5.(2025·南阳期末)用配方法解一元二次方程$4x^2 + bx + a = 0$得$2x - 3 = \pm\sqrt{6}$，则$b$的值为.

5. -12

【分析】
解题思路为逆向运用配方法的推导过程：配方法解一元二次方程的最终结果是将方程变形为“含未知数的一次式=±常数”的形式，我们可以先将给出的结果两边平方，还原为配平后的完全平方形式，再展开整理为一元二次方程的一般式，最后和原方程对比一次项系数，即可求出b的值。
【解析】
1. 对等式$2x - 3 = \pm\sqrt{6}$两边同时平方，得：
$(2x - 3)^2 = (\pm\sqrt{6})^2$
即$(2x - 3)^2 = 6$
2. 展开完全平方公式，得：
$4x^2 - 12x + 9 = 6$
3. 移项整理为一元二次方程的一般形式：
$4x^2 - 12x + 3 = 0$
4. 将整理后的方程与原方程$4x^2 + bx + a = 0$对比，对应项系数相等，因此一次项系数$b = -12$。
【答案】
-12
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；多项式系数对应相等
【点评】
本题考查配方法的逆向应用，无需正向执行配方法步骤，只要熟悉配方法的变形逻辑，通过还原配方法的结果得到原方程，再对比系数即可求解，解题门槛较低。
【难度系数】
0.7

1. 将下列方程化为一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) $3x^2 - x = 2$ 化为一般形式: .
它的二次项系数 $a=$ ,一次项系数 $b=$ ,常数项 $c=$ .
(2) $x(2x - 1) - 3x(x - 2) = 0$ 化为一般形式: .
它的二次项系数 $a=$ ,一次项系数 $b=$ ,常数项 $c=$ .

1. (1) 一般形式为$3x^2 -x -2=0$，二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-2$；(2) 一般形式为$-x^2 +5x=0$，二次项系数$a=-1$，一次项系数$b=5$，常数项$c=0$。

【分析】
要解决这类问题，首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题思路如下：第一步，通过移项、去括号、合并同类项等操作，将方程整理为等号右侧为0、左侧按未知数降幂排列的形式；第二步，对照一般形式确定各项系数，注意系数需要保留前面的正负号，若方程没有单独的常数项，则常数项为0。
【解析】
(1) 对$3x^2 - x = 2$移项，将右侧的2移到左侧并变号，得到一般形式：$3x^2 - x - 2 = 0$。对照一般形式，二次项为$3x^2$，因此二次项系数$a=3$；一次项为$-x$，因此一次项系数$b=-1$；常数项为$-2$，即$c=-2$。
(2) 对$x(2x - 1) - 3x(x - 2) = 0$先去括号，得$2x^2 - x - 3x^2 + 6x = 0$，再合并同类项：$(2x^2-3x^2)+(-x+6x)=0$，整理得一般形式：$-x^2 + 5x = 0$。对照一般形式，二次项为$-x^2$，因此二次项系数$a=-1$；一次项为$5x$，因此一次项系数$b=5$；方程无单独常数项，因此常数项$c=0$。
【答案】
(1) $3x^2 -x -2=0$；$3$；$-1$；$-2$
(2) $-x^2 +5x=0$；$-1$；$5$；$0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式的加减运算
【点评】
本题是一元二次方程的基础题，主要考查一般形式的转化和各项系数的确定，解题时要注意移项、去括号的符号规则，确定系数时不要漏掉正负号，不要忽略常数项为0的情况。
【难度系数】
0.8

2. 用配方法解下列方程：
(1) $x^2 -6x +5=0$；
(2) $2x^2 -7x +3=0$。

(1) 移项得$x^2-6x=-5$，配方得$x^2-6x+9=-5+9$，即$(x-3)^2=4$，开方得$x-3=±2$，解得$x_1=1$，$x_2=5$；(2) 二次项系数化为1得$x^2-\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}=0$，移项得$x^2-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$，配方得$x^2-\frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{25}{16}$，开方得$x-\frac{7}{4}=±\frac{5}{4}$，解得$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$。

【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，配方法的核心是将方程左侧转化为完全平方式，通过开平方实现降次求解。解题思路分为两类：①当二次项系数为1时，按“移项→配方→写成完全平方形式→开平方→求解”的步骤操作；②当二次项系数不为1时，先将二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数），再按上述步骤求解，注意配方时等号左右两侧要同时加一次项系数一半的平方，保证等式成立。
【解析】
(1) 移项得 $x^2-6x=-5$，
配方得 $x^2-6x+9=-5+9$，即 $(x-3)^2=4$，
开方得 $x-3=\pm2$，
解得 $x_1=1$，$x_2=5$。
(2) 二次项系数化为1得 $x^2-\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}=0$，
移项得 $x^2-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$，
配方得 $x^2-\frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^2=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$，即 $(x-\frac{7}{4})^2=\frac{25}{16}$，
开方得 $x-\frac{7}{4}=\pm\frac{5}{4}$，
解得 $x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=5$；(2) $x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的标准操作步骤，易错点为配方时漏加等号右侧的常数、二次项系数化1时漏除常数项，熟练掌握本题解题步骤可为后续学习一元二次方程其他解法、二次函数等知识夯实基础。
【难度系数】
0.8

3. 自学教科书第9页到第12页,回答下列问题,并标记出你认为重要的内容.
(1) 用配方法求出方程$ax^2 + bx + c = 0$($a≠0$)的两根是什么? 根是由方程中的哪些值确定的?
(2) 什么叫公式法?

