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1[2024 四川凉山州中考]若关于x的一元二次方程$(a+2)x^2 + x + a^2 - 4 = 0$的一个根是$x=0$，则a的值为（
A.2
B.-2
C.2或-2
D.$\frac{1}{2}$
A
）A.2
B.-2
C.2或-2
D.$\frac{1}{2}$
答案
A 【解析】$(a+2)x^2+x+a^2-4=0$是关于x的一元二次方程，$\therefore a+2 ≠ 0$，即$a ≠ -2$。将$x=0$代入$(a+2)x^2+x+a^2-4=0$，可得$a^2-4=0$，解得$a=2$或$a=-2$（舍去）。故选A。
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心条件：一是题目明确这是关于x的一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易忽略的隐含条件；二是方程的根满足方程等式，因此可以将x=0代入方程得到关于a的方程。先通过代入根求出a的所有可能值，再结合一元二次方程的定义排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵方程$(a+2)x^2 + x + a^2 - 4 = 0$是关于x的一元二次方程
∴二次项系数$a+2 ≠ 0$，即$a ≠ -2$
将$x=0$代入原方程，得：
$a^2 - 4 = 0$
解得$a=2$或$a=-2$
结合$a ≠ -2$的限制，舍去$a=-2$，因此$a=2$
故选A
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础易错题，易错点为忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据代入根求出的结果误选C。解题时要先明确题目给出的方程类型，先确定参数的限制条件，再求解验证，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心条件：一是题目明确这是关于x的一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易忽略的隐含条件；二是方程的根满足方程等式，因此可以将x=0代入方程得到关于a的方程。先通过代入根求出a的所有可能值，再结合一元二次方程的定义排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵方程$(a+2)x^2 + x + a^2 - 4 = 0$是关于x的一元二次方程
∴二次项系数$a+2 ≠ 0$，即$a ≠ -2$
将$x=0$代入原方程，得：
$a^2 - 4 = 0$
解得$a=2$或$a=-2$
结合$a ≠ -2$的限制，舍去$a=-2$，因此$a=2$
故选A
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础易错题，易错点为忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据代入根求出的结果误选C。解题时要先明确题目给出的方程类型，先确定参数的限制条件，再求解验证，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.7
2[2025贵州中考]一元二次方程$x^2 -1=0$的根是
$x_1=1,x_2=-1$
答案
$x_1=1,x_2=-1$ 【解析】$\because x^2-1=0$，$\therefore x^2=1$，$\therefore x_1=1,x_2=-1$。
解析
【分析】
本题是不含一次项的一元二次方程，解题时可先将常数项移到方程右侧，再利用直接开平方法求解。思考步骤：首先观察方程特征，无一次项，移项后左侧为平方项、右侧为正的常数，符合直接开平方法的适用条件；其次要注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏写负根。
【解析】
解：对原方程移项可得：
$x^2=1$
两边同时开平方得：
$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$
因此方程的根为$x_1=1$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题，重点考察一元二次方程基本解法的应用，解题时需注意正数开平方有两个结果，不要遗漏负根。
【难度系数】
0.9
本题是不含一次项的一元二次方程，解题时可先将常数项移到方程右侧，再利用直接开平方法求解。思考步骤：首先观察方程特征，无一次项，移项后左侧为平方项、右侧为正的常数，符合直接开平方法的适用条件；其次要注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏写负根。
【解析】
解：对原方程移项可得：
$x^2=1$
两边同时开平方得：
$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$
因此方程的根为$x_1=1$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题，重点考察一元二次方程基本解法的应用，解题时需注意正数开平方有两个结果，不要遗漏负根。
【难度系数】
0.9
3 解方程：
(1)$[2024 \mathrm{ 江苏无锡中考}](x-2)^2 -4=0$；
(2)$[2025 \mathrm{ 江苏徐州中考}]x^2 +2x -4=0$；
(3)$[2025 \mathrm{ 四川广元中考}]x^2 - (\sqrt{2} +1)x + \sqrt{2}=0$。
(1)$[2024 \mathrm{ 江苏无锡中考}](x-2)^2 -4=0$；
(2)$[2025 \mathrm{ 江苏徐州中考}]x^2 +2x -4=0$；
(3)$[2025 \mathrm{ 四川广元中考}]x^2 - (\sqrt{2} +1)x + \sqrt{2}=0$。
答案
(1)$\because (x-2)^2-4=0$，$\therefore (x-2)^2=4$，$\therefore x-2=2$或$x-2=-2$，解得$x_1=4,x_2=0$。
