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11 [2025 四川南充中考]设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
(1)【解】把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得$m^2=6$，$\therefore m=\pm\sqrt{6}$，$(x-1)(x-2)=6$，$\therefore x^2-3x-4=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。综上，$x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$。
(2)【证明】方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$。$\because b^2-4ac=4m^2+1＞0$，$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根。由根与系数的关系得$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。$\because (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$，$-m^2≤0$，$\therefore (x_1-1)(x_2-1)≤0$。
(2)【证明】方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$。$\because b^2-4ac=4m^2+1＞0$，$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根。由根与系数的关系得$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。$\because (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$，$-m^2≤0$，$\therefore (x_1-1)(x_2-1)≤0$。
解析
【分析】
(1) 已知$x_1$是方程的根，根满足方程，因此先将$x_1=-1$代入原方程求出$m^2$，即可得到$m$的值；再将$m^2$代回原方程，整理为一元二次方程的一般形式求解，即可得到$x_2$的值。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积，再将待证的代数式展开，代入两根和与积的表达式化简，最后利用平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，$\therefore m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代入原方程得$(x-1)(x-2)=6$，整理得$x^2-3x-4=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
综上，$x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式，得$x^2-3x+2-m^2=0$。
$\because$ 判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(2-m^2) = 4m^2+1 ＞ 0$，
$\therefore$ 原方程总有两个不相等的实数根。
由根与系数的关系，得$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1) = x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1$，
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值得：
原式$= 2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2$。
$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程的基础应用与代数证明，第一问侧重基础运算能力，掌握方程根的含义即可求解；第二问需要熟练运用根与系数的关系进行代数式变形，结合平方的非负性完成证明，整体考查逻辑推导能力，是一元二次方程的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 已知$x_1$是方程的根，根满足方程，因此先将$x_1=-1$代入原方程求出$m^2$，即可得到$m$的值；再将$m^2$代回原方程，整理为一元二次方程的一般形式求解，即可得到$x_2$的值。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积，再将待证的代数式展开，代入两根和与积的表达式化简，最后利用平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，$\therefore m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代入原方程得$(x-1)(x-2)=6$，整理得$x^2-3x-4=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
综上，$x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式，得$x^2-3x+2-m^2=0$。
$\because$ 判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(2-m^2) = 4m^2+1 ＞ 0$，
$\therefore$ 原方程总有两个不相等的实数根。
由根与系数的关系，得$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1) = x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1$，
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值得：
原式$= 2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2$。
