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9. 用因式分解法解下列方程：
(1) $x^2 = \sqrt{5}x$；
(2) $3x(x-1) = 2x - 2$；
(3) $(x+1)^2 -25 =0$；
(4) $2(x-3) = x^2 -9$。
(1) $x^2 = \sqrt{5}x$；
(2) $3x(x-1) = 2x - 2$；
(3) $(x+1)^2 -25 =0$；
(4) $2(x-3) = x^2 -9$。
答案
9. (1)$x_1 = 0,x_2 = \sqrt{5}$;(2)$x_1 = 1,x_2 = \dfrac{2}{3}$;(3)$x_1 = 4,x_2 = - 6$;(4)$x_1 = 3,x_2 = - 1.$
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程整理为一边等于0，另一边分解为两个一次因式乘积的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，注意不可随意在方程两边同时除以含未知数的整式，否则会丢失根。
各小题具体思考路径：
(1) 移项后提取公因式x即可分解；
(2) 先将右边的2x-2变形为2(x-1)，移项后提取公因式(x-1)分解；
(3) 方程左边是平方差形式，直接用平方差公式分解；
(4) 先将右边的x²-9用平方差公式分解为(x-3)(x+3)，移项后提取公因式(x-3)分解。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 - \sqrt{5}x = 0$，
提取公因式$x$，得 $x(x - \sqrt{5}) = 0$，
于是得 $x=0$ 或 $x - \sqrt{5}=0$，
解得 $x_1=0, x_2=\sqrt{5}$。
(2) 原方程变形为 $3x(x-1) - 2(x-1) = 0$，
提取公因式$(x-1)$，得 $(x-1)(3x - 2) = 0$，
于是得 $x-1=0$ 或 $3x - 2=0$，
解得 $x_1=1, x_2=\dfrac{2}{3}$。
(3) 原方程变形为 $(x+1)^2 - 5^2 = 0$，
由平方差公式分解，得 $[(x+1)+5][(x+1)-5] = 0$，
化简得 $(x+6)(x-4)=0$，
于是得 $x+6=0$ 或 $x-4=0$，
解得 $x_1=4, x_2=-6$。
(4) 原方程变形为 $2(x-3) - (x^2 - 9) = 0$，
将$x^2-9$用平方差公式分解，得 $2(x-3) - (x-3)(x+3) = 0$，
提取公因式$(x-3)$，得 $(x-3)[2 - (x+3)] = 0$，
化简得 $(x-3)(-x-1)=0$，
于是得 $x-3=0$ 或 $-x-1=0$，
解得 $x_1=3, x_2=-1$。
【答案】
(1)$x_1 = 0,x_2 = \sqrt{5}$;(2)$x_1 = 1,x_2 = \dfrac{2}{3}$;(3)$x_1 = 4,x_2 = - 6$;(4)$x_1 = 3,x_2 = - 1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是熟练掌握常见的因式分解方法，解题时注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程整理为一边等于0，另一边分解为两个一次因式乘积的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，注意不可随意在方程两边同时除以含未知数的整式，否则会丢失根。
各小题具体思考路径：
(1) 移项后提取公因式x即可分解；
(2) 先将右边的2x-2变形为2(x-1)，移项后提取公因式(x-1)分解；
(3) 方程左边是平方差形式，直接用平方差公式分解；
(4) 先将右边的x²-9用平方差公式分解为(x-3)(x+3)，移项后提取公因式(x-3)分解。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 - \sqrt{5}x = 0$，
提取公因式$x$，得 $x(x - \sqrt{5}) = 0$，
于是得 $x=0$ 或 $x - \sqrt{5}=0$，
解得 $x_1=0, x_2=\sqrt{5}$。
(2) 原方程变形为 $3x(x-1) - 2(x-1) = 0$，
提取公因式$(x-1)$，得 $(x-1)(3x - 2) = 0$，
于是得 $x-1=0$ 或 $3x - 2=0$，
解得 $x_1=1, x_2=\dfrac{2}{3}$。
(3) 原方程变形为 $(x+1)^2 - 5^2 = 0$，
由平方差公式分解，得 $[(x+1)+5][(x+1)-5] = 0$，
化简得 $(x+6)(x-4)=0$，
于是得 $x+6=0$ 或 $x-4=0$，
解得 $x_1=4, x_2=-6$。
(4) 原方程变形为 $2(x-3) - (x^2 - 9) = 0$，
将$x^2-9$用平方差公式分解，得 $2(x-3) - (x-3)(x+3) = 0$，
提取公因式$(x-3)$，得 $(x-3)[2 - (x+3)] = 0$，
化简得 $(x-3)(-x-1)=0$，
于是得 $x-3=0$ 或 $-x-1=0$，
解得 $x_1=3, x_2=-1$。
【答案】
(1)$x_1 = 0,x_2 = \sqrt{5}$;(2)$x_1 = 1,x_2 = \dfrac{2}{3}$;(3)$x_1 = 4,x_2 = - 6$;(4)$x_1 = 3,x_2 = - 1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是熟练掌握常见的因式分解方法，解题时注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
10. 已知 $9a^2 - 4b^2 = 0$，求代数式 $\frac{a}{b} - \frac{b}{a} - \frac{a^2 + b^2}{ab}$ 的值。
答案
$\pm 3$
解析
【分析】
解题时遵循“先化简，再求值”的原则，第一步先对所求的分式进行通分化简，消去多余的项，得到最简形式；第二步对已知等式利用平方差公式因式分解，得到a与b的比值关系，注意开平方时要考虑正负两种情况，同时要保证分式有意义，即a、b均不为0；最后将a与b的比值代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：首先化简代数式 $\frac{a}{b} - \frac{b}{a} - \frac{a^2 + b^2}{ab}$，
由分式有意义可得$a≠0$，$b≠0$，通分（公分母为$ab$）得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}-\frac{a^2 + b^2}{ab}\\&=\frac{a^2 - b^2 - (a^2 + b^2)}{ab}\\&=\frac{a^2 - b^2 - a^2 - b^2}{ab}\\&=\frac{-2b^2}{ab}\\&=-\frac{2b}{a}\end{aligned}$
再处理已知条件$9a^2 - 4b^2 = 0$，利用平方差公式因式分解得：
$(3a+2b)(3a-2b)=0$
