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例2 试用配方法说明:无论$k$取任何实数,多项式$k^2 -4k +5$的值必定大于零.
答案
例2 对多项式配方得$k^2-4k+5=k^2-4k+4+1=(k-2)^2+1$，因为$(k-2)^2≥0$，所以$(k-2)^2+1≥1＞0$，因此无论k取任何实数，多项式的值必定大于零。
解析
【分析】
要证明多项式的值恒大于0，可通过配方法将二次三项式转化为“完全平方式+常数”的形式，再结合完全平方的非负性判断整体取值范围。具体思路为：该多项式二次项系数为1，先把常数项拆成一次项系数一半的平方与剩余常数的和，将含k的项凑成完全平方式，再根据平方数的非负性推导整个式子的最小值，即可证明其恒大于0。
【解析】
对多项式进行配方：
$\begin{aligned}k^2 - 4k + 5&=k^2 - 4k + 4 + 1\\&=(k-2)^2 + 1\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(k-2)^2 ≥ 0$
∴ $(k-2)^2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 ＞ 0$
因此无论k取任何实数，多项式的值必定大于零。
【答案】
无论k取任何实数，多项式$k^2 -4k +5$的值必定大于零。
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型基础应用题型，核心是通过配方将代数式转化为非负式加常数的形式，结合平方的非负性即可判断代数式的取值范围，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明多项式的值恒大于0，可通过配方法将二次三项式转化为“完全平方式+常数”的形式，再结合完全平方的非负性判断整体取值范围。具体思路为：该多项式二次项系数为1，先把常数项拆成一次项系数一半的平方与剩余常数的和，将含k的项凑成完全平方式，再根据平方数的非负性推导整个式子的最小值，即可证明其恒大于0。
【解析】
对多项式进行配方：
$\begin{aligned}k^2 - 4k + 5&=k^2 - 4k + 4 + 1\\&=(k-2)^2 + 1\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(k-2)^2 ≥ 0$
∴ $(k-2)^2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 ＞ 0$
因此无论k取任何实数，多项式的值必定大于零。
【答案】
无论k取任何实数，多项式$k^2 -4k +5$的值必定大于零。
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型基础应用题型，核心是通过配方将代数式转化为非负式加常数的形式，结合平方的非负性即可判断代数式的取值范围，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1)求$2x^2 -4x +5$的最小值；
(2)求$-3x^2 +5x +1$的最大值。
(2)求$-3x^2 +5x +1$的最大值。
答案
1. $2x^2-4x+5=2(x^2-2x)+5=2(x-1)^2+3$，因为$2(x-1)^2≥0$，所以当x=1时，多项式取得最小值3；2. $-3x^2+5x+1=-3(x^2-\frac{5}{3}x)+1=-3(x-\frac{5}{6})^2+\frac{37}{12}$，因为$-3(x-\frac{5}{6})^2≤0$，所以当$x=\frac{5}{6}$时，多项式取得最大值$\frac{37}{12}$。
解析
【分析】
对于二次三项式求最值，我们可以通过配方法将原式变形为$a(x-h)^2+k$的形式，再结合完全平方的非负性判断最值：若二次项系数$a＞0$，则$a(x-h)^2≥0$，原式最小值为$k$，在$x=h$时取得；若$a＜0$，则$a(x-h)^2≤0$，原式最大值为$k$，在$x=h$时取得。解题时先提取二次项系数，再对剩余部分凑完全平方，最后调整常数项即可。
【解析】
(1) 对$2x^2 -4x +5$配方：
先提取二次项系数2，得$2(x^2-2x)+5$，
对括号内凑完全平方：$x^2-2x=(x-1)^2-1$，代入得：
$2[(x-1)^2-1]+5=2(x-1)^2-2+5=2(x-1)^2+3$，
$\because 2(x-1)^2≥0$，
$\therefore$ 当$x=1$时，$2(x-1)^2=0$，此时多项式取得最小值3。
(2) 对$-3x^2 +5x +1$配方：
先提取二次项系数$-3$，得$-3(x^2-\frac{5}{3}x)+1$，
对括号内凑完全平方：$x^2-\frac{5}{3}x=(x-\frac{5}{6})^2-(\frac{5}{6})^2=(x-\frac{5}{6})^2-\frac{25}{36}$，代入得：
$-3[(x-\frac{5}{6})^2-\frac{25}{36}]+1=-3(x-\frac{5}{6})^2+\frac{25}{12}+1=-3(x-\frac{5}{6})^2+\frac{37}{12}$，
$\because -3(x-\frac{5}{6})^2≤0$，
$\therefore$ 当$x=\frac{5}{6}$时，$-3(x-\frac{5}{6})^2=0$，此时多项式取得最大值$\frac{37}{12}$。
【答案】
(1) 最小值为$\boldsymbol{3}$；(2) 最大值为$\boldsymbol{\frac{37}{12}}$
【知识点】
配方法；完全平方的非负性；二次多项式最值
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，结合完全平方的非负性即可快速求出最值，掌握方法后解题难度很低。
【难度系数】
0.7
对于二次三项式求最值，我们可以通过配方法将原式变形为$a(x-h)^2+k$的形式，再结合完全平方的非负性判断最值：若二次项系数$a＞0$，则$a(x-h)^2≥0$，原式最小值为$k$，在$x=h$时取得；若$a＜0$，则$a(x-h)^2≤0$，原式最大值为$k$，在$x=h$时取得。解题时先提取二次项系数，再对剩余部分凑完全平方，最后调整常数项即可。