$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程的基础应用与代数证明，第一问侧重基础运算能力，掌握方程根的含义即可求解；第二问需要熟练运用根与系数的关系进行代数式变形，结合平方的非负性完成证明，整体考查逻辑推导能力，是一元二次方程的典型考法。
【难度系数】
0.7
12[2025福建中考]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（
A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
（第12题图）
（第14题图）
C
）A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
（第12题图）
（第14题图）
答案
C 【解析】已知矩形的一边长为$x$米，则另一边长为$(5-x)$米，根据矩形的面积为6平方米可列方程为$x(5-x)=6$。故选C。
解析
【分析】
解题时首先结合图形分析：直角围墙可作为矩形的两条邻边，因此总长5米的篱笆仅需要围矩形剩下的两条邻边。已知其中一条边长为x米，可推出另一条邻边的长度为篱笆总长减去x，即(5-x)米；再根据矩形面积公式，结合题目给出的面积为6平方米的条件，即可列出对应的方程。
【解析】
由于矩形的两条邻边依靠直角围墙，因此5米长的篱笆是矩形另外两条邻边的长度和。
若矩形的一边长为x米，则另一边长为(5-x)米，
根据矩形面积=长×宽，且菜地面积为6平方米，可列方程：
$x(5-x)=6$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，解题的核心是正确理解篱笆对应的是矩形的两条邻边，结合面积公式即可快速列出方程，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合图形分析：直角围墙可作为矩形的两条邻边，因此总长5米的篱笆仅需要围矩形剩下的两条邻边。已知其中一条边长为x米，可推出另一条邻边的长度为篱笆总长减去x，即(5-x)米；再根据矩形面积公式，结合题目给出的面积为6平方米的条件，即可列出对应的方程。
【解析】
由于矩形的两条邻边依靠直角围墙，因此5米长的篱笆是矩形另外两条邻边的长度和。
若矩形的一边长为x米，则另一边长为(5-x)米，
根据矩形面积=长×宽，且菜地面积为6平方米，可列方程：
$x(5-x)=6$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，解题的核心是正确理解篱笆对应的是矩形的两条邻边，结合面积公式即可快速列出方程，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
13[2024河北中考]淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a=（
A.1
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1或$\sqrt{2}+1$
C
）A.1
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1或$\sqrt{2}+1$
答案
C 【解析】由题意得$2a+1=a^2$，解得$a=1+\sqrt{2}$或$a=1-\sqrt{2}$(不合题意，舍去)。故选C。
解析
【分析】
解题时先明确题目中的等量关系：正数a的平方（正确结果）比a与2的积（错误结果）大1，据此列出一元二次方程；再按照一元二次方程的解法求出方程的根；最后结合a是正数的条件，舍去不符合要求的根，即可得到正确答案。
【解析】
解：根据题意，正确计算结果为$a^2$，错误计算结果为$2a$，由错误答案比正确答案小1，可列方程：
$a^2 - 2a = 1$
整理为一元二次方程的一般形式：$a^2 - 2a - 1 = 0$
用求根公式求解：
判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-1) = 8$
所以$a = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2×1} = 1 \pm \sqrt{2}$
因为$a$是正数，$1 - \sqrt{2} ＜ 0$，不符合题意，舍去
因此$a = 1 + \sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；正根的取舍
【点评】
本题结合计算失误的场景考查方程的实际应用，解题核心是准确抓取题干中的数量关系列方程，同时不要忽略“正数a”的限制条件，避免因未筛除不符合要求的根选错答案。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题目中的等量关系：正数a的平方（正确结果）比a与2的积（错误结果）大1，据此列出一元二次方程；再按照一元二次方程的解法求出方程的根；最后结合a是正数的条件，舍去不符合要求的根，即可得到正确答案。
【解析】
解：根据题意，正确计算结果为$a^2$，错误计算结果为$2a$，由错误答案比正确答案小1，可列方程：
$a^2 - 2a = 1$
整理为一元二次方程的一般形式：$a^2 - 2a - 1 = 0$
用求根公式求解：
判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-1) = 8$
所以$a = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2×1} = 1 \pm \sqrt{2}$
因为$a$是正数，$1 - \sqrt{2} ＜ 0$，不符合题意，舍去
因此$a = 1 + \sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；正根的取舍
【点评】
本题结合计算失误的场景考查方程的实际应用，解题核心是准确抓取题干中的数量关系列方程，同时不要忽略“正数a”的限制条件，避免因未筛除不符合要求的根选错答案。
【难度系数】
0.7
14[2025山东威海中考]如图,小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开,得到一个立方体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为12 cm,则折成立方体的棱长为
$\frac{12}{5}\sqrt{2}$
cm.答案
