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例2（整体思想）已知实数$x$满足$(x^2 -2x+1)^2 +4(x^2 -2x+1)-5=0$，那么$x^2 -2x+1$的值为(
A.$-5$或1
B.$-1$或5
C.1
D.5
C
)A.$-5$或1
B.$-1$或5
C.1
D.5
答案
C
解析
【分析】
观察已知方程的结构，发现两项中均含有相同的代数式$x^2 - 2x + 1$，若直接展开原方程求解计算量较大，因此采用整体换元的思路：将重复出现的$x^2 - 2x + 1$设为新的未知数$y$，把原方程转化为熟悉的一元二次方程求解。求出$y$的可能值后，结合$x^2 - 2x +1$是完全平方式、取值恒非负的特点，舍去不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
设$y = x^2 - 2x + 1$，则原方程可转化为：
$y^2 + 4y - 5 = 0$
对等式左边因式分解得：
$(y + 5)(y - 1) = 0$
因此$y + 5 = 0$或$y - 1 = 0$，
解得$y_1 = -5$，$y_2 = 1$。
又因为$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 ≥ 0$，
所以$y = -5$不符合题意，舍去，
故$x^2 - 2x + 1 = 1$。
【答案】
C
【知识点】
换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、完全平方式的非负性
【点评】
本题重点考查整体思想在解方程中的应用，通过换元可大幅简化计算，解题时需注意验证换元后未知数的取值范围，避免出现多解错选的问题。
【难度系数】
0.6
观察已知方程的结构，发现两项中均含有相同的代数式$x^2 - 2x + 1$，若直接展开原方程求解计算量较大，因此采用整体换元的思路：将重复出现的$x^2 - 2x + 1$设为新的未知数$y$，把原方程转化为熟悉的一元二次方程求解。求出$y$的可能值后，结合$x^2 - 2x +1$是完全平方式、取值恒非负的特点，舍去不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
设$y = x^2 - 2x + 1$，则原方程可转化为：
$y^2 + 4y - 5 = 0$
对等式左边因式分解得：
$(y + 5)(y - 1) = 0$
因此$y + 5 = 0$或$y - 1 = 0$，
解得$y_1 = -5$，$y_2 = 1$。
又因为$y = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 ≥ 0$，
所以$y = -5$不符合题意，舍去，
故$x^2 - 2x + 1 = 1$。
【答案】
C
【知识点】
换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、完全平方式的非负性
【点评】
本题重点考查整体思想在解方程中的应用，通过换元可大幅简化计算，解题时需注意验证换元后未知数的取值范围，避免出现多解错选的问题。
【难度系数】
0.6
1. 用因式分解法解下列方程：
(1)$(3x+1)(2x-5)=0$；
(2)$x^2 -4x=0$；
(3)$3x(2x+1)=4x+2$；
(4)$(x-4)^2=(5-2x)^2$。
(1)$(3x+1)(2x-5)=0$；
(2)$x^2 -4x=0$；
(3)$3x(2x+1)=4x+2$；
(4)$(x-4)^2=(5-2x)^2$。
答案
(1) 由3x+1=0或2x-5=0，解得x₁=-1/3，x₂=5/2
(2) 分解得x(x-4)=0，解得x₁=0，x₂=4
(3) 移项得3x(2x+1)-2(2x+1)=0，分解得(2x+1)(3x-2)=0，解得x₁=-1/2，x₂=2/3
(4) 移项得(x-4)²-(5-2x)²=0，分解得(3x-9)(-x+1)=0，解得x₁=3，x₂=1
(2) 分解得x(x-4)=0，解得x₁=0，x₂=4
(3) 移项得3x(2x+1)-2(2x+1)=0，分解得(2x+1)(3x-2)=0，解得x₁=-1/2，x₂=2/3
(4) 移项得(x-4)²-(5-2x)²=0，分解得(3x-9)(-x+1)=0，解得x₁=3，x₂=1
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，据此可将二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。各小题解题思路如下：(1)方程左边已经是两个一次因式乘积等于0的形式，直接令每个因式分别为0求解即可；(2)方程左边可提取公因式x，转化为两个因式乘积为0的形式；(3)先将右边的式子变形后移到左边，提取公因式(2x+1)后转化为乘积为0的形式；(4)先移项把右边的式子移到左边，利用平方差公式分解因式，再求解。
【解析】
(1) 由乘积为0的性质可得3x+1=0或2x-5=0，
解3x+1=0得$x=-\frac{1}{3}$，解2x-5=0得$x=\frac{5}{2}$。
(2) 对左边提取公因式x，得$x(x-4)=0$，
则x=0或x-4=0，解得x₁=0，x₂=4。