【解析】
(1) 对$2x^2 -4x +5$配方：
先提取二次项系数2，得$2(x^2-2x)+5$，
对括号内凑完全平方：$x^2-2x=(x-1)^2-1$，代入得：
$2[(x-1)^2-1]+5=2(x-1)^2-2+5=2(x-1)^2+3$，
$\because 2(x-1)^2≥0$，
$\therefore$ 当$x=1$时，$2(x-1)^2=0$，此时多项式取得最小值3。
(2) 对$-3x^2 +5x +1$配方：
先提取二次项系数$-3$，得$-3(x^2-\frac{5}{3}x)+1$，
对括号内凑完全平方：$x^2-\frac{5}{3}x=(x-\frac{5}{6})^2-(\frac{5}{6})^2=(x-\frac{5}{6})^2-\frac{25}{36}$，代入得：
$-3[(x-\frac{5}{6})^2-\frac{25}{36}]+1=-3(x-\frac{5}{6})^2+\frac{25}{12}+1=-3(x-\frac{5}{6})^2+\frac{37}{12}$，
$\because -3(x-\frac{5}{6})^2≤0$，
$\therefore$ 当$x=\frac{5}{6}$时，$-3(x-\frac{5}{6})^2=0$，此时多项式取得最大值$\frac{37}{12}$。
【答案】
(1) 最小值为$\boldsymbol{3}$；(2) 最大值为$\boldsymbol{\frac{37}{12}}$
【知识点】
配方法；完全平方的非负性；二次多项式最值
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，结合完全平方的非负性即可快速求出最值，掌握方法后解题难度很低。
【难度系数】
0.7
2. 解下列方程：
(1)$x^2 + 10x + 9 = 0$；
(2)$x^2 - x - \frac{7}{4} = 0$；
(3)$2x^2 - x - 1 = 0$；
(4)$4t^2 - 8t = 1$。
(1)$x^2 + 10x + 9 = 0$；
(2)$x^2 - x - \frac{7}{4} = 0$；
(3)$2x^2 - x - 1 = 0$；
(4)$4t^2 - 8t = 1$。
答案
(1) 移项配方得$(x+5)^2=16$，解得$x_1=-1$，$x_2=-9$；(2) 配方得$(x-\frac{1}{2})^2=2$，解得$x_1=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$，$x_2=\frac{1}{2}-\sqrt{2}$；(3) 二次项系数化为1后配方得$(x-\frac{1}{4})^2=\frac{9}{16}$，解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$；(4) 二次项系数化为1后配方得$(t-1)^2=\frac{5}{4}$，解得$t_1=1+\frac{\sqrt{5}}{2}$，$t_2=1-\frac{\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路遵循配方法的通用步骤：1. 若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；2. 移项，将常数项移到方程等号右侧，含未知数的项留在左侧；3. 配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；4. 用直接开平方法求解方程的根。操作时注意移项要变号，配方时等号两侧要同时加常数，避免漏加出错。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 10x + 9 = 0$：
移项，得$x^2 + 10x = -9$，
配方，两边同时加$5^2$（一次项系数10的一半的平方），得$x^2 + 10x + 25 = -9 + 25$，
整理得$(x+5)^2 = 16$，
开平方得$x+5 = \pm 4$，
即$x+5=4$或$x+5=-4$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-9$。
(2) 解方程$x^2 - x - \frac{7}{4} = 0$：
移项，得$x^2 - x = \frac{7}{4}$，
配方，两边同时加$(\frac{1}{2})^2$（一次项系数-1的一半的平方），得$x^2 - x + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} + \frac{1}{4}$，
整理得$(x-\frac{1}{2})^2 = 2$，
开平方得$x-\frac{1}{2} = \pm \sqrt{2}$，
解得$x_1=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$，$x_2=\frac{1}{2}-\sqrt{2}$。
(3) 解方程$2x^2 - x - 1 = 0$：
二次项系数化为1，两边同时除以2，得$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$，
移项，得$x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$，
配方，两边同时加$(\frac{1}{4})^2$（一次项系数$-\frac{1}{2}$的一半的平方），得$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{16}$，
整理得$(x-\frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$，
开平方得$x-\frac{1}{4} = \pm \frac{3}{4}$，
即$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$或$x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(4) 解方程$4t^2 - 8t = 1$：
二次项系数化为1，两边同时除以4，得$t^2 - 2t = \frac{1}{4}$，
