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1. 如图，PA，PB分别与$\odot O$相切于点A，B，$PA=6$，$∠ P=60°$，则AB的长为 （
A.6
B.$4\sqrt{3}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
A
）A.6
B.$4\sqrt{3}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
答案
1. A
2.如图，PA，PB，CD是$\odot O$的切线，点A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点。
若$∠ COD=65°$，则$∠ APB$的度数为（
A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
若$∠ COD=65°$，则$∠ APB$的度数为（
B
）A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
2. B
3.如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB//CD。若OB=6 cm，OC=8 cm，则BE+CG的长等于
10
cm.答案
3. 10
4.如图,在四边形$ABCD$中,$AB // CD$,$AD ⊥ AB$,以$D$为圆心,$AD$为半径的圆弧恰好与$BC$相切,切点为$E$.若$AB=1$,$CD=\dfrac{10}{3}$,则$AD$的长为
$\dfrac{\sqrt{51}}{3}$
.答案
4. $\dfrac{\sqrt{51}}{3}$
5.如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB分别切$\odot O$于点A，B.连接PO，交$\odot O$于点D，延长PO，交$\odot O$于点C.连接AC，BC.连接AO并延长，交BC于点E.
(1)求证：D是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
(2)若E是BC的中点，求$∠ APC$的度数.
(1)求证：D是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
(2)若E是BC的中点，求$∠ APC$的度数.
答案
(1) 证明:因为 PA, PB 分别切$\odot O$于点A,B,
所以 $PA=PB,∠APC=∠BPC.$
又因为 $PC=PC,$
所以$△ APC≌△ BPC,$
所以$∠ACP=∠BCP,$
所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,即 D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
(2) 解:$∠APC=30°.$
所以 $PA=PB,∠APC=∠BPC.$
又因为 $PC=PC,$
所以$△ APC≌△ BPC,$
所以$∠ACP=∠BCP,$
所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,即 D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
(2) 解:$∠APC=30°.$
解析
【解析】
(1) 证明:因为 PA, PB 分别切$\odot O$于点A,B,
所以 $PA=PB,∠APC=∠BPC.$
又因为 $PC=PC,$
所以$△ APC≌△ BPC,$
所以$∠ACP=∠BCP,$
所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,即 D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
（2）因为$(OC=OB)$，$E$是$BC$的中点，由等腰三角形三线合一得：$OE\perp BC$，即$AE\perp BC$。 直线$AE$过圆心$O$且垂直于弦$BC$，根据垂径定理，直线$AE$平分$\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。 由(1)知$D$是$\overset{\frown}{AB}$中点，故$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。 设$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=\alpha$，则$\overset{\frown}{AB}=2\alpha$，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$得$\overset{\frown}{AC}=2\alpha$。 因为$CD$是$\odot O$的直径，所以$\overset{\frown}{CAD}=180^\circ$，即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AD}=180^\circ$。 代入得$2\alpha+\alpha=180^\circ$，解得$\alpha=60^\circ$，因此圆心角$\angle AOP=60^\circ$。 因为$PA$是$\odot O$的切线，所以$OA\perp PA$，即$\angle OAP=90^\circ$。 在$\text{Rt}\triangle OAP$中，$\angle APO=90^\circ-\angle AOP=90^\circ-60^\circ=30^\circ$，即$\boldsymbol{\angle APC=30^\circ}$。
(1) 证明:因为 PA, PB 分别切$\odot O$于点A,B,
所以 $PA=PB,∠APC=∠BPC.$
又因为 $PC=PC,$
所以$△ APC≌△ BPC,$
所以$∠ACP=∠BCP,$
所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,即 D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
（2）因为$(OC=OB)$，$E$是$BC$的中点，由等腰三角形三线合一得：$OE\perp BC$，即$AE\perp BC$。 直线$AE$过圆心$O$且垂直于弦$BC$，根据垂径定理，直线$AE$平分$\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。 由(1)知$D$是$\overset{\frown}{AB}$中点，故$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。 设$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=\alpha$，则$\overset{\frown}{AB}=2\alpha$，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$得$\overset{\frown}{AC}=2\alpha$。 因为$CD$是$\odot O$的直径，所以$\overset{\frown}{CAD}=180^\circ$，即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AD}=180^\circ$。 代入得$2\alpha+\alpha=180^\circ$，解得$\alpha=60^\circ$，因此圆心角$\angle AOP=60^\circ$。 因为$PA$是$\odot O$的切线，所以$OA\perp PA$，即$\angle OAP=90^\circ$。 在$\text{Rt}\triangle OAP$中，$\angle APO=90^\circ-\angle AOP=90^\circ-60^\circ=30^\circ$，即$\boldsymbol{\angle APC=30^\circ}$。
6.如图，已知线段AE，AF与$\odot O$相切，切点分别为E，F，$∠ A=∠ B=90°$，$AF=BF$。
(1)过点C作$\odot O$的切线与AE的延长线交于点D，切点为G.(要求:尺规作图)
(2)求证:BC与$\odot O$相切.
(3)若$AD=3$，$BC=5$，求$\odot O$的半径.
(1)过点C作$\odot O$的切线与AE的延长线交于点D，切点为G.(要求:尺规作图)
(2)求证:BC与$\odot O$相切.
(3)若$AD=3$，$BC=5$，求$\odot O$的半径.
答案
6.(1) 解:如图,连接 EO 并延长 EO 交 BC 于点 H,以点 C 为圆心,CH 为半径作弧交$\odot O$于点 G,连接 CG 并延长交 AE 的延长线于点D.
(2) 证明:如图,连接 OF.
因为线段 AE,AF 与$\odot O$相切,切点分别为E,F,
所以 $∠AEH = ∠AFO = ∠BFO = 90°$,
$OE=OF.$
又因为$∠A=∠B=90°$,
所以四边形 AEOF 是正方形,
所以 $OE=OF=AF=AE,∠EOF=90°$,
所以$∠FOH=90°.$
又因为$∠B=90°$,所以四边形 OFBH 是矩形.
因为 $AF=BF$,所以 $BF=OF$,所以四边形 OFBH 是正方形,
所以 $OH=OF,∠OHB=90°$,
所以 $OH⊥BC$,且点 H 在$\odot O$上,
所以 BC 与$\odot O$相切.
(3) 解:$\odot O$的半径为$\dfrac{15}{8}.$
