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7. (2024·山东)若关于$x$的方程$4x^2 - 2x + m = 0$有两个相等的实数根，则$m$的值为
$\frac{1}{4}$
。答案
7. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
已知一元二次方程有两个相等的实数根，解题时首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，再代入Δ=b²-4ac=0建立关于m的一元一次方程，最后解方程即可求出m的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$4x^2 - 2x + m = 0$中，$a=4$，$b=-2$，$c=m$，
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=0$，即：
$(-2)^2 - 4×4× m = 0$
计算得：$4 - 16m = 0$
移项得：$16m=4$
解得：$m=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，解题时需注意准确识别方程各项的系数，避免符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程有两个相等的实数根，解题时首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，再代入Δ=b²-4ac=0建立关于m的一元一次方程，最后解方程即可求出m的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
在方程$4x^2 - 2x + m = 0$中，$a=4$，$b=-2$，$c=m$，
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=0$，即：
$(-2)^2 - 4×4× m = 0$
计算得：$4 - 16m = 0$
移项得：$16m=4$
解得：$m=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，解题时需注意准确识别方程各项的系数，避免符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
8. 已知a是不等式$5(a-2)+8＜6(a-1)+7$的最小整数解，请用公式法解关于x的方程$x^2 + 2ax + a + 1 = 0$。
答案
$x_1 = 2 + \sqrt{5},x_2 = 2 - \sqrt{5}$
解析
【分析】
解题分两步开展：第一步先求解关于a的一元一次不等式，得到a的取值范围后找出对应的最小整数解，确定a的值；第二步将a代入关于x的一元二次方程，按照公式法解一元二次方程的规范步骤计算：先明确方程的二次项系数、一次项系数、常数项，计算判别式判断根的存在情况，最后代入求根公式化简得到方程的解。
【解析】
1. 求解不等式确定a的值：
对$5(a-2)+8＜6(a-1)+7$去括号，得：$5a - 10 + 8 ＜ 6a - 6 + 7$
合并同类项，得：$5a - 2 ＜ 6a + 1$
移项合并同类项，得：$-a ＜ 3$
系数化为1（不等号方向改变），得：$a ＞ -3$
因此不等式的最小整数解为$a=-2$。
2. 代入a用公式法解方程：
将$a=-2$代入$x^2 + 2ax + a + 1 = 0$，化简得：$x^2 - 4x - 1 = 0$
该方程二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为-1，
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-1) = 16 + 4 = 20 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
【答案】
$x_1 = 2 + \sqrt{5},x_2 = 2 - \sqrt{5}$
【知识点】
一元一次不等式解法；一元二次方程公式法；不等式整数解
【点评】
本题是基础综合类题目，同时考查了不等式的运算、整数解的确定以及一元二次方程的求解，解题时需注意解不等式系数化为1时的符号变化，代入求根公式时要准确对应各项系数。
【难度系数】
0.7
解题分两步开展：第一步先求解关于a的一元一次不等式，得到a的取值范围后找出对应的最小整数解，确定a的值；第二步将a代入关于x的一元二次方程，按照公式法解一元二次方程的规范步骤计算：先明确方程的二次项系数、一次项系数、常数项，计算判别式判断根的存在情况，最后代入求根公式化简得到方程的解。
【解析】
1. 求解不等式确定a的值：
对$5(a-2)+8＜6(a-1)+7$去括号，得：$5a - 10 + 8 ＜ 6a - 6 + 7$
合并同类项，得：$5a - 2 ＜ 6a + 1$
移项合并同类项，得：$-a ＜ 3$
系数化为1（不等号方向改变），得：$a ＞ -3$
因此不等式的最小整数解为$a=-2$。
2. 代入a用公式法解方程：
将$a=-2$代入$x^2 + 2ax + a + 1 = 0$，化简得：$x^2 - 4x - 1 = 0$
该方程二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为-1，
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-1) = 16 + 4 = 20 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
【答案】
$x_1 = 2 + \sqrt{5},x_2 = 2 - \sqrt{5}$
【知识点】
一元一次不等式解法；一元二次方程公式法；不等式整数解
【点评】
本题是基础综合类题目，同时考查了不等式的运算、整数解的确定以及一元二次方程的求解，解题时需注意解不等式系数化为1时的符号变化，代入求根公式时要准确对应各项系数。
【难度系数】
0.7
9. 若$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2 + b + \left| \sqrt{c-1} - 2 \right| = 10a + 2\sqrt{b-4} - 22$，试判断$△ ABC$的形状.
