【例1】如图，PA，PB为$\odot O$的两条切线，CD切$\odot O$于点E，分别交PA，PB于点C，D.F为$\odot O$上的点，连接AF，BF.若$PA＝5$，$∠ P＝40°$，则$△ PCD$的周长和$∠ AFB$的度数分别为（）

A.$10,40°$ B.$10,80°$
C.$15,70°$ D.$10,70°$
【规律方法】
切线长定理中的“钻石”图形
如图，PA，PB为$\odot O$的切线，此图形是切线长定理的基本图形.由于此图形的形状像一个“钻石”，我们常把它称为“钻石”图形.此图形中含有：
(1)两个等腰三角形（$△ PAB$，$△ OAB$）；
(2)一条特殊的角平分线（$OP$平分$∠ APB$和$∠ AOB$）；
(3)三个垂直关系（$OA ⊥ PA$，$OB ⊥ PB$，$OP ⊥ AB$）.

变式训练

D

1.如图，PA，PB是$\odot O$的两条切线，A，B为切点，连接AB，PO，PO交AB于点D，交$\odot O$于点C，$CD=1$，$AB=4$，则$\odot O$的半径长为。

1. 2.5

突破点二 利用切线长定理证明
【例2】如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB均为$\odot O$的切线，A和B是切点，BC是直径.求证：
(1)$∠ APB=2∠ ABC$.
(2)$AC// OP$.
证明：

【规律方法】
利用切线长定理解决证明问题
常用的辅助线构造技巧
(1)连接圆心与切点，构造直角三角形.
(2)连接两切点，构造等腰三角形.
(3)连接直径端点，利用直径所对圆周角为直角，构造直角三角形.
(4)连接圆心与弦的中点，结合垂径定理解决问题.

(1)设AB交OP于点F,连接AO(图略).
因为PA,PB均为$\odot O$的切线,A 和 B 是切点,所以$∠ APO = ∠ BPO$,$PA = PB$,$OB⊥ BP$,
所以$∠ BPO + ∠ BOP = 90°$,$∠ APB = 2∠ BPO$.
因为$OA=OB$,
所以PO 垂直平分AB,
所以$∠ OFB=90°$,
所以$∠ OBA + ∠ BOP = 90°$,
所以$∠ ABC = ∠ BPO$,
所以$∠ APB = 2∠ ABC$.
(2)由(1)知$∠ OFB=90°$.
因为 BC 是$\odot O$的直径,
所以$∠ CAB=90°$,
所以$∠ CAB = ∠ OFB$,所以$AC// OP$.

2.如图，PA，PB是$\odot O$的切线，切点分别为A，B，BC是$\odot O$的直径，PO交$\odot O$于点E，连接AB交PO于点F，连接CE交AB于点D，$AC=4$.
(1)求OF的长.
(2)求证：$∠ PBE=∠ ABE$.

(1) 解:$OF=2$.
(2) 证明:因为 PB 是$\odot O$的切线，
所以$∠ PBE+∠ EBC=90°$.
因为 BC 是$\odot O$的直径，
所以$∠ BEC=90°$,
所以$∠ EBC+∠ ECB=90°$,
所以$∠ PBE=∠ ECB$.
由题意得 OP 是 AB 的垂直平分线，
所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$,
所以$∠ ECB=∠ ABE$,
所以$∠ PBE=∠ ABE$.