配方，两边同时加$1^2$（一次项系数-2的一半的平方），得$t^2 - 2t + 1 = \frac{1}{4} + 1$，
整理得$(t-1)^2 = \frac{5}{4}$，
开平方得$t-1 = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得$t_1=1+\frac{\sqrt{5}}{2}$，$t_2=1-\frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=-1$，$x_2=-9$；(2)$x_1=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$，$x_2=\frac{1}{2}-\sqrt{2}$；(3)$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$；(4)$t_1=1+\frac{\sqrt{5}}{2}$，$t_2=1-\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题的核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等号两边要同时加上一次项系数一半的平方，避免因漏加或错加常数导致计算错误。
【难度系数】
0.75
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路遵循配方法的通用步骤：1. 若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；2. 移项，将常数项移到方程等号右侧，含未知数的项留在左侧；3. 配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；4. 用直接开平方法求解方程的根。操作时注意移项要变号，配方时等号两侧要同时加常数，避免漏加出错。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 10x + 9 = 0$：
移项，得$x^2 + 10x = -9$，
配方，两边同时加$5^2$（一次项系数10的一半的平方），得$x^2 + 10x + 25 = -9 + 25$，
整理得$(x+5)^2 = 16$，
开平方得$x+5 = \pm 4$，
即$x+5=4$或$x+5=-4$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-9$。
(2) 解方程$x^2 - x - \frac{7}{4} = 0$：
移项，得$x^2 - x = \frac{7}{4}$，
配方，两边同时加$(\frac{1}{2})^2$（一次项系数-1的一半的平方），得$x^2 - x + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} + \frac{1}{4}$，
整理得$(x-\frac{1}{2})^2 = 2$，
开平方得$x-\frac{1}{2} = \pm \sqrt{2}$，
解得$x_1=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$，$x_2=\frac{1}{2}-\sqrt{2}$。
(3) 解方程$2x^2 - x - 1 = 0$：
二次项系数化为1，两边同时除以2，得$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$，
移项，得$x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$，
配方，两边同时加$(\frac{1}{4})^2$（一次项系数$-\frac{1}{2}$的一半的平方），得$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{16}$，
整理得$(x-\frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$，
开平方得$x-\frac{1}{4} = \pm \frac{3}{4}$，
即$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$或$x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(4) 解方程$4t^2 - 8t = 1$：
二次项系数化为1，两边同时除以4，得$t^2 - 2t = \frac{1}{4}$，
配方，两边同时加$1^2$（一次项系数-2的一半的平方），得$t^2 - 2t + 1 = \frac{1}{4} + 1$，
整理得$(t-1)^2 = \frac{5}{4}$，
开平方得$t-1 = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得$t_1=1+\frac{\sqrt{5}}{2}$，$t_2=1-\frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=-1$，$x_2=-9$；(2)$x_1=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$，$x_2=\frac{1}{2}-\sqrt{2}$；(3)$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$；(4)$t_1=1+\frac{\sqrt{5}}{2}$，$t_2=1-\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题的核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等号两边要同时加上一次项系数一半的平方，避免因漏加或错加常数导致计算错误。
【难度系数】
0.75
1. 填空:
(1)$x^2+6x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2-x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$4x^2+4x+\_\_\_\_\_\_=(2x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$x^2-25x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$。