(3) 先将右边变形为2(2x+1)，移项得$3x(2x+1)-2(2x+1)=0$，
提取公因式(2x+1)得$(2x+1)(3x-2)=0$，
则2x+1=0或3x-2=0，解得$x₁=-\frac{1}{2}$，$x₂=\frac{2}{3}$。
(4) 移项得$(x-4)^2-(5-2x)^2=0$，
用平方差公式分解得$[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0$，
化简得$(3x-9)(-x+1)=0$，
则3x-9=0或-x+1=0，解得x₁=3，x₂=1。
【答案】
(1)$x₁=-\frac{1}{3}$，$x₂=\frac{5}{2}$；(2)$x₁=0$，$x₂=4$；(3)$x₁=-\frac{1}{2}$，$x₂=\frac{2}{3}$；(4)$x₁=3$，$x₂=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，覆盖了提公因式、公式法两种常见因式分解方法的应用，熟练掌握因式分解的常用方法、理解降次转化的思路是解题关键。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，据此可将二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。各小题解题思路如下：(1)方程左边已经是两个一次因式乘积等于0的形式，直接令每个因式分别为0求解即可；(2)方程左边可提取公因式x，转化为两个因式乘积为0的形式；(3)先将右边的式子变形后移到左边，提取公因式(2x+1)后转化为乘积为0的形式；(4)先移项把右边的式子移到左边，利用平方差公式分解因式，再求解。
【解析】
(1) 由乘积为0的性质可得3x+1=0或2x-5=0，
解3x+1=0得$x=-\frac{1}{3}$，解2x-5=0得$x=\frac{5}{2}$。
(2) 对左边提取公因式x，得$x(x-4)=0$，
则x=0或x-4=0，解得x₁=0，x₂=4。
(3) 先将右边变形为2(2x+1)，移项得$3x(2x+1)-2(2x+1)=0$，
提取公因式(2x+1)得$(2x+1)(3x-2)=0$，
则2x+1=0或3x-2=0，解得$x₁=-\frac{1}{2}$，$x₂=\frac{2}{3}$。
(4) 移项得$(x-4)^2-(5-2x)^2=0$，
用平方差公式分解得$[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0$，
化简得$(3x-9)(-x+1)=0$，
则3x-9=0或-x+1=0，解得x₁=3，x₂=1。
【答案】
(1)$x₁=-\frac{1}{3}$，$x₂=\frac{5}{2}$；(2)$x₁=0$，$x₂=4$；(3)$x₁=-\frac{1}{2}$，$x₂=\frac{2}{3}$；(4)$x₁=3$，$x₂=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，覆盖了提公因式、公式法两种常见因式分解方法的应用，熟练掌握因式分解的常用方法、理解降次转化的思路是解题关键。
【难度系数】
0.8
2. 解方程$(x - x^2)^2 - 4(x^2 - x) - 12 = 0$，若设$y=x^2 -x$，则原方程可化为
y²+4y-12=0
。答案
y²+4y-12=0
1. 方程 $x(x+3)=0$ 的根是
$x_1=0,x_2=-3$
.答案
1. $x_1=0,x_2=-3$
解析
【分析】
本题是求解一元二次方程的根，观察方程左边为两个一次因式相乘的形式，可利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将二次方程降次转化为两个一元一次方程求解，这是因式分解法解一元二次方程的核心思路。
【解析】
解：已知$x(x+3)=0$，根据两数相乘为0的性质可得：
$x=0$ 或 $x+3=0$
解一元一次方程$x+3=0$，得$x=-3$
因此原方程的根为$x_1=0$，$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=0,x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；零乘积性质
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的基本求解方法，熟练掌握因式分解法的适用条件和零乘积性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题是求解一元二次方程的根，观察方程左边为两个一次因式相乘的形式，可利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将二次方程降次转化为两个一元一次方程求解，这是因式分解法解一元二次方程的核心思路。
【解析】
解：已知$x(x+3)=0$，根据两数相乘为0的性质可得：
$x=0$ 或 $x+3=0$
解一元一次方程$x+3=0$，得$x=-3$
因此原方程的根为$x_1=0$，$x_2=-3$。
【答案】
$x_1=0,x_2=-3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；零乘积性质
