2.如图,在$△ ABO$中,$∠ ABO=90°$,以点$O$为圆心,$OB$长为半径作$\odot O$,延长$BO$到点$C$,连接$AC$.若$∠ CAO=∠ BAO$,求证:$AC$所在直线与$\odot O$相切.

2. 证明:如图,过点O作$ON⊥AC$于点N.
因为$∠CAO=∠BAO,OB⊥AB,ON⊥AC$,
所以$ON=OB$,所以点N在$\odot O$上,
所以AC所在直线与$\odot O$相切.

【例3】如图，PA是$\odot O$的切线，A为切点，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，$PA=PC=AB$，连接PO，AC交于点D.
（1）试说明PC是$\odot O$的切线.
（2）当$AC=4$时，求AB的长.

解:
【规律方法】
通过判定定理证明某直线是切线后，再利用切线的性质解决角度、线段、面积等问题，也可由性质推导判定的条件.解决的核心在于通过辅助线(如半径)搭建“判定”与“性质”的桥梁.

(1) 证明:如图,连接OC.
因为PA是$\odot O$的切线,
所以$PA⊥OA$,
所以$∠PAO=90°$.
因为$OC=OA,PC=PA,OP=OP$,
所以$△POC≌△POA$(SSS),
所以$∠PCO=∠PAO=90°$,
所以$OC⊥CP$.
又因为点C在$\odot O$上,
所以PC是$\odot O$的切线.
(2) 解:因为$PA=PC,OC=OA$,
所以OP垂直平分AC,
所以$∠PDA=90°,AD=\frac{1}{2}AC=2$,
所以$∠APD=90°-∠PAD=∠BAC$.
因为AB是$\odot O$的直径,
所以$∠BCA=90°$,
所以$∠PDA=∠BCA$.
在$△PAD$和$△ABC$中,
$\begin{cases}∠APD=∠BAC,\\∠PDA=∠ACB,\\PA=AB,\end{cases}$
所以$△PAD≌△ABC$(AAS).
所以$BC=AD=2$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.

3.如图，AB为$\odot O$的切线，B为切点，过点B作$BC⊥ OA$，垂足为E，交$\odot O$于点C，延长CO与AB的延长线交于点D.
(1)求证:AC为$\odot O$的切线.
(2)若$OC=3$，$OD=5$，求线段AC的长.

(1) 证明:如图,连接OB.
因为AB为$\odot O$的切线,所以$OB⊥AB$,所以$∠OBA=90°$.
因为$OC=OB$,所以$△ OBC$是等腰三角形.
因为$OA⊥BC$,所以$EC=BE$,所以OA是CB的垂直平分线,所以$AC=AB$.
因为$AO=AO$,所以$△ CAO≌△ BAO(\mathrm{SSS})$,所以$∠OCA=∠OBA=90°$,即$OC⊥AC$.
又因为OC是$\odot O$的半径,所以AC为$\odot O$的切线.
(2) 解:$AC=6$.