登录
1[中]若等式$(3x+5)^2(3x-5)^2=81x^4 - mx^2 + n^2$成立，则（
A.$m=-30, n=5$
B.$m=-30, n=-5$或5
C.$m=-450, n=25$或$-25$
D.$m=450, n=25$或$-25$
D
）A.$m=-30, n=5$
B.$m=-30, n=-5$或5
C.$m=-450, n=25$或$-25$
D.$m=450, n=25$或$-25$
答案
D 【解析】因为$(3x+5)^2(3x-5)^2=81x^4-mx^2+n^2,$ 即$[(3x+5)(3x-5)]^2=81x^4-mx^2+n^2,$ 所以$(9x^2-25)^2=81x^4-mx^2+n^2,$ 所以$81x^4-450x^2+625=81x^4-mx^2+n^2,$ 即 $m=450,n=\pm25,$ 故选 D.
2[2026安徽池州期末,中]现有甲、乙两个正方形纸片,将甲、乙并列放置后得到图(1),已知点H为AE的中点,连接DH,FH.将乙放到甲的内部得到图(2).已知甲、乙的边长之和为8,图(2)的阴影部分面积为6,则图(1)的阴影部分面积为 (
A.3
B.19
C.21
D.28
B
)A.3
B.19
C.21
D.28
答案
B 【解析】设甲的边长为$x$,乙的边长为$y$,则$AD=x,EF=y,AE=x+y=8,\therefore (x+y)^2=64,$
$\therefore x^2+y^2+2xy=64. \because$ 点 $H$ 为 $AE$ 的中点,
$\therefore AH=EH=4. \because$ 题图(2)的阴影部分面积$=(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=6,\therefore (x+y)^2+(x-y)^2=64+6,\therefore x^2+y^2=35,\therefore$ 题图(1)的阴影部分面积$=x^2+y^2-\frac{1}{2}×4x-\frac{1}{2}×4y=x^2+y^2-2(x+y)=35-2×8=19,$ 故选 B.
$\therefore x^2+y^2+2xy=64. \because$ 点 $H$ 为 $AE$ 的中点,
$\therefore AH=EH=4. \because$ 题图(2)的阴影部分面积$=(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=6,\therefore (x+y)^2+(x-y)^2=64+6,\therefore x^2+y^2=35,\therefore$ 题图(1)的阴影部分面积$=x^2+y^2-\frac{1}{2}×4x-\frac{1}{2}×4y=x^2+y^2-2(x+y)=35-2×8=19,$ 故选 B.
3[2025重庆万州区期中,中]已知M是含字母x的单项式,要使多项式$16x^2 + M + 1$是某个多项式的平方,则M为
$\pm 8x$ 或 $64x^4$
.答案
$\pm 8x$ 或 $64x^4$ 【解析】①$\because 16x^2+M+1=(4x)^2+M+1^2=(4x\pm1)^2,\therefore M=\pm2×4x×1=\pm8x.$
②$\because M+16x^2+1=M+2×8x^2×1+1^2=(8x^2+1)^2,$
$\therefore M=(8x^2)^2=64x^4.$ 故答案为$\pm8x$ 或 $64x^4.$
②$\because M+16x^2+1=M+2×8x^2×1+1^2=(8x^2+1)^2,$
$\therefore M=(8x^2)^2=64x^4.$ 故答案为$\pm8x$ 或 $64x^4.$
4[2025浙江杭州期中,中]如图(1),A、B、C三种正方形的边长分别为$m,n,p$,且$m+p＜n$.
(1)用两个A种正方形组合成图(2)的图形,外边框可以围成一个大正方形,则这个大正方形的面积为
(2)将一个A种和一个B种正方形组合成图(3)的图形,外边框可以围成一个大正方形,用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为
(3)将一个A种、一个B种和一个C种正方形组合成图(4)的图形,外边框可以围成一个大正方形,类比(2)的思路进行思考,直接写出所得到的等式:
(4)用A、B、C三种正方形画出恰当的图形,说明$(n-m-p)^2 ＜ n^2 - m^2 - p^2$.
(1)用两个A种正方形组合成图(2)的图形,外边框可以围成一个大正方形,则这个大正方形的面积为
$4m^2$
.(用含$m$的代数式表示)(2)将一个A种和一个B种正方形组合成图(3)的图形,外边框可以围成一个大正方形,用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为
$(m+n)^2$
或$m^2+n^2+2mn$
,从而可以得到一个乘法公式:$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn$
.(3)将一个A种、一个B种和一个C种正方形组合成图(4)的图形,外边框可以围成一个大正方形,类比(2)的思路进行思考,直接写出所得到的等式:
$(m+n+p)^2=m^2+n^2+p^2+2mn+2mp+2np$
.(4)用A、B、C三种正方形画出恰当的图形,说明$(n-m-p)^2 ＜ n^2 - m^2 - p^2$.