$\frac{12}{5}\sqrt{2}$ 【解析】如图，设$BC=x$，则$AB=AE=12-x$，$BD=\sqrt{2}x$，$\therefore BE=4\sqrt{2}x$。在直角三角形$ABE$中，由勾股定理可得$AE^2+AB^2=BE^2$，即$(12-x)^2+(12-x)^2=(4\sqrt{2})^2$，解得$x=\frac{12}{5}$或$x=-4$(舍去)，$\therefore$ 立方体的棱长$BD=\sqrt{2}x=\frac{12}{5}\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，故答案为$\frac{12}{5}\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时首先要建立立方体棱长和大正方形边长的数量关系：观察图形可得，右下角小三角形为等腰直角三角形，其斜边就是立方体的棱长；左上角的△ABE也为等腰直角三角形，它的直角边长度等于大正方形边长减去小等腰直角三角形的直角边长度，斜边长度等于4倍的立方体棱长。我们可以设小等腰直角三角形的直角边长为x，用含x的代数式表示出各线段长度，再借助勾股定理列方程求解，最终计算得到立方体的棱长。
【解析】
设小等腰直角三角形的直角边长$BC=x\ \mathrm{cm}$，
因为$△ BCD$是等腰直角三角形，所以斜边$BD=\sqrt{2}x\ \mathrm{cm}$，即折成的立方体的棱长为$\sqrt{2}x\ \mathrm{cm}$。
由图可知，等腰直角$△ ABE$的直角边$AE=AB=12-x$，斜边$BE=4BD=4\sqrt{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，根据勾股定理$AE^2+AB^2=BE^2$，代入得：
$(12-x)^2+(12-x)^2=(4\sqrt{2}x)^2$
整理得：$2(12-x)^2=32x^2$，即$(12-x)^2=16x^2$，
因式分解得$(12-x-4x)(12-x+4x)=0$，解得$x=\frac{12}{5}$或$x=-4$（边长为正数，舍去负根）。
因此立方体的棱长为$\sqrt{2}x=\sqrt{2}×\frac{12}{5}=\frac{12}{5}\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{12}{5}\sqrt{2}$
【知识点】
正方体表面展开图、勾股定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合了立体图形展开与平面几何计算，需要先理清展开图中线段和立方体棱长的对应关系，再通过设未知数、用勾股定理建立方程求解，对空间想象能力和方程思想的应用有一定考察。
【难度系数】
0.6
解题时首先要建立立方体棱长和大正方形边长的数量关系：观察图形可得，右下角小三角形为等腰直角三角形，其斜边就是立方体的棱长；左上角的△ABE也为等腰直角三角形，它的直角边长度等于大正方形边长减去小等腰直角三角形的直角边长度，斜边长度等于4倍的立方体棱长。我们可以设小等腰直角三角形的直角边长为x，用含x的代数式表示出各线段长度，再借助勾股定理列方程求解，最终计算得到立方体的棱长。
【解析】
设小等腰直角三角形的直角边长$BC=x\ \mathrm{cm}$，
因为$△ BCD$是等腰直角三角形，所以斜边$BD=\sqrt{2}x\ \mathrm{cm}$，即折成的立方体的棱长为$\sqrt{2}x\ \mathrm{cm}$。
由图可知，等腰直角$△ ABE$的直角边$AE=AB=12-x$，斜边$BE=4BD=4\sqrt{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，根据勾股定理$AE^2+AB^2=BE^2$，代入得：
$(12-x)^2+(12-x)^2=(4\sqrt{2}x)^2$
整理得：$2(12-x)^2=32x^2$，即$(12-x)^2=16x^2$，
因式分解得$(12-x-4x)(12-x+4x)=0$，解得$x=\frac{12}{5}$或$x=-4$（边长为正数，舍去负根）。
因此立方体的棱长为$\sqrt{2}x=\sqrt{2}×\frac{12}{5}=\frac{12}{5}\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{12}{5}\sqrt{2}$
【知识点】
正方体表面展开图、勾股定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合了立体图形展开与平面几何计算，需要先理清展开图中线段和立方体棱长的对应关系，再通过设未知数、用勾股定理建立方程求解，对空间想象能力和方程思想的应用有一定考察。
【难度系数】
0.6
15[2024山东淄博中考]“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.
答案
(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为$x$。由题意得$32(1+x)^2=50$，解得$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$(不符合题意，舍去)。
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%。
(2)$\because 1600×100=160000$(元)$＜240000$元，$\therefore$ 购买的这种健身器材的套数大于100套。设购买的这种健身器材的套数为$m$套。
由题意得$m(1600-\frac{m-100}{10}×40)=240000$，整理得$m^2-500m+60000=0$，解得$m_1=200$，$m_2=300$。
$\because 1600-\frac{m-100}{10}×40≥1000$，
$\therefore m≤250$，$\therefore m=200$。
答：购买的这种健身器材的套数为200套。
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%。
(2)$\because 1600×100=160000$(元)$＜240000$元，$\therefore$ 购买的这种健身器材的套数大于100套。设购买的这种健身器材的套数为$m$套。