(2)$x^2+2x-4=0$，移项，得$x^2+2x=4$，配方，得$x^2+2x+1=5$，即$(x+1)^2=5$，开平方，得$x+1=\pm\sqrt{5}$，解得$x=-1\pm\sqrt{5}$，$\therefore x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$。
(3)$\because x^2-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}=0$，$\therefore (x-1)(x-\sqrt{2})=0$，$\therefore x-1=0$或$x-\sqrt{2}=0$，解得$x_1=1,x_2=\sqrt{2}$。
(2)$x^2+2x-4=0$，移项，得$x^2+2x=4$，配方，得$x^2+2x+1=5$，即$(x+1)^2=5$，开平方，得$x+1=\pm\sqrt{5}$，解得$x=-1\pm\sqrt{5}$，$\therefore x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$。
(3)$\because x^2-(\sqrt{2}+1)x+\sqrt{2}=0$，$\therefore (x-1)(x-\sqrt{2})=0$，$\therefore x-1=0$或$x-\sqrt{2}=0$，解得$x_1=1,x_2=\sqrt{2}$。
解析
【分析】
这三道题均为一元二次方程求解，需根据方程的结构特征选择最优解法：
(1) 方程形式为含未知数的完全平方减常数等于0，优先选择直接开平方法：先移项将常数项移到等号右侧，再对两边同时开平方，转化为两个一元一次方程即可求解；
(2) 方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解：先移项将常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开平方转化为一次方程求解；
(3) 方程左侧的二次三项式可因式分解，优先选择因式分解法：将左侧分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) $\because (x-2)^2-4=0$，$\therefore (x-2)^2=4$，$\therefore x-2=2$或$x-2=-2$，解得$x_1=4,x_2=0$。
(2) $x^2+2x-4=0$，移项，得$x^2+2x=4$，配方，得$x^2+2x+1=5$，即$(x+1)^2=5$，开平方，得$x+1=\pm\sqrt{5}$，解得$x=-1\pm\sqrt{5}$，$\therefore x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$。
(3) $\because x^2-(\sqrt{2} +1)x + \sqrt{2}=0$，$\therefore (x-1)(x-\sqrt{2})=0$，$\therefore x-1=0$或$x-\sqrt{2}=0$，解得$x_1=1,x_2=\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=0$；(2)$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$；(3)$x_1=1,x_2=\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
三道题分别考查一元二次方程的三种基础解法，解题时要注意观察方程特征，灵活选择最简便的解法，能够有效降低计算量、提升解题准确率。
【难度系数】
0.85
这三道题均为一元二次方程求解，需根据方程的结构特征选择最优解法：
(1) 方程形式为含未知数的完全平方减常数等于0，优先选择直接开平方法：先移项将常数项移到等号右侧，再对两边同时开平方，转化为两个一元一次方程即可求解；
(2) 方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解：先移项将常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开平方转化为一次方程求解；
(3) 方程左侧的二次三项式可因式分解，优先选择因式分解法：将左侧分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) $\because (x-2)^2-4=0$，$\therefore (x-2)^2=4$，$\therefore x-2=2$或$x-2=-2$，解得$x_1=4,x_2=0$。
(2) $x^2+2x-4=0$，移项，得$x^2+2x=4$，配方，得$x^2+2x+1=5$，即$(x+1)^2=5$，开平方，得$x+1=\pm\sqrt{5}$，解得$x=-1\pm\sqrt{5}$，$\therefore x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$。
(3) $\because x^2-(\sqrt{2} +1)x + \sqrt{2}=0$，$\therefore (x-1)(x-\sqrt{2})=0$，$\therefore x-1=0$或$x-\sqrt{2}=0$，解得$x_1=1,x_2=\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=0$；(2)$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$；(3)$x_1=1,x_2=\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
三道题分别考查一元二次方程的三种基础解法，解题时要注意观察方程特征，灵活选择最简便的解法，能够有效降低计算量、提升解题准确率。
【难度系数】
0.85
4[2025江苏扬州中考]关于一元二次方程$x^2 -3x+1=0$的根的情况,下列结论正确的是(
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断根的情况