$\therefore 3a+2b=0$ 或 $3a-2b=0$，即 $b=-\frac{3}{2}a$ 或 $b=\frac{3}{2}a$
当$b=\frac{3}{2}a$时，$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，代入得：$-\frac{2b}{a}=-2×\frac{3}{2}=-3$
当$b=-\frac{3}{2}a$时，$\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，代入得：$-\frac{2b}{a}=-2×(-\frac{3}{2})=3$
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
分式化简求值，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，先化简再代入计算可以大幅降低计算量，解题时要注意分式有意义的前提条件，同时对平方项开方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时遵循“先化简，再求值”的原则，第一步先对所求的分式进行通分化简，消去多余的项，得到最简形式；第二步对已知等式利用平方差公式因式分解，得到a与b的比值关系，注意开平方时要考虑正负两种情况，同时要保证分式有意义，即a、b均不为0；最后将a与b的比值代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：首先化简代数式 $\frac{a}{b} - \frac{b}{a} - \frac{a^2 + b^2}{ab}$，
由分式有意义可得$a≠0$，$b≠0$，通分（公分母为$ab$）得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}-\frac{a^2 + b^2}{ab}\\&=\frac{a^2 - b^2 - (a^2 + b^2)}{ab}\\&=\frac{a^2 - b^2 - a^2 - b^2}{ab}\\&=\frac{-2b^2}{ab}\\&=-\frac{2b}{a}\end{aligned}$
再处理已知条件$9a^2 - 4b^2 = 0$，利用平方差公式因式分解得：
$(3a+2b)(3a-2b)=0$
$\therefore 3a+2b=0$ 或 $3a-2b=0$，即 $b=-\frac{3}{2}a$ 或 $b=\frac{3}{2}a$
当$b=\frac{3}{2}a$时，$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，代入得：$-\frac{2b}{a}=-2×\frac{3}{2}=-3$
当$b=-\frac{3}{2}a$时，$\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，代入得：$-\frac{2b}{a}=-2×(-\frac{3}{2})=3$
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
分式化简求值，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，先化简再代入计算可以大幅降低计算量，解题时要注意分式有意义的前提条件，同时对平方项开方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
1. 如何用判别式$b^2 - 4ac$来判断一元二次方程根的情况？
答案
当$b^2-4ac＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当$b^2-4ac=0$时，一元二次方程有两个相等的实数根；当$b^2-4ac＜0$时，一元二次方程没有实数根。
解析
【分析】
解答本题首先要明确一元二次方程的前提：一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a、b、c$为常数，$a≠0$），判别式$b^2-4ac$来自配方法推导求根公式的过程，求根公式中根号下的代数式就是$b^2-4ac$，只有根号下的数非负时才能得到实数根，因此可根据$b^2-4ac$的符号分三类讨论根的情况：根号下的数为正对应两个不同的开方结果，即两个不等实根；根号下的数为0对应开方结果唯一，即两个相等实根；根号下的数为负时实数范围内无法开平方，即无实根。
【解析】
首先定义一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，分三种情况判断根的情况：
1. 若$b^2-4ac＞0$，求根公式中根号部分可开出两个不同的非零实数，因此方程有两个不相等的实数根；
2. 若$b^2-4ac=0$，求根公式中根号部分开方结果为0，因此方程有两个相等的实数根；
3. 若$b^2-4ac＜0$，实数范围内负数没有平方根，求根公式无意义，因此方程没有实数根。
【答案】
当$b^2-4ac＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当$b^2-4ac=0$时，一元二次方程有两个相等的实数根；当$b^2-4ac＜0$时，一元二次方程没有实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程实根判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，考察对判别式判定根的情况这一规则的掌握，该知识点是后续求解一元二次方程、分析二次函数与x轴交点问题的核心基础，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确一元二次方程的前提：一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a、b、c$为常数，$a≠0$），判别式$b^2-4ac$来自配方法推导求根公式的过程，求根公式中根号下的代数式就是$b^2-4ac$，只有根号下的数非负时才能得到实数根，因此可根据$b^2-4ac$的符号分三类讨论根的情况：根号下的数为正对应两个不同的开方结果，即两个不等实根；根号下的数为0对应开方结果唯一，即两个相等实根；根号下的数为负时实数范围内无法开平方，即无实根。
【解析】
首先定义一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，分三种情况判断根的情况：
1. 若$b^2-4ac＞0$，求根公式中根号部分可开出两个不同的非零实数，因此方程有两个不相等的实数根；
2. 若$b^2-4ac=0$，求根公式中根号部分开方结果为0，因此方程有两个相等的实数根；
3. 若$b^2-4ac＜0$，实数范围内负数没有平方根，求根公式无意义，因此方程没有实数根。
【答案】
当$b^2-4ac＞0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当$b^2-4ac=0$时，一元二次方程有两个相等的实数根；当$b^2-4ac＜0$时，一元二次方程没有实数根。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程实根判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，考察对判别式判定根的情况这一规则的掌握，该知识点是后续求解一元二次方程、分析二次函数与x轴交点问题的核心基础，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程的求根公式是