答案
【解】(1)由题意得大正方形的边长为$2m$,则这个大正方形的面积为$(2m)^2=4m^2$,故答案为$4m^2.$
(2)方法一:这个大正方形的边长为$m+n$,则这个大正方形的面积为$(m+n)^2$;
方法二:因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和,所以这个大正方形的面积为$m^2+n^2+2mn$,从而可以得到一个乘法公式:$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn$,故答案为$(m+n)^2,m^2+n^2+2mn$(前两个空的答案可以互换),$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn.$
(3)方法一:这个大正方形的边长为$m+n+p$,则这个大正方形的面积为$(m+n+p)^2$;
方法二:因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和,所以这个大正方形的面积为$m^2+n^2+p^2+2mn+2mp+2np$,则所得到的等式为$(m+n+p)^2=m^2+n^2+p^2+2mn+2mp+2np.$ 故答案为$(m+n+p)^2=m^2+n^2+p^2+2mn+2mp+2np.$
(4)如图(图形不唯一),图形丁是边长为$n-m-p$的正方形,则图形丁的面积为$(n-m-p)^2$. 因为图形甲的面积为$n^2-m^2-p^2$,所以$(n-m-p)^2＜n^2-m^2-p^2.$
5 核心素养运算能力[较难](1)从图(1)~(3)中任意选择一个,通过计算图中阴影部分的面积,可得到关于$a,b$的等量关系是
图(1) 图(2) 图(3)
(2)尝试解决:
①已知$m+n=2,m^2+n^2=7$,则$mn=$
②已知$2a+b=3,ab=1$,求$(2a-b)^2$的值.
③已知$(4-x)(5-x)=6$,求$(4-x)^2+(5-x)^2$的值.
(3)填数游戏:如图(4),把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中,使得各边上的四个数字的和都等于21,将每边四个数字的平方和分别记为$A,B,C$,已知$A+B+C=411$.如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为$x,y,x+y$,求$xy$的值.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$（或$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$或$4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$）
. 图(1) 图(2) 图(3)
(2)尝试解决:
①已知$m+n=2,m^2+n^2=7$,则$mn=$
$-\frac{3}{2}$
.②已知$2a+b=3,ab=1$,求$(2a-b)^2$的值.
③已知$(4-x)(5-x)=6$,求$(4-x)^2+(5-x)^2$的值.
(3)填数游戏:如图(4),把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中,使得各边上的四个数字的和都等于21,将每边四个数字的平方和分别记为$A,B,C$,已知$A+B+C=411$.如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为$x,y,x+y$,求$xy$的值.
答案
【解】(1)题图(1):$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$;题图(2):$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$;题图(3):$4ab=(a+b)^2-(a-b)^2.$(选一个等式填空即可)
(2)①$\because m+n=2,\therefore (m+n)^2=m^2+2mn+n^2=4.$
$\because m^2+n^2=7,\therefore 7+2mn=4,\therefore mn=-\frac{3}{2}.$ 故答案为$-\frac{3}{2}.$
②$\because ab=1,\therefore 8ab=8. \because (2a-b)^2=(2a+b)^2-8ab,2a+b=3,8ab=8,\therefore (2a-b)^2=3^2-8=1.$
③$\because (4-x)-(5-x)=-1,\therefore [(4-x)-(5-x)]^2=1. \because (4-x)(5-x)=6,\therefore (4-x)^2+(5-x)^2=1+2(4-x)(5-x)=1+12=13.$
(3)数字1~9的和为$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. \because$ 各边上的四个数字的和都等于21,$21×3-45=18,\therefore x+y+(x+y)=18,$ 即$x+y=9.$
$\because$ 每边四个数字的平方和分别记为$A,B,C$,$A+B+C=411$,且$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2=285,\therefore x^2+y^2+(x+y)^2=411-285=126,$
$\therefore x^2+y^2+81=126,\therefore x^2+y^2=45,\therefore (x+y)^2-2xy=45,\therefore xy=18.$
(2)①$\because m+n=2,\therefore (m+n)^2=m^2+2mn+n^2=4.$
$\because m^2+n^2=7,\therefore 7+2mn=4,\therefore mn=-\frac{3}{2}.$ 故答案为$-\frac{3}{2}.$
②$\because ab=1,\therefore 8ab=8. \because (2a-b)^2=(2a+b)^2-8ab,2a+b=3,8ab=8,\therefore (2a-b)^2=3^2-8=1.$
③$\because (4-x)-(5-x)=-1,\therefore [(4-x)-(5-x)]^2=1. \because (4-x)(5-x)=6,\therefore (4-x)^2+(5-x)^2=1+2(4-x)(5-x)=1+12=13.$
(3)数字1~9的和为$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. \because$ 各边上的四个数字的和都等于21,$21×3-45=18,\therefore x+y+(x+y)=18,$ 即$x+y=9.$
$\because$ 每边四个数字的平方和分别记为$A,B,C$,$A+B+C=411$,且$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2=285,\therefore x^2+y^2+(x+y)^2=411-285=126,$
$\therefore x^2+y^2+81=126,\therefore x^2+y^2=45,\therefore (x+y)^2-2xy=45,\therefore xy=18.$