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的基本求解方法，熟练掌握因式分解法的适用条件和零乘积性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 方程 $2(x+1)^2 = x+1$ 的根是
$x_1=-1,x_2=-\dfrac{1}{2}$
.答案
2. $x_1=-1,x_2=-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
拿到本题首先观察方程结构，左右两侧均含有整式$(x+1)$，注意不能直接两边除以$(x+1)$，否则会默认$x+1≠0$，漏掉$x=-1$这个根。正确解题思路为：先将右侧的$(x+1)$移到等号左侧，使等号右侧为0，再提取公因式$(x+1)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程，即可得到方程的全部根。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$2(x+1)^2 - (x+1) = 0$
提取公因式$(x+1)$，得：
$(x+1)[2(x+1) - 1] = 0$
化简括号内的整式，得：
$(x+1)(2x + 1) = 0$
由此可得：$x+1=0$ 或 $2x+1=0$
分别解两个一元一次方程，得：
$x_1=-1$，$x_2=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$x_1=-1,x_2=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式
【点评】
本题属于方程求解的基础题型，易错点是直接在方程两边除以含未知数的整式导致漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可避免出错。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先观察方程结构，左右两侧均含有整式$(x+1)$，注意不能直接两边除以$(x+1)$，否则会默认$x+1≠0$，漏掉$x=-1$这个根。正确解题思路为：先将右侧的$(x+1)$移到等号左侧，使等号右侧为0，再提取公因式$(x+1)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程，即可得到方程的全部根。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$2(x+1)^2 - (x+1) = 0$
提取公因式$(x+1)$，得：
$(x+1)[2(x+1) - 1] = 0$
化简括号内的整式，得：
$(x+1)(2x + 1) = 0$
由此可得：$x+1=0$ 或 $2x+1=0$
分别解两个一元一次方程，得：
$x_1=-1$，$x_2=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$x_1=-1,x_2=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式
【点评】
本题属于方程求解的基础题型，易错点是直接在方程两边除以含未知数的整式导致漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可避免出错。
【难度系数】
0.8
3. 方程 $x(x-2)=x$ 的根是
$x_1=0,x_2=3$
.答案
3. $x_1=0,x_2=3$
解析
【分析】
拿到本题后注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确解题思路为：先将方程右边的x移到左边，使方程右边为0，再观察左边代数式的特征，发现两项均含有公因式x，采用提取公因式法将左边因式分解为两个一次式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的全部根。
【解析】
解：移项，得 $x(x-2)-x=0$
提取公因式$x$，得 $x[(x-2)-1]=0$
化简整理，得 $x(x-3)=0$
因此有 $x=0$ 或 $x-3=0$
分别求解得 $x_1=0$，$x_2=3$
【答案】
$x_1=0,x_2=3$
【知识点】
因式分解法解方程、提取公因式、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，易错点为直接除以未知数x导致漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤，注意移项变号规则即可正确作答。
【难度系数】
0.7
拿到本题后注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确解题思路为：先将方程右边的x移到左边，使方程右边为0，再观察左边代数式的特征，发现两项均含有公因式x，采用提取公因式法将左边因式分解为两个一次式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的全部根。
【解析】
解：移项，得 $x(x-2)-x=0$
提取公因式$x$，得 $x[(x-2)-1]=0$
化简整理，得 $x(x-3)=0$
因此有 $x=0$ 或 $x-3=0$
