b$、$c$的值，注意符号要一起带入；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta＜0$，则方程无实数根；若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。所有小题均按此步骤逐一求解。
【解析】
(1) 方程$4x^2 - 3x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=4$，$b=-3$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×4×1 = 9 - 16 = -7 ＜ 0$，因此该方程无实数根。
(2) 先将方程整理为一般形式：$3x^2 - 5x - 2 = 0$，其中$a=3$，$b=-5$，$c=-2$。
计算判别式：$\Delta = (-5)^2 - 4×3×(-2) = 25 + 24 = 49 ＞ 0$，代入求根公式得：
$x = \frac{5\pm\sqrt{49}}{2×3} = \frac{5\pm7}{6}$
因此$x_1=\frac{5+7}{6}=2$，$x_2=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}$。
(3) 先展开整理为一般形式：$3x^2 - 11x + 10 = 0$，其中$a=3$，$b=-11$，$c=10$。
计算判别式：$\Delta = (-11)^2 - 4×3×10 = 121 - 120 = 1 ＞ 0$，代入求根公式得：
$x = \frac{11\pm\sqrt{1}}{2×3} = \frac{11\pm1}{6}$
因此$x_1=\frac{11+1}{6}=2$，$x_2=\frac{11-1}{6}=\frac{5}{3}$。
(4) 方程$x^2 - 4x - 12 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-4$，$c=-12$。
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-12) = 16 + 48 = 64 ＞ 0$，代入求根公式得：
$x = \frac{4\pm\sqrt{64}}{2×1} = \frac{4\pm8}{2}$
因此$x_1=\frac{4+8}{2}=6$，$x_2=\frac{4-8}{2}=-2$。
【答案】
(1) 无实数根；(2)$x_1 = 2,x_2 = -\frac{1}{3}$；(3)$x_1 = 2,x_2 = \frac{5}{3}$；(4)$x_1 = 6,x_2 = -2$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 根的判别式
3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程公式法求解的基础训练题，解题的核心是严格按照公式法的步骤操作，特别注意确定$a$、$b$、$c$时不要弄错符号，计算判别式是判断根的情况的关键，避免判别式小于0时仍盲目代入求根公式的错误。
【难度系数】
0.75
使用公式法解一元二次方程的通用解题思路如下：①先将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②准确对应找出系数$a$、$b$、$c$的值，注意符号要一起带入；③计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，若$\Delta＜0$，则方程无实数根；若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。所有小题均按此步骤逐一求解。
【解析】
(1) 方程$4x^2 - 3x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=4$，$b=-3$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×4×1 = 9 - 16 = -7 ＜ 0$，因此该方程无实数根。
(2) 先将方程整理为一般形式：$3x^2 - 5x - 2 = 0$，其中$a=3$，$b=-5$，$c=-2$。
计算判别式：$\Delta = (-5)^2 - 4×3×(-2) = 25 + 24 = 49 ＞ 0$，代入求根公式得：
$x = \frac{5\pm\sqrt{49}}{2×3} = \frac{5\pm7}{6}$
因此$x_1=\frac{5+7}{6}=2$，$x_2=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}$。
(3) 先展开整理为一般形式：$3x^2 - 11x + 10 = 0$，其中$a=3$，$b=-11$，$c=10$。
计算判别式：$\Delta = (-11)^2 - 4×3×10 = 121 - 120 = 1 ＞ 0$，代入求根公式得：
$x = \frac{11\pm\sqrt{1}}{2×3} = \frac{11\pm1}{6}$
因此$x_1=\frac{11+1}{6}=2$，$x_2=\frac{11-1}{6}=\frac{5}{3}$。
(4) 方程$x^2 - 4x - 12 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-4$，$c=-12$。
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-12) = 16 + 48 = 64 ＞ 0$，代入求根公式得：
$x = \frac{4\pm\sqrt{64}}{2×1} = \frac{4\pm8}{2}$
因此$x_1=\frac{4+8}{2}=6$，$x_2=\frac{4-8}{2}=-2$。
【答案】
(1) 无实数根；(2)$x_1 = 2,x_2 = -\frac{1}{3}$；(3)$x_1 = 2,x_2 = \frac{5}{3}$；(4)$x_1 = 6,x_2 = -2$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 根的判别式
3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程公式法求解的基础训练题，解题的核心是严格按照公式法的步骤操作，特别注意确定$a$、$b$、$c$时不要弄错符号，计算判别式是判断根的情况的关键，避免判别式小于0时仍盲目代入求根公式的错误。
【难度系数】
0.75
