例1 以下一元二次方程有两个相等实数根的是()

A.$x^2 -6x=0$
B.$x^2 -9=0$
C.$x^2 -6x +6=0$
D.$x^2 -6x +9=0$

例1 D

【分析】
要判断一元二次方程是否有两个相等的实数根，需用到根的判别式$\Delta=b^2-4ac$：当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。解题时先确定每个选项中一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再分别计算$\Delta$的值，找到$\Delta=0$的选项即为答案。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
逐个分析选项：
A. 方程$x^2-6x=0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=0$，$\Delta=(-6)^2-4×1×0=36＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B. 方程$x^2-9=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=-9$，$\Delta=0^2-4×1×(-9)=36＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C. 方程$x^2-6x+6=0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=6$，$\Delta=(-6)^2-4×1×6=12＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D. 方程$x^2-6x+9=0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=9$，$\Delta=(-6)^2-4×1×9=0$，方程有两个相等的实数根，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，只要准确识别方程各项系数、正确计算判别式，就能快速解题，是该知识点的常规考法。
【难度系数】
0.85

变式1 若关于x的一元二次方程
$kx^2 - 2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则k
的取值范围是()

A.$k ＞ -1$
B.$k ＞ -1$且$k ≠ 0$
C.$k ＜ 1$
D.$k ＜ 1$且$k ≠ 0$

变式1 B

【分析】
要确定k的取值范围，需结合题目给出的两个条件推导：①该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式大于0。我们先根据一元二次方程的定义得到k的第一个限制条件，再代入判别式公式列不等式求解，最后合并两个条件即可得到结果。
【解析】
∵ 方程$kx^2 - 2x - 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=k$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × k × (-1) = 4 + 4k ＞ 0$
解不等式$4 + 4k ＞ 0$：
移项得$4k ＞ -4$，两边同时除以4得$k ＞ -1$
结合$k ≠ 0$的条件，可得k的取值范围是$k ＞ -1$且$k ≠ 0$
故选B
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程相关性质，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解导致错选A，解题时要注意先识别题干的限定条件再计算。
【难度系数】
0.7

变式2 若关于x的方程$kx^2 - 2x - 1 = 0$有实数根，则k的取值范围是（）

A.$k ≥ -1$
B.$k ≥ -1$且$k ≠ 0$
C.$k ＜ 1$
D.$k ＜ 1$且$k ≠ 0$

变式2 A

【分析】
这道题考查含参数的方程有实数根时参数的取值范围，解题时首先要注意题目没有明确说明方程是一元二次方程，因此需要分两种情况讨论：①当k=0时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，利用根的判别式Δ≥0求解k的取值范围，最后合并两种情况的结果即可得到最终k的取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化简为$-2x -1 = 0$，这是一元一次方程，解得$x = -\frac{1}{2}$，有实数根，符合题意；
2. 当$k≠0$时，原方程是一元二次方程，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta≥0$时方程有实数根。
此处$a=k$，$b=-2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× k× (-1) = 4 + 4k$
令$\Delta≥0$，即$4 + 4k ≥ 0$，解得$k ≥ -1$，结合$k≠0$的前提，此情况下k的取值范围是$k≥-1$且$k≠0$。
综合两种情况，k的取值范围是$k≥-1$。
【答案】
A
【知识点】
1. 根的判别式应用 2. 一元一次方程定义 3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认原方程为一元二次方程，直接添加$k≠0$的限制条件从而误选B，解题时要注意审题，若题目没有明确说明方程为二次方程，需要考虑二次项系数为0的特殊情况。
【难度系数】
0.6

例2 用公式法解下列方程：
(1)$x^2 -4x -7=0$；
(2)$2x^2 -2\sqrt{2}x +1=0$；
(3)$5x^2 -3x =x+1$；
(4)$x^2 +17=8x$。

例2 (1) $a=1,b=-4,c=-7$，$\Delta=(-4)^2-4×1×(-7)=44$，代入求根公式得$x=\frac{4±\sqrt{44}}{2}=2±\sqrt{11}$，即$x_1=2+\sqrt{11}$，$x_2=2-\sqrt{11}$；(2) $a=2,b=-2\sqrt{2},c=1$，$\Delta=(-2\sqrt{2})^2-4×2×1=0$，代入求根公式得$x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$；(3) 整理为$5x^2-4x-1=0$，$a=5,b=-4,c=-1$，$\Delta=(-4)^2-4×5×(-1)=36$，代入求根公式得$x=\frac{4±6}{10}$，即$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{5}$；(4) 整理为$x^2-8x+17=0$，$a=1,b=-8,c=17$，$\Delta=(-8)^2-4×1×17=-4＜0$，方程无实数根。

【分析】
用公式法解一元二次方程的通用步骤为：①先将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确保等号右边为0；②确定对应系数$a$、$b$、$c$的值，注意要带上系数前面的符号；③计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根；④当$\Delta≥0$时，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算出方程的根，结果要化为最简形式。本题4个小题均按此步骤求解即可，其中第(3)(4)题需先移项整理为一般形式。
【解析】
(1) 方程$x^2 -4x -7=0$为一般形式，
得$a=1$，$b=-4$，$c=-7$，
判别式$\Delta=(-4)^2-4×1×(-7)=44＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{4±\sqrt{44}}{2}=2±\sqrt{11}$。
(2) 方程$2x^2 -2\sqrt{2}x +1=0$为一般形式，
得$a=2$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=1$，
判别式$\Delta=(-2\sqrt{2})^2-4×2×1=0$，
代入求根公式得$x=\frac{2\sqrt{2}±0}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(3) 整理方程：移项合并同类项得$5x^2-4x-1=0$，
得$a=5$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta=(-4)^2-4×5×(-1)=36＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{4±\sqrt{36}}{10}=\frac{4±6}{10}$。
(4) 整理方程：移项得$x^2-8x+17=0$，
得$a=1$，$b=-8$，$c=17$，
判别式$\Delta=(-8)^2-4×1×17=-4＜0$。
【答案】
(1) $x_1=2+\sqrt{11}$，$x_2=2-\sqrt{11}$；
(2) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(3) $x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{5}$；
(4) 方程无实数根。
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程求根公式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，重点考查公式法的标准化解题步骤，解题时需注意先将方程化为一般形式再确定系数，通过判别式提前判断根的情况可简化计算，要格外注意系数的符号和二次根式的化简，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8