分别求解得 $x_1=0$，$x_2=3$
【答案】
$x_1=0,x_2=3$
【知识点】
因式分解法解方程、提取公因式、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，易错点为直接除以未知数x导致漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤，注意移项变号规则即可正确作答。
【难度系数】
0.7
4.方程$(x-1)(x-2)=0$的两根为$x_1$，$x_2$，且$x_1＞x_2$，则$x_1-2x_2$的值为
$0$
。答案
4. 0
解析
【分析】
本题首先利用因式分解法求解一元二次方程得到两个根，再结合$x_1＞x_2$的条件确定$x_1$和$x_2$的对应值，最后代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于方程$(x-1)(x-2)=0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”的原理，可得：
$x-1=0$ 或 $x-2=0$
解得$x=1$或$x=2$
∵ $x_1＞x_2$
∴ $x_1=2$，$x_2=1$
将$x_1=2$、$x_2=1$代入$x_1-2x_2$计算：
$x_1-2x_2=2-2×1=0$
【答案】
0
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、代数式求值、有理数大小比较
【点评】
本题是基础题型，重点考查一元二次方程的基本解法和代数式的代入计算，解题时要注意根据两根的大小关系正确匹配$x_1$、$x_2$的取值，避免根对应错误导致计算出错。
【难度系数】
0.9
本题首先利用因式分解法求解一元二次方程得到两个根，再结合$x_1＞x_2$的条件确定$x_1$和$x_2$的对应值，最后代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于方程$(x-1)(x-2)=0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”的原理，可得：
$x-1=0$ 或 $x-2=0$
解得$x=1$或$x=2$
∵ $x_1＞x_2$
∴ $x_1=2$，$x_2=1$
将$x_1=2$、$x_2=1$代入$x_1-2x_2$计算：
$x_1-2x_2=2-2×1=0$
【答案】
0
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、代数式求值、有理数大小比较
【点评】
本题是基础题型，重点考查一元二次方程的基本解法和代数式的代入计算，解题时要注意根据两根的大小关系正确匹配$x_1$、$x_2$的取值，避免根对应错误导致计算出错。
【难度系数】
0.9
5.若$(2x+3y)^2 +4(2x+3y)+4=0$,则$2x+3y$的值为
$-2$
.答案
5. -2
解析
【分析】
观察已知等式的结构，可将$2x+3y$看作一个整体，发现等式左侧符合完全平方公式的展开形式，因此先通过整体代换简化方程，再利用完全平方公式因式分解，结合平方的非负性即可求出$2x+3y$的值。
【解析】
解：设$t=2x+3y$，则原方程可变形为：
$t^2 + 4t + 4 = 0$
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，对左侧因式分解得：
$(t+2)^2 = 0$
由平方的非负性可知，若一个数的平方为0，则这个数本身为0，因此：
$t+2=0$
解得$t=-2$，即$2x+3y=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
完全平方公式，整体代入法，平方的非负性
【点评】
本题的核心是运用整体代换思想简化运算，解题关键是识别出式子的完全平方结构，无需分别求解x、y的值，即可直接得到目标代数式的结果，是代数式运算中很典型的一类题型。
【难度系数】
0.7
观察已知等式的结构，可将$2x+3y$看作一个整体，发现等式左侧符合完全平方公式的展开形式，因此先通过整体代换简化方程，再利用完全平方公式因式分解，结合平方的非负性即可求出$2x+3y$的值。
【解析】
解：设$t=2x+3y$，则原方程可变形为：
$t^2 + 4t + 4 = 0$
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，对左侧因式分解得：
$(t+2)^2 = 0$
由平方的非负性可知，若一个数的平方为0，则这个数本身为0，因此：
$t+2=0$
解得$t=-2$，即$2x+3y=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
完全平方公式，整体代入法，平方的非负性
【点评】
本题的核心是运用整体代换思想简化运算，解题关键是识别出式子的完全平方结构，无需分别求解x、y的值，即可直接得到目标代数式的结果，是代数式运算中很典型的一类题型。
【难度系数】
0.7
6.已知$y=x^2 -6x +9$. 当$x=$
$3$
时，$y$的值为$0$；当$x=$$0或6$
时，$y$的值为$9$.答案
6. 3 0或6
解析
【分析】
本题要求对应y值下的x取值，解题思路是将给定的y值代入二次函数解析式，把函数问题转化为一元二次方程求解，再按照一元二次方程的解法计算出x的值即可。