答案
9. $△ ABC$ 是等边三角形.
解析
【分析】
观察等式可知，式中包含平方项、绝对值、算术平方根三类非负形式，因此解题思路为：先将等式所有项移至左侧，通过配方法分别对含a、含b的项构造完全平方，将原式变形为若干个非负数的和为0的形式，再根据“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质分别求出a、b、c的取值，最后根据三边长的关系判断三角形形状。
【解析】
首先对原式进行移项、配方：
原式整理为：
$a^2 - 10a + b - 2\sqrt{b-4} + \left| \sqrt{c-1} - 2 \right| + 22 = 0$
对含$a$的项配方：$a^2-10a=(a-5)^2 -25$
对含$b$的项变形，设$\sqrt{b-4}=m$（$m≥0$），则$b=m^2+4$，代入得：
$b-2\sqrt{b-4}=m^2+4 - 2m=(m-1)^2 +3=(\sqrt{b-4}-1)^2 +3$
将上述配方结果代入原式：
$(a-5)^2 -25 + (\sqrt{b-4}-1)^2 +3 + \left| \sqrt{c-1} - 2 \right| +22 = 0$
合并常数项后得：
$(a-5)^2 + (\sqrt{b-4}-1)^2 + \left| \sqrt{c-1} - 2 \right| = 0$
∵平方、绝对值均为非负数，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴$\begin{cases}a-5=0 \\\sqrt{b-4}-1=0 \\\sqrt{c-1}-2=0\end{cases}$
分别求解得：
$a=5$，$\sqrt{b-4}=1\implies b=5$，$\sqrt{c-1}=2\implies c=5$
∴$a=b=c=5$，即$△ ABC$的三边长相等。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形。
【知识点】
非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判定
【点评】
本题核心考查非负数性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的配方技巧，将原式转化为非负数和为0的形式，进而求出三边长判断三角形形状，是代数与几何结合的典型基础题。
【难度系数】
0.6
观察等式可知，式中包含平方项、绝对值、算术平方根三类非负形式，因此解题思路为：先将等式所有项移至左侧，通过配方法分别对含a、含b的项构造完全平方，将原式变形为若干个非负数的和为0的形式，再根据“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质分别求出a、b、c的取值，最后根据三边长的关系判断三角形形状。
【解析】
首先对原式进行移项、配方：
原式整理为：
$a^2 - 10a + b - 2\sqrt{b-4} + \left| \sqrt{c-1} - 2 \right| + 22 = 0$
对含$a$的项配方：$a^2-10a=(a-5)^2 -25$
对含$b$的项变形，设$\sqrt{b-4}=m$（$m≥0$），则$b=m^2+4$，代入得：
$b-2\sqrt{b-4}=m^2+4 - 2m=(m-1)^2 +3=(\sqrt{b-4}-1)^2 +3$
将上述配方结果代入原式：
$(a-5)^2 -25 + (\sqrt{b-4}-1)^2 +3 + \left| \sqrt{c-1} - 2 \right| +22 = 0$
合并常数项后得：
$(a-5)^2 + (\sqrt{b-4}-1)^2 + \left| \sqrt{c-1} - 2 \right| = 0$
∵平方、绝对值均为非负数，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴$\begin{cases}a-5=0 \\\sqrt{b-4}-1=0 \\\sqrt{c-1}-2=0\end{cases}$
分别求解得：
$a=5$，$\sqrt{b-4}=1\implies b=5$，$\sqrt{c-1}=2\implies c=5$
∴$a=b=c=5$，即$△ ABC$的三边长相等。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形。
【知识点】
非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判定
【点评】
本题核心考查非负数性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的配方技巧，将原式转化为非负数和为0的形式，进而求出三边长判断三角形形状，是代数与几何结合的典型基础题。
【难度系数】
0.6
1.说一说:因式分解的方法有几种?
