3. 判断:
(1)若$a=0$或$b=0$,则$ab=0$. ()
(2)若$ab=0$,则$a=0$或$b=0$. ()

1. √
2. √

【分析】
要判断这两个命题的正误，核心是运用有理数乘法中关于0的运算性质（零乘积原理）思考：
1. 对于第(1)题，正向思考：回忆乘法规则，0和任何数相乘的结果都是0，只要a、b中有一个取值为0，两者的乘积必然为0，即可判断命题是否成立。
2. 对于第(2)题，逆向思考：如果两个数的乘积为0，若假设两个数都不为0，那么非0数相乘的结果一定不为0，和已知条件矛盾，因此两个数中至少有一个为0，也就是“a=0或b=0”，注意此处的“或”表示至少一个成立，包含两者同时为0的情况，据此判断即可。
【解析】
(1) 根据有理数乘法法则：0乘任何实数都得0。当a=0时，无论b取何值，$ab=0×b=0$；当b=0时，无论a取何值，$ab=a×0=0$，因此“若$a=0$或$b=0$，则$ab=0$”的结论成立，故判断为√。
(2) 利用反证法推导：若$ab=0$，假设$a≠0$且$b≠0$，那么两个非0实数的乘积一定不为0，与$ab=0$的条件矛盾，因此a、b中至少有一个为0，即$a=0$或$b=0$，结论成立，故判断为√。
【答案】
(1)√；(2)√
【知识点】
有理数乘法性质；零乘积原理
【点评】
这两道题从正反两个方向考查零乘积原理，该原理是因式分解法解方程的核心依据，学习时要明确“或”的含义是至少一个成立，不要和“且”的含义混淆，熟练掌握该性质的正向、逆向应用。
【难度系数】
0.9

4. 自学教科书第13页,标记你认为重要的内容,并回答下列问题:
(1)“问题”中得出的二次方程是怎样降为一次的?
(2)把方程的左边因式分解的前提是什么?
(3)所有的一元二次方程都能用因式分解法求解吗?
5. 自学教科书第13页例4,总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤.

4.(1) 将方程整理为右侧等于0的形式后，把左侧的二次多项式因式分解为两个一次因式的乘积，再令两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程，实现降次。
4.(2) 前提是先将方程整理为右边等于0的形式。
4.(3) 不是所有一元二次方程都能用因式分解法求解，只有方程左边可以分解为两个一次因式乘积、右边为0的方程才可以用因式分解法求解。
5. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

【分析】
这组题目考察因式分解法解一元二次方程的核心原理、适用前提和操作步骤，思考时可结合“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质推导：
1. 思考第4(1)问时，抓住“降次”的核心逻辑：要把二次方程转化为一次方程，需将二次式拆成两个一次式的乘积，结合乘积为0的性质即可拆分出两个一次方程，实现降次；
2. 思考第4(2)问时，紧扣乘积为0性质的适用条件，只有当方程右边为0时，才能通过左边因式分解得到的乘积等于0推导因式分别为0，否则该推导不成立；
3. 思考第4(3)问时，结合因式分解的限制：不是所有二次多项式都能在实数范围内分解为两个一次因式的乘积，因此不是所有一元二次方程都能用因式分解法求解；
4. 总结第5问的步骤时，按照操作的先后顺序梳理，从整理方程到因式分解，再到拆分求解，顺次整理即可。
【解析】
我们逐个解答各问题：
4.(1) 依据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”的性质，先把方程整理为右侧为0的形式，再将左侧二次多项式因式分解为两个一次因式的乘积，之后令两个一次因式分别等于0，即可得到两个一元一次方程，实现二次方程降次。
4.(2) 因式分解法的推导核心是乘积为0的性质，因此必须先将方程整理为右边等于0的形式，才能对左边进行因式分解并推导因式的取值。
4.(3) 部分二次多项式在实数范围内无法分解为两个一次因式的乘积，因此只有当方程右边可化为0，且左边能分解为两个一次因式乘积时，才能用因式分解法求解，不是所有一元二次方程都适用该方法。
5. 按照操作顺序梳理步骤：首先整理方程使右侧为0，再分解左侧多项式为两个一次因式乘积，接着令每个因式分别为0得到两个一元一次方程，最后解这两个一次方程即可得到原方程的解。
【答案】
4.(1) 将方程整理为右侧等于0的形式后，把左侧的二次多项式因式分解为两个一次因式的乘积，再令两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程，实现降次。
4.(2) 前提是先将方程整理为右边等于0的形式。
4.(3) 不是所有一元二次方程都能用因式分解法求解，只有方程左边可以分解为两个一次因式乘积、右边为0的方程才可以用因式分解法求解。
5. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 降次转化思想
3. 因式分解适用条件
【点评】
本题组侧重考察因式分解法解一元二次方程的基础原理与操作规范，理解其降次逻辑和适用前提是灵活运用该方法的核心，熟练掌握该方法可大幅提升符合条件的一元二次方程的求解效率，是一元二次方程求解的重要基础技能。
【难度系数】
0.8