由题意得$m(1600-\frac{m-100}{10}×40)=240000$，整理得$m^2-500m+60000=0$，解得$m_1=200$，$m_2=300$。
$\because 1600-\frac{m-100}{10}×40≥1000$，
$\therefore m≤250$，$\therefore m=200$。
答：购买的这种健身器材的套数为200套。
解析
【分析】
(1) 第一问为增长率问题，解题核心是利用增长率公式：初始量×(1+年均增长率)^增长年数=最终量。已知2021年人数（初始量）为32万人，2023年人数（最终量）为50万人，增长年数为2年，设年均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的根。
(2) 第二问为销售类实际问题，首先计算购买100套的总货款，和24万元对比，可判断购买套数超过100套。设购买套数为m，先表示出超过100套时的每套售价：每增加10套售价降40元，因此每套降价金额为$\frac{m-100}{10}×40$，实际每套售价为$1600-\frac{m-100}{10}×40$，再根据“总货款=单价×数量”列方程求解。最后结合最低售价不低于1000元的限制条件，验证解出的m是否符合要求，舍去不符合的根。
【解析】
(1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为$x$。
由题意得：
$32(1+x)^2=50$
解得$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%。
(2) $\because 1600×100=160000$元$=16$万元$＜24$万元，$\therefore$ 购买的健身器材套数大于100套。
设购买的这种健身器材的套数为$m$套。
由题意得：
$m(1600-\frac{m-100}{10}×40)=240000$
整理得$m^2-500m+60000=0$，解得$m_1=200$，$m_2=300$。
$\because$ 最低售价不得少于1000元，$\therefore 1600-\frac{m-100}{10}×40≥1000$，解得$m≤250$，因此$m=300$不符合要求，舍去。
答：购买的这种健身器材的套数为200套。
【答案】
(1) 25%；
(2) 200套
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 增长率问题
3. 销售分段计费问题
【点评】
本题结合生活实际场景设计，考查将实际问题转化为数学方程求解的能力，解题时要注意方程的解必须符合实际约束条件，做完后需验证结果是否符合题目给出的限制要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问为增长率问题，解题核心是利用增长率公式：初始量×(1+年均增长率)^增长年数=最终量。已知2021年人数（初始量）为32万人，2023年人数（最终量）为50万人，增长年数为2年，设年均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的根。
(2) 第二问为销售类实际问题，首先计算购买100套的总货款，和24万元对比，可判断购买套数超过100套。设购买套数为m，先表示出超过100套时的每套售价：每增加10套售价降40元，因此每套降价金额为$\frac{m-100}{10}×40$，实际每套售价为$1600-\frac{m-100}{10}×40$，再根据“总货款=单价×数量”列方程求解。最后结合最低售价不低于1000元的限制条件，验证解出的m是否符合要求，舍去不符合的根。
【解析】
(1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为$x$。
由题意得：
$32(1+x)^2=50$
解得$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%。
(2) $\because 1600×100=160000$元$=16$万元$＜24$万元，$\therefore$ 购买的健身器材套数大于100套。
设购买的这种健身器材的套数为$m$套。
由题意得：
$m(1600-\frac{m-100}{10}×40)=240000$
整理得$m^2-500m+60000=0$，解得$m_1=200$，$m_2=300$。
$\because$ 最低售价不得少于1000元，$\therefore 1600-\frac{m-100}{10}×40≥1000$，解得$m≤250$，因此$m=300$不符合要求，舍去。
答：购买的这种健身器材的套数为200套。
【答案】
(1) 25%；
(2) 200套
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 增长率问题
3. 销售分段计费问题
【点评】
本题结合生活实际场景设计，考查将实际问题转化为数学方程求解的能力，解题时要注意方程的解必须符合实际约束条件，做完后需验证结果是否符合题目给出的限制要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.65
16[2024 四川凉山州中考]阅读下面材料,并解决相关问题:
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第n行有n个点……
容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为
(2)体验:三角点阵中前n行的点数之和
(3)运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…,第n排2n盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排?
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第n行有n个点……
容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为
$36$
,前15行的点数之和为$120$
,那么,前n行的点数之和为$\frac{1}{2}n(n+1)$
.(2)体验:三角点阵中前n行的点数之和
不能
(填“能”或“不能”)为500.(3)运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…,第n排2n盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排?