5[2025安徽中考]下列方程中,有两个不相等的实数根的是 (
A. $x^2+1=0$
B. $x^2-2x+1=0$
C. $x^2+x+1=0$
D. $x^2+x-1=0$
A
)A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断根的情况
5[2025安徽中考]下列方程中,有两个不相等的实数根的是 (
D
)A. $x^2+1=0$
B. $x^2-2x+1=0$
C. $x^2+x+1=0$
D. $x^2+x-1=0$
答案
4. A 【解析】$x^2-3x+1=0$，$a=1,b=-3,c=1$，$\therefore b^2-4ac=(-3)^2-4×1×1=9-4=5＞0$，$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，故选A。
5. D 【解析】A选项，$b^2-4ac=-4＜0$，故方程没有实数根；B选项，$b^2-4ac=0$，故方程有两个相等的实数根；C选项，$b^2-4ac=-3＜0$，故方程没有实数根；D选项，$b^2-4ac=5＞0$，故方程有两个不相等的实数根。故选D。
5. D 【解析】A选项，$b^2-4ac=-4＜0$，故方程没有实数根；B选项，$b^2-4ac=0$，故方程有两个相等的实数根；C选项，$b^2-4ac=-3＜0$，故方程没有实数根；D选项，$b^2-4ac=5＞0$，故方程有两个不相等的实数根。故选D。
解析
【分析】
这两道题均考查一元二次方程根的情况的判断，解题核心是利用根的判别式$\Delta =b^2-4ac$的符号判定根的情况：①$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；②$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；③$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题步骤为：首先从给定的一元二次方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入公式计算$\Delta$的值，最后根据$\Delta$的符号对应判断根的情况，选出正确选项即可。
【解析】
第4题
对于方程$x^2 -3x+1=0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9-4=5＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
第5题
逐一计算各选项方程的判别式：
A选项：方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，方程没有实数根；
B选项：方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根；
C选项：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，方程没有实数根；
D选项：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根。
【答案】
4. A；5. D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根的情况判定
【点评】
这两道题属于基础类题型，是中考中关于一元二次方程的常见考点，解题的关键是准确识别方程各项系数，正确计算判别式的数值，熟练掌握判别式符号与根的情况的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这两道题均考查一元二次方程根的情况的判断，解题核心是利用根的判别式$\Delta =b^2-4ac$的符号判定根的情况：①$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；②$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；③$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题步骤为：首先从给定的一元二次方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入公式计算$\Delta$的值，最后根据$\Delta$的符号对应判断根的情况，选出正确选项即可。
【解析】
第4题
对于方程$x^2 -3x+1=0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9-4=5＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
第5题
逐一计算各选项方程的判别式：
A选项：方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，方程没有实数根；
B选项：方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根；
C选项：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，方程没有实数根；
D选项：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根。
【答案】
4. A；5. D
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根的情况判定
【点评】
这两道题属于基础类题型，是中考中关于一元二次方程的常见考点，解题的关键是准确识别方程各项系数，正确计算判别式的数值，熟练掌握判别式符号与根的情况的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
6[2025四川乐山中考]定义:在平面直角坐标系中,到原点的距离等于1的点叫作“单位圆点”.
(1)下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是
①$y=x+2$;②$y=\frac{1}{x}$;③$y=x^2+1$.