根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s后的离地高度(单位:m)约为$10x-5x^2$. 根据上述规律,物体经过多少秒落回地面?
设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0 m,即$10x-5x^2=0$
(1)除了配方法和公式法,能否找到更简单的方法解$10x-5x^2=0$?
(2)解方程$10x-5x^2=0$时,二次方程是如何降为一次的?

(1) 可以，用因式分解法更简单：将左边提取公因式5x，得到5x(2-x)=0，令5x=0或2-x=0，解得x₁=0，x₂=2，x=0对应初始上抛时刻，因此物体经过2秒落回地面。
(2) 先将方程左边因式分解为两个一次因式的乘积5x·(2-x)，利用“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，得到两个一元一次方程5x=0和2-x=0，由此实现将二次方程降为一次方程。

【分析】
本题结合竖直上抛的实际情境考查一元二次方程的解法及降次原理：
(1) 观察方程$10x-5x^2=0$的特征，左边两项含有公因式$5x$，无需配方或者代入公式计算，可优先考虑用因式分解法求解，步骤更简便。
(2) 解一元二次方程的核心思路是降次，因式分解法的降次逻辑是利用因式分解将二次多项式转化为两个一次多项式的乘积，再结合“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，即可将二次方程转化为两个一次方程，实现降次。
【解析】
(1) 可以使用因式分解法，具体求解步骤如下：
对$10x-5x^2=0$左边提取公因式$5x$，可得$5x(2 - x) = 0$；
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得$5x = 0$ 或 $2 - x = 0$；
分别解两个一元一次方程，得$x_1=0$，$x_2=2$，其中$x=0$对应物体初始上抛的时刻，因此物体经过2秒落回地面。
(2) 先通过提公因式的方法将方程左边的二次多项式因式分解为两个一次因式的乘积$5x·(2-x)$，再利用“两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，得到两个一元一次方程$5x=0$和$2-x=0$，即可将二次方程降为一次方程求解。
【答案】
(1) 可以用因式分解法：将左边提取公因式5x，得到$5x(2-x)=0$，令$5x=0$或$2-x=0$，解得$x₁=0$，$x₂=2$，$x=0$对应初始上抛时刻，因此物体经过2秒落回地面。
(2) 先将方程左边因式分解为两个一次因式的乘积$5x·(2-x)$，利用“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，得到两个一元一次方程$5x=0$和$2-x=0$，由此实现将二次方程降为一次方程。
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程降次思想；提公因式法因式分解
【点评】
本题结合实际物理情境出题，既考查了一元二次方程解法的灵活应用，也帮助学生理解因式分解法的核心逻辑和降次的数学思想，能引导学生根据方程特征选择最优解法。
【难度系数】
0.8

3. 用因式分解法解一元二次方程的步骤：
(1)将方程右边化为，
将方程左边化成两个一次式的
；
(2)令每个因式分别为，
得到两个一元一次方程；
(3)解这两个一元一次方程，它们的解
就是原方程的解。