(1) 两根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，根由方程的系数$a、b、c$的值确定；(2) 利用一元二次方程的求根公式，代入方程的系数直接求解一元二次方程的方法叫做公式法。

【分析】
对于第(1)问，按照配方法解一元二次方程的标准步骤推导即可：首先因a≠0，可先将方程二次项系数化为1，再通过移项、配方把方程左边变形为完全平方式，右边合并为常数，再根据平方根的性质开方求解得到两根，观察根的表达式就能确定根由哪些量决定。对于第(2)问，结合第(1)问推导得到的求根公式，总结公式法的定义即可。
【解析】
(1) 配方法推导过程：
已知$a≠0$，将方程$ax^2 + bx + c = 0$两边同时除以a，得：
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
移项得：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
配方，两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得：
$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$
左边整理为完全平方式，右边通分计算得：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
当$b^2-4ac≥0$时，两边开平方得：
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
移项后得到两根：$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
观察根的表达式可知，根由方程的系数a、b、c的值确定。
(2) 推导得到求根公式后，只需确定一元二次方程的系数a、b、c，代入公式就能直接求解方程的根，这种求解方法就是公式法。
【答案】
(1) 两根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，根由方程的系数$a、b、c$的值确定；(2) 利用一元二次方程的求根公式，代入方程的系数直接求解一元二次方程的方法叫做公式法。
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；公式法定义
【点评】
本题是一元二次方程公式法的基础考查题，既考查配方法的应用，能帮助加深对求根公式来源的理解，又考查公式法的基本概念，是后续运用公式法解方程的必备基础。
【难度系数】
0.8

用配方法解一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$.
移项,得 $ax^2+bx=-c$.
二次项系数化为1,得 ,
配方,得 $x^2+\dfrac{b}{a}x+$ $=$ $-\dfrac{c}{a}$,
即( $)^2=$ . ①
对于方程①的求解,我们需要讨论方程右边式子的值.
因为 $a≠0$,所以 $4a^2＞0$.式子 $b^2-4ac$ 的值有以下三种情况:
(1)当 $b^2-4ac＞0$ 时,$\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}＞0$,直接开平方,得

$\therefore x_1=$ ,$x_2=$ ,此时方程有两个不相等的实数根.
(2)当 $b^2-4ac=0$ 时,$\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=0$,此时方程有两个相等的实数根,即
$x_1=x_2=$ .
(3)当 $b^2-4ac＜0$ 时,$\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}＜0$,此时 $(x+\dfrac{b}{2a})^2＜0$,而 $x$ 取任何实数都不能使 $(x+\dfrac{b}{2a})^2＜0$ 成立,因此方程 实数根.
【归纳总结】一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根由方程的系数 $a,b,c$ 决定.
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 $ax^2+bx+c=0$.
当 $b^2-4ac≥0$ 时,将 $a,b,c$ 代入式子 $x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 就得到方程的根;
当 $b^2-4ac＜0$ 时,方程没有实数根.
(2)$x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 叫作一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
(4)由求根公式可知,一元二次方程有
实数根或者 实根.
(5)一般地,式子 $b^2-4ac$ 叫作一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 根的判别式,通常用希腊字母“$\Delta$”表示,即 $\Delta=b^2-4ac$.
(6)公式法解一元二次方程的步骤:
①变形:将已知方程化为一般形式.
②确定数值:确定 $a,b,c$ 的值.
③计算:求出 $b^2-4ac$ 的值,根据 $b^2-4ac$ 值的情况确定方程是否有解.
④代入:若 $b^2-4ac≥0$,则将 $a,b,c$ 的值代入求根公式计算.
⑤定根:求出原方程的根.

二次项系数化为1得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，配方得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$，即$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；(1) $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；(2) $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$；(3) 方程没有实数根；归纳总结：一元二次方程有两个不相等的实数根或者两个相等的实数根，或者没有实数根。

【分析】
本题考查用配方法推导一元二次方程求根公式，解题需严格遵循配方法的固定逻辑：首先因$a≠0$，可将方程二次项系数化为1；其次根据完全平方公式的结构，等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并同类项；最后结合平方根的性质（只有非负数才有实数平方根），分$b^2-4ac＞0$、$=0$、$＜0$三种情况讨论根的情况，最终归纳出一元二次方程根的三类结果。
【解析】
1. 二次项系数化为1：等式$ax^2+bx=-c$两边同时除以$a(a≠0)$，得$x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}$；
2. 配方：一次项系数为$\dfrac{b}{a}$，其一半的平方为$(\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2}{4a^2}$，等式两边同时加$\dfrac{b^2}{4a^2}$，得$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}$；
3. 整理完全平方式：左侧写成完全平方形式，右侧通分合并，得$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$；
4. 分情况讨论根的情况：
(1) 当$b^2-4ac＞0$时，对等式开平方得$x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，移项后得两个不等实根$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
(2) 当$b^2-4ac=0$时，等式右侧为0，开平方得$x+\dfrac{b}{2a}=0$，即两个相等实根$x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}$；
(3) 当$b^2-4ac＜0$时，等式右侧为负数，实数的平方不可能为负，因此方程没有实数根；
5. 归纳总结：一元二次方程根的情况分为三类，即有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、没有实数根。
【答案】
二次项系数化为1得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，配方得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$，即$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
(1) $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
(2) $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$；
(3) 没有；
归纳总结：两个不相等的；两个相等的。
【知识点】
配方法解一元二次方程；求根公式；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程公式法的核心推导过程，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键，通过本题能够清晰理解根的判别式与方程根的情况的对应关系，为后续快速用公式法求解一元二次方程奠定基础。
【难度系数】
0.7