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【例1】下列哪些式子表示 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数？每一个反比例函数中相应的 $ k $ 值是多少？
(1)$ y=\frac{5}{x} $;(2)$ y=5x $;(3)$ y=\frac{x}{5} $;(4)$ y=\frac{1}{3x} $;
(5)$ y=-3x^{-1} $;(6)$ y=\frac{a}{x} $;(7)$ y=\frac{2}{x+1} $.
解:
(1)$ y=\frac{5}{x} $;(2)$ y=5x $;(3)$ y=\frac{x}{5} $;(4)$ y=\frac{1}{3x} $;
(5)$ y=-3x^{-1} $;(6)$ y=\frac{a}{x} $;(7)$ y=\frac{2}{x+1} $.
解:
答案
根据反比例函数的定义可知，
1. y 是 x 的反比例函数，k 值是 5
4. y 是 x 的反比例函数，k 值是 $\frac{1}{3}$
5. y 是 x 的反比例函数，k 值是 －3
1. y 是 x 的反比例函数，k 值是 5
4. y 是 x 的反比例函数，k 值是 $\frac{1}{3}$
5. y 是 x 的反比例函数，k 值是 －3
|变式训练|
1.下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（
A.$y=\frac{x}{2}$
B.$y=-\frac{1}{2x}$
C.$y=\frac{1}{2+x}$
D.$y=\frac{1}{x^2}$
1.下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（
B
）A.$y=\frac{x}{2}$
B.$y=-\frac{1}{2x}$
C.$y=\frac{1}{2+x}$
D.$y=\frac{1}{x^2}$
答案
1. B
【例2】已知函数$y=(m+1)x^{|2m|-3}$是反比例函数，求实数$m$的值。
答案
解：
根据反比例函数的定义，自变量$x$的次数为$-1$，且比例系数不为$0$，可得：
$\begin{cases}|2m| - 3 = -1 \\m + 1 ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程$|2m| - 3 = -1$：
移项得$|2m| = 2$，即$2m = \pm 2$，解得$m=1$或$m=-1$。
解第二个不等式$m + 1 ≠ 0$，得$m ≠ -1$。
综上，实数$m$的值为$1$。
根据反比例函数的定义，自变量$x$的次数为$-1$，且比例系数不为$0$，可得：
$\begin{cases}|2m| - 3 = -1 \\m + 1 ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程$|2m| - 3 = -1$：
移项得$|2m| = 2$，即$2m = \pm 2$，解得$m=1$或$m=-1$。
解第二个不等式$m + 1 ≠ 0$，得$m ≠ -1$。
综上，实数$m$的值为$1$。
|思路分析|
思考1:根据反比例函数$y=kx^{-1}$的定义,自变量$x$的次数为
思考2:在反比例函数$y=kx^{-1}$中,$k$不能为
解:
【规律方法】
由反比例函数的概念求字母取值的条件
(1)$y=kx^n$是反比例函数的条件是$n=-1$,且$k≠0$.
(2)$y=\frac{k}{x^n}$是反比例函数的条件是$n=1$,且$k≠0$.
思考1:根据反比例函数$y=kx^{-1}$的定义,自变量$x$的次数为
-1
,由此得到关于所求字母的方程.思考2:在反比例函数$y=kx^{-1}$中,$k$不能为
0
,故可得到关于所求字母的不等式,结合思考1可得所求字母的值.解:
【规律方法】
由反比例函数的概念求字母取值的条件
(1)$y=kx^n$是反比例函数的条件是$n=-1$,且$k≠0$.
(2)$y=\frac{k}{x^n}$是反比例函数的条件是$n=1$,且$k≠0$.
答案
思考1: -1
思考2: 0
解: m=1.
思考2: 0
解: m=1.
2.已知函数$y=\dfrac{3}{x^{k+2}}$是反比例函数，则实数k的值为
-1
。答案
2. -1