(1) 0；乘积的形式
(2) 0

【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的步骤，解题时可结合该方法的核心原理推导步骤：因式分解法的依据是“若两个实数的乘积为0，则至少其中一个实数为0”，利用该原理可将二次方程降次为一次方程求解。首先要把方程变形为符合该原理的形式：先将方程右边移项化为0，再把左边因式分解成两个一次式的乘积；接下来依据原理令每个一次因式都为0，得到两个一元一次方程，最后解这两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的步骤：
(1) 首先将方程右边化为0，再将方程左边化成两个一次式的乘积的形式，满足“两个因式乘积为0”的结构要求；
(2) 依据“乘积为0的两个数至少有一个为0”的性质，令每个因式分别为0，即可把二次方程降次得到两个一元一次方程；
(3) 解所得的一元一次方程，得到的解就是原方程的解。
【答案】
(1) 0；乘积的形式
(2) 0
【知识点】
因式分解法解方程，因式分解，降次解方程
【点评】
本题属于基础概念识记题，重点考察对因式分解法解方程步骤的掌握，牢记方法原理即可快速作答，是一元二次方程求解的基础必备知识。
【难度系数】
0.9

例1 用因式分解法解下列方程：
(1)$x(x-2)+x-2=0$；
(2)$5x^2 -2x -\frac{1}{4}=x^2 -2x +\frac{3}{4}$；
(3)$(x+5)^2=3x+15$；
(4)$16(x-2)^2=9(x+3)^2$。

(1) 因式分解得(x-2)(x+1)=0，解得x₁=2，x₂=-1
(2) 移项合并同类项得4x²-1=0，分解为(2x+1)(2x-1)=0，解得x₁=1/2，x₂=-1/2
(3) 移项得(x+5)²-3(x+5)=0，分解得(x+5)(x+2)=0，解得x₁=-5，x₂=-2
(4) 移项得16(x-2)²-9(x+3)²=0，用平方差公式分解得[4(x-2)+3(x+3)][4(x-2)-3(x+3)]=0，即(7x+1)(x-17)=0，解得x₁=-1/7，x₂=17

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：将方程整理为“几个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
本题4个小题的解题思路如下：
(1) 观察方程左侧，存在公因式$(x-2)$，直接提取公因式即可完成因式分解；
(2) 先将所有项移到方程左侧，合并同类项后得到平方差结构，用平方差公式分解；
(3) 先将右侧$3x+15$变形为$3(x+5)$，移项后提取公因式$(x+5)$即可分解；
(4) 移项后式子为两个平方项的差，符合平方差公式特征，直接用平方差公式分解即可。
【解析】
(1) 原方程变形为 $x(x-2)+(x-2)=0$，
提取公因式得 $(x-2)(x+1)=0$，
$\therefore x-2=0$ 或 $x+1=0$，
解得 $x_1=2$，$x_2=-1$。
(2) 移项得 $5x^2 -2x -\frac{1}{4}-x^2 +2x -\frac{3}{4}=0$，
合并同类项得 $4x^2-1=0$，
用平方差公式分解得 $(2x+1)(2x-1)=0$，
$\therefore 2x+1=0$ 或 $2x-1=0$，
解得 $x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
(3) 原方程变形为 $(x+5)^2=3(x+5)$，
移项得 $(x+5)^2-3(x+5)=0$，
提取公因式得 $(x+5)(x+5-3)=0$，即 $(x+5)(x+2)=0$，
$\therefore x+5=0$ 或 $x+2=0$，
解得 $x_1=-5$，$x_2=-2$。
(4) 移项得 $16(x-2)^2-9(x+3)^2=0$，
用平方差公式分解得 $[4(x-2)+3(x+3)][4(x-2)-3(x+3)]=0$，
化简两个因式得 $(7x+1)(x-17)=0$，
$\therefore 7x+1=0$ 或 $x-17=0$，
解得 $x_1=-\frac{1}{7}$，$x_2=17$。
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=-1$
(2) $x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$
(3) $x_1=-5$，$x_2=-2$
(4) $x_1=-\frac{1}{7}$，$x_2=17$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，覆盖了提公因式、平方差公式两种常用因式分解方法的应用，解题时需先观察方程特征选择合适的分解方法，注意移项要变号，因式分解要彻底。
【难度系数】
0.8