(1)$x^2+6x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2-x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$4x^2+4x+\_\_\_\_\_\_=(2x+\_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$x^2-25x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
1. (1) 9 3;(2) $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$;(3) 1 1;(4) $\frac{625}{4}$ $\frac{25}{2}$.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的配方应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先确定平方项对应的$a$，再根据一次项是$\pm2ab$求出$b$，最后算出常数项$b^2$即可：若二次项系数为1，常数项直接等于一次项系数一半的平方；若二次项系数不为1，先将二次项转化为平方项的形式再对应计算。
【解析】
我们根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$逐个计算：
(1) 式子中二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项$6x=2× x×3$，可得$b=3$，常数项为$b^2=3^2=9$，故填9、3；
(2) 式子中二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项$-x=-2× x×\frac{1}{2}$，可得$b=\frac{1}{2}$，常数项为$b^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，故填$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{2}$；
(3) 式子右边平方项底数为$2x$，即$a=2x$，一次项$4x=2×2x×1$，可得$b=1$，常数项为$b^2=1^2=1$，故填1、1；
(4) 式子中二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项$-25x=-2× x×\frac{25}{2}$，可得$b=\frac{25}{2}$，常数项为$b^2=(\frac{25}{2})^2=\frac{625}{4}$，故填$\frac{625}{4}$、$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) 9，3；(2) $\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$；(3) 1，1；(4) $\frac{625}{4}$，$\frac{25}{2}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础练习题，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键，该知识点是后续解一元二次方程、二次函数变形的核心基础，需熟练掌握配方技巧。
【难度系数】
0.85
本题考查完全平方公式的配方应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先确定平方项对应的$a$，再根据一次项是$\pm2ab$求出$b$，最后算出常数项$b^2$即可：若二次项系数为1，常数项直接等于一次项系数一半的平方；若二次项系数不为1，先将二次项转化为平方项的形式再对应计算。
【解析】
我们根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$逐个计算：
(1) 式子中二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项$6x=2× x×3$，可得$b=3$，常数项为$b^2=3^2=9$，故填9、3；
(2) 式子中二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项$-x=-2× x×\frac{1}{2}$，可得$b=\frac{1}{2}$，常数项为$b^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，故填$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{2}$；
(3) 式子右边平方项底数为$2x$，即$a=2x$，一次项$4x=2×2x×1$，可得$b=1$，常数项为$b^2=1^2=1$，故填1、1；
(4) 式子中二次项为$x^2$，即$a=x$，一次项$-25x=-2× x×\frac{25}{2}$，可得$b=\frac{25}{2}$，常数项为$b^2=(\frac{25}{2})^2=\frac{625}{4}$，故填$\frac{625}{4}$、$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) 9，3；(2) $\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$；(3) 1，1；(4) $\frac{625}{4}$，$\frac{25}{2}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础练习题，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键，该知识点是后续解一元二次方程、二次函数变形的核心基础，需熟练掌握配方技巧。
【难度系数】
0.85
2. 解下列方程:
(1)$x^2+6x-16=0$;
(2)$x^2-4x+1=0$;
(3)$x^2+4=3x$.