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0)$
.答案
2. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0)$
解析
【分析】
要写出一元二次方程的求根公式，首先回忆一元二次方程的一般形式，求根公式是通过配方法对一般形式推导得到的，推导时要注意开平方的前提是被开方数非负，也就是判别式$b^2-4ac≥0$，同时要记清公式的符号、分母为$2a$等细节，避免书写错误。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），通过配方法推导求根公式步骤如下：
1. 移项得：$ax^2+bx=-c$
2. 二次项系数化为1：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
3. 两边同时加$(\frac{b}{2a})^2$配方：$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$
4. 整理为完全平方形式：$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
5. 当$b^2-4ac≥0$时，两边开平方得：$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
6. 移项得求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，适用条件为$b^2-4ac≥0$。
【答案】
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0)$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式 2. 配方法 3. 根的判别式
【点评】
本题属于基础概念识记题，求根公式是一元二次方程相关知识的核心内容之一，需准确记忆公式形式及适用前提，为后续解方程、研究根的性质等内容打好基础。
【难度系数】
0.9
要写出一元二次方程的求根公式，首先回忆一元二次方程的一般形式，求根公式是通过配方法对一般形式推导得到的，推导时要注意开平方的前提是被开方数非负，也就是判别式$b^2-4ac≥0$，同时要记清公式的符号、分母为$2a$等细节，避免书写错误。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），通过配方法推导求根公式步骤如下：
1. 移项得：$ax^2+bx=-c$
2. 二次项系数化为1：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
3. 两边同时加$(\frac{b}{2a})^2$配方：$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$
4. 整理为完全平方形式：$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
5. 当$b^2-4ac≥0$时，两边开平方得：$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
6. 移项得求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，适用条件为$b^2-4ac≥0$。
【答案】
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0)$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式 2. 配方法 3. 根的判别式
【点评】
本题属于基础概念识记题，求根公式是一元二次方程相关知识的核心内容之一，需准确记忆公式形式及适用前提，为后续解方程、研究根的性质等内容打好基础。
【难度系数】
0.9
3. 一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，根据求根公式可得 $x_1 = \_\_\_\_\_\_$，
$x_2 = \_\_\_\_\_\_$，由此可得 $x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_$，
$x_1x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
因此，方程的两个根 $x_1,x_2$ 和系数 $a,b,c$
的关系为 $x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_$，$x_1x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
$x_2 = \_\_\_\_\_\_$，由此可得 $x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_$，
$x_1x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
因此，方程的两个根 $x_1,x_2$ 和系数 $a,b,c$
的关系为 $x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_$，$x_1x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程求根公式的识记及根与系数关系的推导。解题思路如下：1. 先准确回忆一元二次方程的求根公式，写出两个根$x_1$、$x_2$的表达式；2. 将两个根相加，合并同类项后化简，消去带根号的部分，即可得到$x_1+x_2$的结果；3. 将两个根相乘，利用平方差公式计算分子，约分后得到$x_1x_2$的结果；4. 最终总结得到两根与系数$a,b,c$的对应关系。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$时，由求根公式可得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})+(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
由此可得一元二次方程两根与系数的关系为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【答案】
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式，根与系数的关系（韦达定理），代数式化简