答案
【关键点拨】本题考查一元二次方程在规律探究问题中的应用，精准找到点阵的数量规律是解答本题的关键。
(1)三角点阵中前8行的点数之和为$1+2+3+4+5+6+7+8=\frac{1}{2}×(1+8)×8=36$，前15行的点数之和为$1+2+3+\dots+14+15=\frac{1}{2}×(1+15)×15=120$，那么前$n$行的点数之和为$1+2+3+\dots+n=\frac{1}{2}(1+n)× n=\frac{1}{2}n(n+1)$。故答案为$36,120,\frac{1}{2}n(n+1)$。
(2)由题意得$\frac{1}{2}n(n+1)=500$，得$n^2+n-1000=0$。$\because 1^2-4×1×(-1000)=4001$，$\therefore$ 此方程无正整数解，$\therefore$ 三角点阵中前$n$行的点数之和不能是500。故答案为不能。
(3)同理可得前$n$排的盆数之和为$2+4+6+\dots+2n=2×\frac{1}{2}(1+n)× n=n(n+1)$。
由题意得$n(n+1)=420$，则$n^2+n-420=0$，$\therefore (n+21)(n-20)=0$，解得$n=20$或$n=-21$(舍去)。
答：一共能摆放20排。
(1)三角点阵中前8行的点数之和为$1+2+3+4+5+6+7+8=\frac{1}{2}×(1+8)×8=36$，前15行的点数之和为$1+2+3+\dots+14+15=\frac{1}{2}×(1+15)×15=120$，那么前$n$行的点数之和为$1+2+3+\dots+n=\frac{1}{2}(1+n)× n=\frac{1}{2}n(n+1)$。故答案为$36,120,\frac{1}{2}n(n+1)$。
(2)由题意得$\frac{1}{2}n(n+1)=500$，得$n^2+n-1000=0$。$\because 1^2-4×1×(-1000)=4001$，$\therefore$ 此方程无正整数解，$\therefore$ 三角点阵中前$n$行的点数之和不能是500。故答案为不能。
(3)同理可得前$n$排的盆数之和为$2+4+6+\dots+2n=2×\frac{1}{2}(1+n)× n=n(n+1)$。
由题意得$n(n+1)=420$，则$n^2+n-420=0$，$\therefore (n+21)(n-20)=0$，解得$n=20$或$n=-21$(舍去)。
答：一共能摆放20排。
解析
【分析】
解题时先观察三角点阵的点数规律：第k行有k个点，前n行点数和是从1到n的连续正整数之和，属于等差数列求和，可利用等差数列求和公式计算对应数值并推导通项公式；第二问将点数和等于500代入通项公式，转化为一元二次方程，判断是否存在正整数解即可；第三问先根据盆景摆放规律推导前n排总盆数的表达式，再令其等于420，解一元二次方程后舍去不符合实际的负根，得到最终排数。
【解析】
(1) 前8行点数之和为$1+2+3+\dots+8=\frac{1}{2}×(1+8)×8=36$；
前15行点数之和为$1+2+3+\dots+15=\frac{1}{2}×(1+15)×15=120$；
前n行点数之和为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
(2) 令$\frac{n(n+1)}{2}=500$，整理得$n^2+n-1000=0$，计算判别式$\Delta=1^2-4×1×(-1000)=4001$，4001不是完全平方数，因此方程无正整数解，故前n行点数之和不能为500。
(3) 由摆放规律可知，前n排盆景总数为$2+4+6+\dots+2n=2×(1+2+\dots+n)=2×\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$。
令$n(n+1)=420$，整理得$n^2+n-420=0$，因式分解得$(n+21)(n-20)=0$，解得$n_1=20$，$n_2=-21$，排数不能为负，故舍去$n=-21$。
【答案】
(1) $36$，$120$，$\frac{n(n+1)}{2}$；
(2) 不能；
(3) 一共能摆放20排。
【知识点】
规律探究，等差数列求和，一元二次方程的应用
【点评】
本题将图形规律探究与一元二次方程应用结合，解题核心是准确提炼数量变化规律，列方程后需注意结合实际问题对解的合理性进行验证，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察三角点阵的点数规律：第k行有k个点，前n行点数和是从1到n的连续正整数之和，属于等差数列求和，可利用等差数列求和公式计算对应数值并推导通项公式；第二问将点数和等于500代入通项公式，转化为一元二次方程，判断是否存在正整数解即可；第三问先根据盆景摆放规律推导前n排总盆数的表达式，再令其等于420，解一元二次方程后舍去不符合实际的负根，得到最终排数。
【解析】
(1) 前8行点数之和为$1+2+3+\dots+8=\frac{1}{2}×(1+8)×8=36$；
前15行点数之和为$1+2+3+\dots+15=\frac{1}{2}×(1+15)×15=120$；
前n行点数之和为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
(2) 令$\frac{n(n+1)}{2}=500$，整理得$n^2+n-1000=0$，计算判别式$\Delta=1^2-4×1×(-1000)=4001$，4001不是完全平方数，因此方程无正整数解，故前n行点数之和不能为500。
(3) 由摆放规律可知，前n排盆景总数为$2+4+6+\dots+2n=2×(1+2+\dots+n)=2×\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$。
令$n(n+1)=420$，整理得$n^2+n-420=0$，因式分解得$(n+21)(n-20)=0$，解得$n_1=20$，$n_2=-21$，排数不能为负，故舍去$n=-21$。
【答案】
(1) $36$，$120$，$\frac{n(n+1)}{2}$；
(2) 不能；
(3) 一共能摆放20排。
【知识点】
规律探究，等差数列求和，一元二次方程的应用
【点评】
本题将图形规律探究与一元二次方程应用结合，解题核心是准确提炼数量变化规律，列方程后需注意结合实际问题对解的合理性进行验证，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