(1)$x^2+6x-16=0$;
(2)$x^2-4x+1=0$;
(3)$x^2+4=3x$.
答案
2. (1)$x_1=-8,x_2=2$;(2)$x_1=\sqrt{3}+2,x_2=-\sqrt{3}+2$;(3) 无实数根.
解析
【分析】
这三道题均为一元二次方程求解问题，解题思路如下：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式；②优先观察能否用因式分解法简化计算，若无法因式分解可选择配方法或公式法求解；③求解前可先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，先判断方程是否有实数根，再进一步计算根的数值。
【解析】
(1) 解方程$x^2+6x-16=0$
将方程左边因式分解，得：$(x+8)(x-2)=0$
所以$x+8=0$或$x-2=0$
解得$x_1=-8$，$x_2=2$
(2) 解方程$x^2-4x+1=0$
移项得：$x^2-4x=-1$
两边同时加4配方，得：$x^2-4x+4=-1+4$，即$(x-2)^2=3$
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$
(3) 解方程$x^2+4=3x$
移项整理为一般形式：$x^2-3x+4=0$
其中$a=1,b=-3,c=4$，计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×1×4=9-16=-7＜0$
所以该方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1=-8,x_2=2$；(2)$x_1=\sqrt{3}+2,x_2=-\sqrt{3}+2$；(3)无实数根
【知识点】
一元二次方程解法、根的判别式、因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，覆盖了因式分解、配方法、判别式应用等核心考点，熟练掌握不同解法的适用条件能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
这三道题均为一元二次方程求解问题，解题思路如下：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式；②优先观察能否用因式分解法简化计算，若无法因式分解可选择配方法或公式法求解；③求解前可先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，先判断方程是否有实数根，再进一步计算根的数值。
【解析】
(1) 解方程$x^2+6x-16=0$
将方程左边因式分解，得：$(x+8)(x-2)=0$
所以$x+8=0$或$x-2=0$
解得$x_1=-8$，$x_2=2$
(2) 解方程$x^2-4x+1=0$
移项得：$x^2-4x=-1$
两边同时加4配方，得：$x^2-4x+4=-1+4$，即$(x-2)^2=3$
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$
(3) 解方程$x^2+4=3x$
移项整理为一般形式：$x^2-3x+4=0$
其中$a=1,b=-3,c=4$，计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×1×4=9-16=-7＜0$
所以该方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1=-8,x_2=2$；(2)$x_1=\sqrt{3}+2,x_2=-\sqrt{3}+2$；(3)无实数根
【知识点】
一元二次方程解法、根的判别式、因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，覆盖了因式分解、配方法、判别式应用等核心考点，熟练掌握不同解法的适用条件能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 已知方程$x^2 -6x + q =0$可以配方成$(x-p)^2=7$的形式，那么$p+q$的值为（
A.5
B.-1
C.2
D.1
A
）A.5
B.-1
C.2
D.1
答案
3. A
解析
【分析】要计算p+q的值，需先求出p和q的数值。我们可以通过两种思路求解：一是将配方后的方程展开，与原一元二次方程对比同类项的系数，分别求出p、q；二是直接对原方程进行配方，再和给定的配方形式对照，得到p、q的值，最后计算两者之和即可。
