【巩固提升】
1.如图，PA与$\odot O$相切于点A，PO的延长线交$\odot O$于点C.AB$// PC$，交$\odot O$于点B.若$∠ P=30°$，则$∠ BCP$的度数为（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

1. C

2.如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD=70°，则∠C的度数为（）

A.52°
B.55°
C.35°
D.44°

2. B

3.如图,在平面直角坐标系中,已知$C(3,4)$,以点$C$为圆心的圆与$y$轴相切.点$A,B$在$x$轴上,且$OA=OB$.点$P$为$\odot C$上的动点,$∠ APB=90°$,则$AB$长度的最大值为()

A.14
B.15
C.16
D.8

3. C

4.如图，AB是$\odot O$的直径，AC是弦，$AB=5$，$∠ A=30°$，P是AB延长线上一动点.要使直线PC与$\odot O$相切，则BP的长等于.

4. $\frac{5}{2}$

5.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,CD平分$∠ ACB$交AB于点D,点O在AC上,且$OD=OC$,以点O为圆心,OD的长为半径画$\odot O$.
(1)求证:直线AB是$\odot O$的切线.
(2)若$AD=3,AO=5$,求$\odot O$的直径.

5. (1)证明:因为点O在AC上,且$OD=OC$,
所以$∠ODC=∠ACD$.
因为CD平分$∠ACB$,
所以$∠ACD=∠BCD$,
所以$∠ODC=∠BCD$,
所以$OD// BC$,
所以$∠ADO=∠ABC=90°$.
因为OD是$\odot O$的半径,
所以直线AB是$\odot O$的切线.
(2)解:因为$∠ADO=90°,AD=3,AO=5$,
所以$OD=\sqrt{AO^2-AD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
因为OD是$\odot O$的半径,
所以$\odot O$的直径为8.

6.如图，AB是$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，P为$\odot O$外一点，$OP// AC$，且$∠ OBP=90°$，连接PC.
(1)求证：PC与$\odot O$相切.
(2)若$AO=3$，$OP=5$，求AC的长.

6. (1)证明:如图,连接OC.
因为$OC=OA$,
所以$∠OAC=∠OCA$.
因为$OP// AC$,
所以$∠OAC=∠BOP,∠OCA=∠COP$,
所以$∠COP=∠BOP$.
因为$OP=OP,OC=OB$,
所以$△ COP≌△ BOP$(SAS),
所以$∠OCP=∠OBP=90°$,
所以$OC⊥ PC$.
因为OC是$\odot O$的半径,
所以PC与$\odot O$相切.

(2)解:如图,连接BC交OP于点D.
因为$△ COP≌△ BOP$,
所以$PC=PB,OB=OC$,
所以OP垂直平分BC.
因为$AO=BO=3,OP=5,∠OBP=90°$,
所以$BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
因为$S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB· BP=\frac{1}{2}OP· BD$,
所以$BD=\frac{OB· BP}{OP}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$,
所以$BC=2BD=\frac{24}{5}$.
因为AB是$\odot O$的直径,
所以$AB=2OA=6,∠ACB=90°$,
所以$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$.