【解析】
1. 当y=0时，代入解析式可得：
$x^2 -6x +9=0$
利用完全平方公式因式分解得：$(x-3)^2=0$
解得：$x=3$
2. 当y=9时，代入解析式可得：
$x^2 -6x +9=9$
移项整理得：$x^2 -6x=0$
提取公因式因式分解得：$x(x-6)=0$
解得：$x=0$或$x=6$
【答案】
3；0或6
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，将函数值代入解析式转化为方程问题是解题的核心，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速作答。
【难度系数】
0.85
本题要求对应y值下的x取值，解题思路是将给定的y值代入二次函数解析式，把函数问题转化为一元二次方程求解，再按照一元二次方程的解法计算出x的值即可。
【解析】
1. 当y=0时，代入解析式可得：
$x^2 -6x +9=0$
利用完全平方公式因式分解得：$(x-3)^2=0$
解得：$x=3$
2. 当y=9时，代入解析式可得：
$x^2 -6x +9=9$
移项整理得：$x^2 -6x=0$
提取公因式因式分解得：$x(x-6)=0$
解得：$x=0$或$x=6$
【答案】
3；0或6
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，将函数值代入解析式转化为方程问题是解题的核心，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速作答。
【难度系数】
0.85
7. 一元二次方程$(x+4)(x-5)=1$的根为(
A.$x=-4$
B.$x=5$
C.$x_1=-4,x_2=5$
D.以上结论都不对
D
)A.$x=-4$
B.$x=5$
C.$x_1=-4,x_2=5$
D.以上结论都不对
答案
7. D
解析
【分析】
不少同学容易陷入惯性思维，看到因式乘积的形式就直接令每个因式为0求解，忽略了因式分解法解一元二次方程的前提是方程右边必须为0。本题可通过两种思路求解：一是将选项中的值逐一代入原方程验证是否满足左右两边相等；二是先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再求解判断根的情况，即可选出正确答案。
【解析】
解法1：代入验证法
将选项A的$x=-4$代入原方程左边：$(-4+4)×(-4-5)=0×(-9)=0≠1$，不是方程的根，排除A；
将选项B的$x=5$代入原方程左边：$(5+4)×(5-5)=9×0=0≠1$，不是方程的根，排除B；
由上述验证可知$x=-4$、$x=5$都不是方程的根，故排除C；
因此选D。
解法2：整理方程求解
先展开原方程左边：$(x+4)(x-5)=x^2 -5x +4x -20 = x^2 -x -20$
原方程可化为：$x^2 -x -20 = 1$
移项整理为一般式：$x^2 -x -21 = 0$
计算判别式$\Delta = (-1)^2 -4×1×(-21) = 1 + 84 = 85＞0$，方程的根为$x=\frac{1±\sqrt{85}}{2}$，显然不是-4或5，故ABC均错误，选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程求解 2.方程根的验证
【点评】
本题是易错题，主要易错点是忽略因式分解法解方程需右侧为0的适用条件，惯性求解得到错误根误选C。做题时可通过代入验证的方法快速排除错误选项，能有效提升做题准确率和效率。
【难度系数】
0.6
不少同学容易陷入惯性思维，看到因式乘积的形式就直接令每个因式为0求解，忽略了因式分解法解一元二次方程的前提是方程右边必须为0。本题可通过两种思路求解：一是将选项中的值逐一代入原方程验证是否满足左右两边相等；二是先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再求解判断根的情况，即可选出正确答案。
【解析】
解法1：代入验证法
将选项A的$x=-4$代入原方程左边：$(-4+4)×(-4-5)=0×(-9)=0≠1$，不是方程的根，排除A；
将选项B的$x=5$代入原方程左边：$(5+4)×(5-5)=9×0=0≠1$，不是方程的根，排除B；
由上述验证可知$x=-4$、$x=5$都不是方程的根，故排除C；
因此选D。
解法2：整理方程求解
先展开原方程左边：$(x+4)(x-5)=x^2 -5x +4x -20 = x^2 -x -20$
原方程可化为：$x^2 -x -20 = 1$
移项整理为一般式：$x^2 -x -21 = 0$
计算判别式$\Delta = (-1)^2 -4×1×(-21) = 1 + 84 = 85＞0$，方程的根为$x=\frac{1±\sqrt{85}}{2}$，显然不是-4或5，故ABC均错误，选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程求解 2.方程根的验证
【点评】
本题是易错题，主要易错点是忽略因式分解法解方程需右侧为0的适用条件，惯性求解得到错误根误选C。做题时可通过代入验证的方法快速排除错误选项，能有效提升做题准确率和效率。
【难度系数】
0.6
8. 下面的解法正确吗？如果不正确，请改正过来.