【解析】
方法一：将配方形式$(x-p)^2=7$展开，得$x^2 - 2px + p^2 = 7$，整理为一般形式：$x^2 - 2px + (p^2 -7) = 0$。
已知原方程为$x^2 -6x + q =0$，两个方程是同一个方程，因此对应项系数相等：
一次项系数：$-2p = -6$，解得$p=3$；
常数项：$p^2 -7 = q$，把$p=3$代入，得$q=3^2 -7=2$。
因此$p+q=3+2=5$。
方法二：对原方程$x^2 -6x + q =0$进行配方：
移项得$x^2 -6x = -q$，
方程两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{-6}{2})^2=9$，得：
$x^2 -6x +9 = 9 - q$，即$(x-3)^2=9-q$。
由题意，该方程可配方为$(x-p)^2=7$，因此对应得：
$p=3$，$9-q=7$，解得$q=2$，
因此$p+q=3+2=5$。
【答案】A
【知识点】一元二次方程配方法，方程对应系数相等
【点评】本题考查配方法的应用，解题核心是掌握配方法的操作步骤，或利用同解方程对应项系数相等的性质求解，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】
方法一：将配方形式$(x-p)^2=7$展开，得$x^2 - 2px + p^2 = 7$，整理为一般形式：$x^2 - 2px + (p^2 -7) = 0$。
已知原方程为$x^2 -6x + q =0$，两个方程是同一个方程，因此对应项系数相等：
一次项系数：$-2p = -6$，解得$p=3$；
常数项：$p^2 -7 = q$，把$p=3$代入，得$q=3^2 -7=2$。
因此$p+q=3+2=5$。
方法二：对原方程$x^2 -6x + q =0$进行配方：
移项得$x^2 -6x = -q$，
方程两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{-6}{2})^2=9$，得：
$x^2 -6x +9 = 9 - q$，即$(x-3)^2=9-q$。
由题意，该方程可配方为$(x-p)^2=7$，因此对应得：
$p=3$，$9-q=7$，解得$q=2$，
因此$p+q=3+2=5$。
【答案】A
【知识点】一元二次方程配方法，方程对应系数相等
【点评】本题考查配方法的应用，解题核心是掌握配方法的操作步骤，或利用同解方程对应项系数相等的性质求解，难度较低。
【难度系数】0.8
4. 定义一种新运算$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=a× d - b× c$，若$\begin{vmatrix} x & -2x -1 \\ 1 & x \end{vmatrix}=0$，则$x$的值为 ______ 。
答案
4. -1
解析
【分析】解决新定义运算类题目，第一步需准确理解给定的运算规则：本题中二阶行列式的运算结果为左上角元素乘右下角元素，减去左下角元素乘右上角元素。接下来将题目给出的行列式中对应位置的元素代入运算规则，即可转化为我们熟悉的关于x的一元二次方程，求解方程就能得到x的值。
【解析】根据题中给出的新运算规则，可得：
$\begin{vmatrix} x & -2x -1 \\ 1 & x \end{vmatrix}=x· x - 1×(-2x - 1)=0$
化简等式：
$x^2 + 2x + 1 = 0$
对左边因式分解得：
$(x + 1)^2 = 0$
解得：$x = -1$
【答案】-1
【知识点】新定义运算；一元二次方程的解法；因式分解
【点评】本题重点考查对新定义的理解转化能力，解题核心是将陌生的新运算转化为常规代数运算，代入时要注意符号运算，避免因符号出错导致失分。
【难度系数】0.7
【解析】根据题中给出的新运算规则，可得：
$\begin{vmatrix} x & -2x -1 \\ 1 & x \end{vmatrix}=x· x - 1×(-2x - 1)=0$
化简等式：
$x^2 + 2x + 1 = 0$
对左边因式分解得：
$(x + 1)^2 = 0$
解得：$x = -1$
【答案】-1
【知识点】新定义运算；一元二次方程的解法；因式分解
【点评】本题重点考查对新定义的理解转化能力，解题核心是将陌生的新运算转化为常规代数运算，代入时要注意符号运算，避免因符号出错导致失分。
【难度系数】0.7