(2)若一次函数$y=\frac{1}{2}x+m$的图象上存在“单位圆点”,则$m$的取值范围为
(1)下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是
③
(填序号);①$y=x+2$;②$y=\frac{1}{x}$;③$y=x^2+1$.
(2)若一次函数$y=\frac{1}{2}x+m$的图象上存在“单位圆点”,则$m$的取值范围为
$-\frac{\sqrt{5}}{2}≤ m≤\frac{\sqrt{5}}{2}$
.答案
【解析】(1)①由题联立$\begin{cases}y=x+2,\\x^2+y^2=1,\end{cases}$整理得$2x^2+4x+3=0$，则$b^2-4ac=16-4×2×3=-8＜0$，此方程无实数解，故函数$y=x+2$的图象上不存在“单位圆点”。
②由题联立$\begin{cases}y=\frac{1}{x},\\x^2+y^2=1,\end{cases}$整理得$x^2+\frac{1}{x^2}=1$，令$x^2=t(t＞0)$，则方程变为$t+\frac{1}{t}=1$，即$t^2-t+1=0$，则$b^2-4ac=1-4×1×1=-3＜0$，此方程无实数解，故函数$y=\frac{1}{x}$的图象上不存在“单位圆点”。
③由题联立$\begin{cases}y=x^2+1,\\x^2+y^2=1,\end{cases}$整理得$x^4+3x^2=0$，则$x^2(x^2+3)=0$。$\because x^2+3＞0$恒成立，$\therefore x^2=0$，解得$x=0$。当$x=0$时，$y=0+1=1$，则点$(0,1)$满足$x^2+y^2=1$，即函数$y=x^2+1$的图象上存在“单位圆点”。故答案为③。
(2)由题联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+m,\\x^2+y^2=1,\end{cases}$整理得$\frac{5}{4}x^2+mx+m^2-1=0$，则$b^2-4ac=m^2-4×\frac{5}{4}(m^2-1)=-4m^2+5≥0$，解得$-\frac{\sqrt{5}}{2}≤ m≤\frac{\sqrt{5}}{2}$，故答案为$-\frac{\sqrt{5}}{2}≤ m≤\frac{\sqrt{5}}{2}$。
②由题联立$\begin{cases}y=\frac{1}{x},\\x^2+y^2=1,\end{cases}$整理得$x^2+\frac{1}{x^2}=1$，令$x^2=t(t＞0)$，则方程变为$t+\frac{1}{t}=1$，即$t^2-t+1=0$，则$b^2-4ac=1-4×1×1=-3＜0$，此方程无实数解，故函数$y=\frac{1}{x}$的图象上不存在“单位圆点”。
③由题联立$\begin{cases}y=x^2+1,\\x^2+y^2=1,\end{cases}$整理得$x^4+3x^2=0$，则$x^2(x^2+3)=0$。$\because x^2+3＞0$恒成立，$\therefore x^2=0$，解得$x=0$。当$x=0$时，$y=0+1=1$，则点$(0,1)$满足$x^2+y^2=1$，即函数$y=x^2+1$的图象上存在“单位圆点”。故答案为③。
(2)由题联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+m,\\x^2+y^2=1,\end{cases}$整理得$\frac{5}{4}x^2+mx+m^2-1=0$，则$b^2-4ac=m^2-4×\frac{5}{4}(m^2-1)=-4m^2+5≥0$，解得$-\frac{\sqrt{5}}{2}≤ m≤\frac{\sqrt{5}}{2}$，故答案为$-\frac{\sqrt{5}}{2}≤ m≤\frac{\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
首先明确“单位圆点”的定义：到原点距离等于1的点，根据两点间距离公式，这类点满足方程$x^2+y^2=1$。判断函数图象上是否存在“单位圆点”，本质是联立函数解析式与$x^2+y^2=1$，判断所得方程组是否有实数解。第(2)问中一次函数图象上存在符合要求的点，说明联立后得到的一元二次方程有实数根，利用根的判别式$\Delta≥0$即可求出$m$的取值范围。
【解析】
(1) ① 联立$\begin{cases}y=x+2\\x^2+y^2=1\end{cases}$，将$y=x+2$代入$x^2+y^2=1$，整理得$2x^2+4x+3=0$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac=16-4×2×3=-8＜0$，方程无实数解，故$y=x+2$的图象上不存在“单位圆点”。