解方程$(x-5)(x+2)=18$.
解:原方程化为$(x-5)(x+2)=3×6$,
由$x-5=3$得$x=8$,
由$x+2=6$得$x=4$,
$\therefore$原方程的解为$x_1=8,x_2=4$.
解方程$(x-5)(x+2)=18$.
解:原方程化为$(x-5)(x+2)=3×6$,
由$x-5=3$得$x=8$,
由$x+2=6$得$x=4$,
$\therefore$原方程的解为$x_1=8,x_2=4$.
答案
8. 解:不正确. $(x - 5)(x + 2) = 18$ 整理为 $x^2 - 3x - 28 = 0,(x - 7)(x + 4) = 0,x_1 = 7,x_2 = - 4.$
解析
【分析】
原解法的错误在于误用了因式分解法解方程的依据：只有当两个因式的乘积为0时，才能得出至少其中一个因式为0的结论；乘积为18的两个数有无数组取值，不能直接对应令x-5=3、x+2=6求解。正确思路为：先将方程左边展开，移项整理为右边为0的一元二次方程标准形式，再通过因式分解法求解。
【解析】
解：题中解法不正确，正确解法如下：
1. 整理原方程：
将左边展开得$x^2 + 2x - 5x - 10 = 18$，
移项、合并同类项得一元二次方程标准形式：$x^2 - 3x - 28 = 0$。
2. 因式分解求解：
对左边二次三项式因式分解得：$(x - 7)(x + 4) = 0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”可得：
$x - 7 = 0$ 或 $x + 4 = 0$，
分别解得$x_1 = 7$，$x_2 = -4$。
【答案】
不正确. $(x - 5)(x + 2) = 18$ 整理为 $x^2 - 3x - 28 = 0,(x - 7)(x + 4) = 0,x_1 = 7,x_2 = - 4$.
【知识点】
一元二次方程解法，因式分解法，整式乘法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的易错点，需牢记因式分解法解方程的前提是方程右边为0，解题时要先将方程整理为标准形式再求解，避免随意拆分常数项的错误。
【难度系数】
0.7
原解法的错误在于误用了因式分解法解方程的依据：只有当两个因式的乘积为0时，才能得出至少其中一个因式为0的结论；乘积为18的两个数有无数组取值，不能直接对应令x-5=3、x+2=6求解。正确思路为：先将方程左边展开，移项整理为右边为0的一元二次方程标准形式，再通过因式分解法求解。
【解析】
解：题中解法不正确，正确解法如下：
1. 整理原方程：
将左边展开得$x^2 + 2x - 5x - 10 = 18$，
移项、合并同类项得一元二次方程标准形式：$x^2 - 3x - 28 = 0$。
2. 因式分解求解：
对左边二次三项式因式分解得：$(x - 7)(x + 4) = 0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”可得：
$x - 7 = 0$ 或 $x + 4 = 0$，
分别解得$x_1 = 7$，$x_2 = -4$。
【答案】
不正确. $(x - 5)(x + 2) = 18$ 整理为 $x^2 - 3x - 28 = 0,(x - 7)(x + 4) = 0,x_1 = 7,x_2 = - 4$.
【知识点】
一元二次方程解法，因式分解法，整式乘法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的易错点，需牢记因式分解法解方程的前提是方程右边为0，解题时要先将方程整理为标准形式再求解，避免随意拆分常数项的错误。
【难度系数】
0.7