答案
因式分解常用的方法有三种：提公因式法、公式法（包含平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法，拓展方法还有分组分解法。
解析
【分析】
解答本题可按照从基础常用到拓展的思路梳理因式分解的方法：首先回忆因式分解的首要操作，若多项式各项存在公因式，优先用提公因式法提取公因式；提取公因式后，若多项式符合乘法公式的结构特征，可采用公式法分解；针对二次三项式还可使用十字相乘法分解；若多项式项数较多，无法直接用上述方法分解时，可使用拓展的分组分解法，先分组分解再整体合并。
【解析】
初中阶段因式分解常用的方法分为三类，另有一类拓展方法：
1. 提公因式法：是因式分解的首要步骤，适用于多项式各项存在公共因式的情况；
2. 公式法：包含平方差公式（适用于符合特征的二项式分解）、完全平方公式（适用于符合特征的三项式分解），可对匹配公式结构的多项式直接分解；
3. 十字相乘法：多用于二次三项式的因式分解；
4. 分组分解法：属于拓展方法，适用于项数较多、无法直接用上述三种方法分解的多项式。
【答案】
因式分解常用的方法有三种：提公因式法、公式法（包含平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法，拓展方法还有分组分解法。
【知识点】
1. 因式分解的方法
2. 提公因式法
3. 公式法
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对因式分解方法的掌握情况，熟练记忆各类方法的适用场景，是后续灵活运用因式分解解决化简、计算、解方程等问题的前提。
【难度系数】
0.7
解答本题可按照从基础常用到拓展的思路梳理因式分解的方法：首先回忆因式分解的首要操作，若多项式各项存在公因式，优先用提公因式法提取公因式；提取公因式后，若多项式符合乘法公式的结构特征，可采用公式法分解；针对二次三项式还可使用十字相乘法分解；若多项式项数较多，无法直接用上述方法分解时，可使用拓展的分组分解法，先分组分解再整体合并。
【解析】
初中阶段因式分解常用的方法分为三类，另有一类拓展方法：
1. 提公因式法：是因式分解的首要步骤，适用于多项式各项存在公共因式的情况；
2. 公式法：包含平方差公式（适用于符合特征的二项式分解）、完全平方公式（适用于符合特征的三项式分解），可对匹配公式结构的多项式直接分解；
3. 十字相乘法：多用于二次三项式的因式分解；
4. 分组分解法：属于拓展方法，适用于项数较多、无法直接用上述三种方法分解的多项式。
【答案】
因式分解常用的方法有三种：提公因式法、公式法（包含平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法，拓展方法还有分组分解法。
【知识点】
1. 因式分解的方法
2. 提公因式法
3. 公式法
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对因式分解方法的掌握情况，熟练记忆各类方法的适用场景，是后续灵活运用因式分解解决化简、计算、解方程等问题的前提。
【难度系数】
0.7
2. 做一做:把下列各式进行因式分解.