② 联立$\begin{cases}y=\frac{1}{x}\\x^2+y^2=1\end{cases}$，将$y=\frac{1}{x}$代入得$x^2+\frac{1}{x^2}=1$，令$t=x^2(t＞0)$，方程变形为$t+\frac{1}{t}=1$，去分母得$t^2-t+1=0$，$\Delta=1-4×1×1=-3＜0$，方程无正实数解，故$y=\frac{1}{x}$的图象上不存在“单位圆点”。
③ 联立$\begin{cases}y=x^2+1\\x^2+y^2=1\end{cases}$，将$y=x^2+1$代入得$x^2+(x^2+1)^2=1$，整理得$x^4+3x^2=0$，即$x^2(x^2+3)=0$。因为$x^2+3＞0$恒成立，所以$x^2=0$，解得$x=0$，代入得$y=1$，点$(0,1)$满足到原点距离为1，故$y=x^2+1$的图象上存在“单位圆点”。
综上，存在“单位圆点”的是③。
(2) 联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+m\\x^2+y^2=1\end{cases}$，将$y=\frac{1}{2}x+m$代入$x^2+y^2=1$，整理得$\frac{5}{4}x^2+mx+m^2-1=0$。因为一次函数图象上存在“单位圆点”，所以该一元二次方程有实数根，即$\Delta≥0$。计算判别式：$\Delta=m^2-4×\frac{5}{4}×(m^2-1)=-4m^2+5≥0$，解得$-\frac{\sqrt{5}}{2}≤ m≤\frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{③}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{5}}{2}≤ m≤\dfrac{\sqrt{5}}{2}}$
【知识点】
新定义问题，函数与方程转化，根的判别式应用
【点评】
本题以新定义为载体，将函数图象上点的存在性问题转化为一元二次方程解的问题，重点考查转化思想的应用，解题核心是把“单位圆点”的条件转化为方程$x^2+y^2=1$，再结合判别式求解。
【难度系数】
0.65
首先明确“单位圆点”的定义：到原点距离等于1的点，根据两点间距离公式，这类点满足方程$x^2+y^2=1$。判断函数图象上是否存在“单位圆点”，本质是联立函数解析式与$x^2+y^2=1$，判断所得方程组是否有实数解。第(2)问中一次函数图象上存在符合要求的点，说明联立后得到的一元二次方程有实数根，利用根的判别式$\Delta≥0$即可求出$m$的取值范围。
【解析】
(1) ① 联立$\begin{cases}y=x+2\\x^2+y^2=1\end{cases}$，将$y=x+2$代入$x^2+y^2=1$，整理得$2x^2+4x+3=0$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac=16-4×2×3=-8＜0$，方程无实数解，故$y=x+2$的图象上不存在“单位圆点”。
② 联立$\begin{cases}y=\frac{1}{x}\\x^2+y^2=1\end{cases}$，将$y=\frac{1}{x}$代入得$x^2+\frac{1}{x^2}=1$，令$t=x^2(t＞0)$，方程变形为$t+\frac{1}{t}=1$，去分母得$t^2-t+1=0$，$\Delta=1-4×1×1=-3＜0$，方程无正实数解，故$y=\frac{1}{x}$的图象上不存在“单位圆点”。
③ 联立$\begin{cases}y=x^2+1\\x^2+y^2=1\end{cases}$，将$y=x^2+1$代入得$x^2+(x^2+1)^2=1$，整理得$x^4+3x^2=0$，即$x^2(x^2+3)=0$。因为$x^2+3＞0$恒成立，所以$x^2=0$，解得$x=0$，代入得$y=1$，点$(0,1)$满足到原点距离为1，故$y=x^2+1$的图象上存在“单位圆点”。
综上，存在“单位圆点”的是③。
(2) 联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+m\\x^2+y^2=1\end{cases}$，将$y=\frac{1}{2}x+m$代入$x^2+y^2=1$，整理得$\frac{5}{4}x^2+mx+m^2-1=0$。因为一次函数图象上存在“单位圆点”，所以该一元二次方程有实数根，即$\Delta≥0$。计算判别式：$\Delta=m^2-4×\frac{5}{4}×(m^2-1)=-4m^2+5≥0$，解得$-\frac{\sqrt{5}}{2}≤ m≤\frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{③}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{5}}{2}≤ m≤\dfrac{\sqrt{5}}{2}}$
【知识点】
新定义问题，函数与方程转化，根的判别式应用
【点评】
本题以新定义为载体，将函数图象上点的存在性问题转化为一元二次方程解的问题，重点考查转化思想的应用，解题核心是把“单位圆点”的条件转化为方程$x^2+y^2=1$，再结合判别式求解。
【难度系数】
0.65
