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1 下列运算：①$(3x)^2=9x^2$；②$(a - 2b)^2=a^2 -4ab +4b^2$；③$(-x - y)^2=x^2 + 2xy + y^2$；④$(2x + \frac{1}{4})^2=4x^2 + x + \frac{1}{16}$。其中，运算错误的有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C 【解析】①$(3x+y)^2 = 9x^2+6xy+y^2$，故①运算错误；②$(a-2b)^2 = a^2-4ab+4b^2$，故②运算错误；③$(-x-y)^2=x^2+2xy+y^2$，故③运算正确；④$(x-\frac{1}{2})^2 = x^2 -x +\frac{1}{4}$，故④运算错误。所以运算错误的有①②④，共3个。故选 C.
2[2026吉林长春质检]下列图形中阴影部分的面积能够直观地解释$(x-1)^2=x^2-2x+1$的是（
）
）答案
A 【解析】选项 A 中的阴影部分的面积能够直观地解释$(x-1)^2=x^2-2x+1$，故选 A.
3[2025上海徐汇区期中]已知$x^2 -5x +1=0$，则$(x - \dfrac{1}{x})^2 =$
21
答案
21 【解析】$\because x^2 -5x +1 = 0,\therefore x ≠ 0,\therefore x-5+ \frac{1}{x}=0,\therefore x+\frac{1}{x}=5. \because (x+\frac{1}{x})^2 -4x · \frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x^2}-2=5^2-4×1=21,\therefore (x-\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}-2=21.$ 故答案为 21.
4 计算:
(1)$(-\dfrac{1}{2}a-b)^{2};$
(2)$(a-2)^{2}-(a+2)(a-2).$
(1)$(-\dfrac{1}{2}a-b)^{2};$
(2)$(a-2)^{2}-(a+2)(a-2).$
答案
【解】(1)原式$= [ -( \frac{1}{2}a+b ) ]^2 = ( \frac{1}{2}a+b )^2 = \frac{1}{4}a^2+ab+b^2.$
(2)$(a-2)^2-(a+2)(a-2)=(a^2-4a+4)-(a^2-4)=a^2-4a+4-a^2+4=-4a+8.$
(2)$(a-2)^2-(a+2)(a-2)=(a^2-4a+4)-(a^2-4)=a^2-4a+4-a^2+4=-4a+8.$
5 若 $ x^2 + y^2 = (x + y)^2 + A = (x - y)^2 - B $，则 $ A $，$ B $ 的数量关系为（
A.$ A = B $
B.$ A = -B $
C.$ AB = 1 $
D.无法确定
A
）A.$ A = B $
B.$ A = -B $
C.$ AB = 1 $
D.无法确定
答案
A 【解析】$\because x^2+y^2=(x+y)^2+(-2xy)=(x-y)^2-(-2xy),\therefore A=-2xy,B=-2xy,\therefore A=B.$ 故选 A.
6[2026江苏南京质检]若$M=(x+2)(x+4)$，$N=(x+3)^2$，则$M,N$的大小关系为（
A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M=N$
D.无法确定
B
）A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M=N$
D.无法确定
答案
B 【解析】$\because M=(x+2)(x+4),N=(x+3)^2,$
$\therefore M-N=(x+2)(x+4)-(x+3)^2=x^2+6x+8-x^2-6x-9=-1＜0,\therefore M＜N,$ 故选 B.
$\therefore M-N=(x+2)(x+4)-(x+3)^2=x^2+6x+8-x^2-6x-9=-1＜0,\therefore M＜N,$ 故选 B.
7[2026山西太原期中]如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,DC边上,且AE=5,CF=2,长方形DEGF的面积是12.分别以DE,DF为边在正方形ABCD外部作正方形①和正方形②,则正方形①和正方形②面积的和为
33
.答案
33 【解析】设正方形①的边长为$a$,正方形②的边长为$b$,则$ab=S_{\mathrm{长方形}DEGF}=12. \because AE=5,CF=2,\therefore AD=5+a=CD=2+b,$ 则$b-a=3.$
$\because (b-a)^2=b^2-2ab+a^2,\therefore 9=b^2-24+a^2,\therefore b^2+a^2=33,$ 即正方形①和正方形②面积的和为33,故答案为 33.
$\because (b-a)^2=b^2-2ab+a^2,\therefore 9=b^2-24+a^2,\therefore b^2+a^2=33,$ 即正方形①和正方形②面积的和为33,故答案为 33.
8 [2025 河南南阳期中]已知$(2023 - x)(2025 - x) = 2024$，则$(2023 - x)^2 + (2025 - x)^2 =$
4052
.答案
4052 【解析】$\because (2023-x)(2025-x)=2024,[(2023-x)-(2025-x)]^2=(2023-x)^2+(2025-x)^2-2(2023-x)(2025-x),$
$\therefore (2023-x)^2+(2025-x)^2=[(2023-x)-(2025-x)]^2+2(2023-x)(2025-x)=(2023-x-2025+x)^2+2×2024=4052.$ 故答案为 4052.
$\therefore (2023-x)^2+(2025-x)^2=[(2023-x)-(2025-x)]^2+2(2023-x)(2025-x)=(2023-x-2025+x)^2+2×2024=4052.$ 故答案为 4052.
9[2026上海长宁区质检]利用完全平方公式简便计算：
(1)$2019^2$；
(2)$101^2 + 99^2$。
刷易错 小心有坑～
(1)$2019^2$；
(2)$101^2 + 99^2$。
刷易错 小心有坑～
答案
【解】(1)原式$=(2020-1)^2=4080400-4040+1=4076361.$
(2)原式$=(100+1)^2+(100-1)^2=10000+200+1+10000-200+1=20002.$
(2)原式$=(100+1)^2+(100-1)^2=10000+200+1+10000-200+1=20002.$
10 计算$(-a - b)^2$等于 （
A.$a^2 - 2ab + b^2$
B.$a^2 + 2ab + b^2$
C.$a^2 + b^2$
D.$a^2 - b^2$
B
）A.$a^2 - 2ab + b^2$
B.$a^2 + 2ab + b^2$
C.$a^2 + b^2$
D.$a^2 - b^2$
答案
B 【解析】原式$=[-(a+b)]^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$ 故选 B.
11[2026重庆万州区期中]计算：$(2m+3n)^2=$
$4m^2 + 12mn + 9n^2$
.答案
$4m^2 + 12mn + 9n^2$ 【解析】$(2m+3n)^2=(2m)^2+2×2m·3n+(3n)^2=4m^2+12mn+9n^2,$ 故答案为 $4m^2+12mn+9n^2.$