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是对一元二次方程求根公式的掌握和根与系数关系推导过程的理解，是后续运用韦达定理解决各类一元二次方程相关问题的基础，掌握基础公式和基本运算规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程求根公式的识记及根与系数关系的推导。解题思路如下：1. 先准确回忆一元二次方程的求根公式，写出两个根$x_1$、$x_2$的表达式；2. 将两个根相加，合并同类项后化简，消去带根号的部分，即可得到$x_1+x_2$的结果；3. 将两个根相乘，利用平方差公式计算分子，约分后得到$x_1x_2$的结果；4. 最终总结得到两根与系数$a,b,c$的对应关系。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$时，由求根公式可得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})+(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
由此可得一元二次方程两根与系数的关系为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【答案】
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式，根与系数的关系（韦达定理），代数式化简
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是对一元二次方程求根公式的掌握和根与系数关系推导过程的理解，是后续运用韦达定理解决各类一元二次方程相关问题的基础，掌握基础公式和基本运算规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
4. 自学教科书第16页例5,并解答下列问题.
不解方程,求下列方程两个根的和与积:
(1)$x^2 -2x +1=0$;
(2)$2x^2 -3x +1=0$.
不解方程,求下列方程两个根的和与积:
(1)$x^2 -2x +1=0$;
(2)$2x^2 -3x +1=0$.
答案
(1) 两根之和为2，两根之积为1
(2) 两根之和为$\frac{3}{2}$，两根之积为$\frac{1}{2}$
(2) 两根之和为$\frac{3}{2}$，两根之积为$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题要求不解方程求一元二次方程两根的和与积，核心解题思路是应用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，思考步骤如下：1. 明确韦达定理的使用前提：方程必须有两个实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$；2. 对每个方程，先确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要自带符号；3. 先计算判别式确认方程有实根后，再代入韦达定理公式：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算结果，计算时重点注意$b$的符号，避免出错。
【解析】
（1）对于方程$x^2 -2x +1=0$：
该方程为一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=1$。
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×1 = 0 ≥ 0$，因此方程有两个相等的实数根，符合韦达定理使用条件。
则两根之和：$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2$
两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1$
（2）对于方程$2x^2 -3x +1=0$：
该方程为一元二次方程，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$。
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×2×1 = 1 ≥ 0$，因此方程有两个不相等的实数根，符合韦达定理使用条件。
则两根之和：$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$
两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$
【答案】
(1) 两根之和为2，两根之积为1
(2) 两根之和为$\frac{3}{2}$，两根之积为$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的易错点在于容易忽略判别式的验证，以及代入公式时搞错一次项系数的符号，熟练掌握韦达定理的适用条件和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题要求不解方程求一元二次方程两根的和与积，核心解题思路是应用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，思考步骤如下：1. 明确韦达定理的使用前提：方程必须有两个实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$；2. 对每个方程，先确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要自带符号；3. 先计算判别式确认方程有实根后，再代入韦达定理公式：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算结果，计算时重点注意$b$的符号，避免出错。
【解析】
（1）对于方程$x^2 -2x +1=0$：
该方程为一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=1$。
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×1 = 0 ≥ 0$，因此方程有两个相等的实数根，符合韦达定理使用条件。
则两根之和：$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2$
两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1$
（2）对于方程$2x^2 -3x +1=0$：
该方程为一元二次方程，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$。
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×2×1 = 1 ≥ 0$，因此方程有两个不相等的实数根，符合韦达定理使用条件。
则两根之和：$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$
两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$
【答案】
(1) 两根之和为2，两根之积为1
(2) 两根之和为$\frac{3}{2}$，两根之积为$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的易错点在于容易忽略判别式的验证，以及代入公式时搞错一次项系数的符号，熟练掌握韦达定理的适用条件和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