(1)$2x^2 -12x =$
(2)$9x^2 +6x +1 =$
(3)$4x^2 -9 =$
(4)$x^2 -5x +6 =$
(5)$3x(x-1)-2(x-1) =$
(6)$x^2 -8x +16 =$
(1)$2x^2 -12x =$
2x(x-6)
;(2)$9x^2 +6x +1 =$
(3x+1)²
;(3)$4x^2 -9 =$
(2x+3)(2x-3)
;(4)$x^2 -5x +6 =$
(x-2)(x-3)
;(5)$3x(x-1)-2(x-1) =$
(x-1)(3x-2)
;(6)$x^2 -8x +16 =$
(x-4)²
.答案
1. 2x(x-6)
2. (3x+1)²
3. (2x+3)(2x-3)
4. (x-2)(x-3)
5. (x-1)(3x-2)
6. (x-4)²
2. (3x+1)²
3. (2x+3)(2x-3)
4. (x-2)(x-3)
5. (x-1)(3x-2)
6. (x-4)²
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的解题步骤：①先观察多项式是否有公因式，若有则优先提取公因式；②提取公因式后（或原式无公因式时），判断式子结构：两项式看是否符合平方差公式特征，三项式看是否符合完全平方公式特征或能否用十字相乘法分解；③最后检查分解结果是否彻底，每个因式不可再分解。
对应各小题思考方向：(1)(5)存在明显公因式，直接提取即可；(2)(6)是三项式，符合完全平方公式结构；(3)是两项平方的差，符合平方差公式结构；(4)是二次三项式，可通过十字相乘法分解。
【解析】
(1) 提取公因式$2x$：
$2x^2 -12x = 2x · x - 2x · 6 = 2x(x-6)$
(2) 式子符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=3x$，$b=1$：
$9x^2 +6x +1 = (3x)^2 + 2×3x×1 +1^2 = (3x+1)^2$
(3) 式子符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=2x$，$b=3$：
$4x^2 -9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x+3)(2x-3)$
(4) 用十字相乘法，常数项$6$拆为$(-2)×(-3)$，且$-2+(-3)=-5$等于一次项系数：
$x^2 -5x +6 = (x-2)(x-3)$
(5) 提取公因式$(x-1)$：
$3x(x-1)-2(x-1) = (x-1)(3x-2)$
(6) 式子符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=4$：
$x^2 -8x +16 = x^2 - 2× x×4 +4^2 = (x-4)^2$
【答案】
(1)$2x(x-6)$；(2)$(3x+1)^2$；(3)$(2x+3)(2x-3)$；(4)$(x-2)(x-3)$；(5)$(x-1)(3x-2)$；(6)$(x-4)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；公式法因式分解；十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础练习题，考查因式分解常用方法的应用，熟练掌握各类分解方法的适用特征，遵循“一提二套三查”的步骤即可快速解题，注意最后要验证分解结果是否彻底。
【难度系数】
0.85
因式分解遵循“一提、二套、三查”的解题步骤：①先观察多项式是否有公因式，若有则优先提取公因式；②提取公因式后（或原式无公因式时），判断式子结构：两项式看是否符合平方差公式特征，三项式看是否符合完全平方公式特征或能否用十字相乘法分解；③最后检查分解结果是否彻底，每个因式不可再分解。
对应各小题思考方向：(1)(5)存在明显公因式，直接提取即可；(2)(6)是三项式，符合完全平方公式结构；(3)是两项平方的差，符合平方差公式结构；(4)是二次三项式，可通过十字相乘法分解。
【解析】
(1) 提取公因式$2x$：
$2x^2 -12x = 2x · x - 2x · 6 = 2x(x-6)$
(2) 式子符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=3x$，$b=1$：
$9x^2 +6x +1 = (3x)^2 + 2×3x×1 +1^2 = (3x+1)^2$
(3) 式子符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=2x$，$b=3$：
$4x^2 -9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x+3)(2x-3)$
(4) 用十字相乘法，常数项$6$拆为$(-2)×(-3)$，且$-2+(-3)=-5$等于一次项系数：
$x^2 -5x +6 = (x-2)(x-3)$
(5) 提取公因式$(x-1)$：
$3x(x-1)-2(x-1) = (x-1)(3x-2)$
(6) 式子符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=4$：
$x^2 -8x +16 = x^2 - 2× x×4 +4^2 = (x-4)^2$
【答案】
(1)$2x(x-6)$；(2)$(3x+1)^2$；(3)$(2x+3)(2x-3)$；(4)$(x-2)(x-3)$；(5)$(x-1)(3x-2)$；(6)$(x-4)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；公式法因式分解；十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础练习题，考查因式分解常用方法的应用，熟练掌握各类分解方法的适用特征，遵循“一提二套三查”的步骤即可快速解题，注意最后要验证分解结果是否彻底。
【难度系数】
0.85
