1[中]一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”.例如 $27 = 6^2 - 3^2$，$63 = 8^2 - 1^2$，故27,63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是 ()

A.31
B.41
C.16
D.54

1. D 【解析】$\because 31=(16+15)×(16-15)=16^2-15^2,41=(21+20)×(21-20)=21^2-20^2,16=(5+3)×(5-3)=5^2-3^2,54$不能表示成两个正整数的平方差,$\therefore 31,41$和16是“创新数”,而54不是“创新数”. 故选 D.
思路分析
根据任何一个正整数都可化成$mn(m＞n)$的形式,再利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$,可列方程组$\begin{cases}a+b=m,\\a-b=n\end{cases}$求解,若a,b为正整数,则满足这个条件的正整数为“创新数”.

2[中]如图，点D,C,H,G在长方形ABJI的边上，点E,F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于（）

A.3
B.4
C.5
D.6

2. A 【解析】设大、小正方形边长分别为a,b,则有$a^2=15$,阴影部分面积为$\frac{1}{2}×(a+b)(a-b)=6$,即$a^2-b^2=12$,可得$b^2=3$,即所求面积是3. 故选 A.

3 [中]某同学在计算 $3(4+1)(4^2+1)$ 时，把3写成4-1后，发现可以连续运用平方差公式计算：$3(4+1)(4^2+1)=(4-1)(4+1)(4^2+1)=(4^2-1)(4^2+1)=16^2 -1=255$。请借鉴该同学的经验，计算：$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}=$（）

A.$2-\frac{1}{2^{16}}$
B.$2+\frac{1}{2^{16}}$
C.$1$
D.$2$

3. D 【解析】原式$=2×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}=2×(1-\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}=2×(1-\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}=2×(1-\frac{1}{2^8})(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}=2×(1-\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{15}}=2-\frac{1}{2^{15}}+\frac{1}{2^{15}}=2$,故选 D.

4[中]阅读下列材料:已知实数$m,n$满足$(2m^2 +n^2+1)(2m^2+n^2-1)=80$,试求$2m^2+n^2$的值.
解:设$2m^2+n^2=t$,则原方程变为$(t+1)(t-1)=80$,整理得$t^2-1=80$,即$t^2=81$,
$\therefore t=\pm9$.
$\because 2m^2+n^2≥0$,
$\therefore 2m^2+n^2=9$.
上面这种方法称为“换元法”,换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据上述材料,解决下列问题,并写出解答过程.
已知实数$x,y$满足$(2x^2+2y^2+3)(2x^2+2y^2-3)=27$,求$x^2+y^2$的值.

4.【解】设$2x^2+2y^2=m$,则$(m+3)(m-3)=27$,
$\therefore m^2-9=27$,即$m^2=36,\therefore m=±6. \because 2x^2+2y^2≥0,\therefore 2x^2+2y^2=6,\therefore x^2+y^2=3$.

5[2026 山东临沂期末,中]在月历中,我们可以发现其中某些数满足一定的规律.
(1)如图(2)是2024年8月份的月历,我们用如图(1)所示的“Z”字形框架任意框住月历中的5个数(如图(2)中的阴影部分),将“Z”字形框架位置B,D上的数相乘,位置A,E上的数相乘,再相减.
例如:5×19−4×20,2×16−1×17,不难发现,结果都等于.
(2)设“Z”字形框架中位置C上的数为x,请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明.
(3)如图(3),在某月历中,用正方形框架框住9个数(阴影部分),如果最小的数和最大的数的乘积为57,那么中间位置上的数a=.

5. (1)【解】$5×19-4×20=15,2×16-1×17=15$,故答案为15.
(2)【证明】$\because$“Z”字形框架中位置C上的数为x,$\therefore$位置B上的数为$x-7$,位置A上的数为$x-8$,位置D上的数为$x+7$,位置E上的数为$x+8$,$\therefore (x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=x^2-49-(x^2-64)=x^2-49-x^2+64=15$.
(3)【解】若中间位置上的数为a,则其他位置上的数如图.
$\begin{array}{|c|c|c|}\hline a-8 & a-7 & a-6 \\\hline a-1 & a & a+1 \\\hline a+6 & a+7 & a+8 \\\hline\end{array}$
$\because$最小的数和最大的数的乘积为57,$\therefore (a-8)(a+8)=57,a^2-64=57,a^2=121,\therefore a=11$(负值已舍去),故答案为11.