7[2025河北中考]若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系位于(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C 【解析】方程$x(x+2)-3=0$，整理得$x^2+2x-3=0$，$\therefore$ 两根之和$m=-2＜0$，两根之积$n=-3＜0$，$\therefore$ 点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于第三象限。故选C。
解析
【分析】
解这道题的思路分为三步：第一步先把给定的方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定$a、b、c$的取值；第二步利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和$m$、两根之积$n$的数值；第三步结合平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。
【解析】
首先整理原方程为一元二次方程一般形式：
$x(x+2)-3=0$展开化简得$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系：两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
可得$m＜0$，$n＜0$，而平面直角坐标系中第三象限的点横、纵坐标均为负数，因此点$(m,n)$位于第三象限。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，结合了一元二次方程和平面直角坐标系的核心基础知识点，解题的关键是熟练掌握韦达定理的运算规则和各象限点的坐标符号规律。
【难度系数】
0.8
解这道题的思路分为三步：第一步先把给定的方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定$a、b、c$的取值；第二步利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和$m$、两根之积$n$的数值；第三步结合平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。
【解析】
首先整理原方程为一元二次方程一般形式：
$x(x+2)-3=0$展开化简得$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系：两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
可得$m＜0$，$n＜0$，而平面直角坐标系中第三象限的点横、纵坐标均为负数，因此点$(m,n)$位于第三象限。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，结合了一元二次方程和平面直角坐标系的核心基础知识点，解题的关键是熟练掌握韦达定理的运算规则和各象限点的坐标符号规律。
【难度系数】
0.8
8[2024黑龙江绥化中考]小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是（
A.$x^2+6x+5=0$
B.$x^2-7x+10=0$
C.$x^2-5x+2=0$
D.$x^2-6x-10=0$
B
）A.$x^2+6x+5=0$
B.$x^2-7x+10=0$
C.$x^2-5x+2=0$
D.$x^2-6x-10=0$
答案
B 【解析】设原来的方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。由题知$-\frac{b}{a}=6+1=7$，$\frac{c}{a}=-2×(-5)=10$，$\therefore b=-7a$，$c=10a$，$\therefore$ 原来的方程为$ax^2-7ax+10a=0$，则$x^2-7x+10=0$符合题意。
解析
【分析】
解这道题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系，先明确两人的错误分别不影响哪部分根的性质：小影仅写错常数项，说明他得到的两根对应的一次项、二次项系数是正确的，因此两根之和的数值是准确的；小冬仅写错一次项系数，说明他得到的两根对应的常数项、二次项系数是正确的，因此两根之积的数值是准确的。后续我们分别提取两个正确的数值，结合韦达定理反推原方程即可。
【解析】
设原一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据韦达定理：若方程两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
1. 小影写错常数项，一次项和二次项系数正确，因此他得到的两根6和1的和是正确的：
$-\frac{b}{a}=6+1=7$，即$b=-7a$；
2. 小冬写错一次项系数，常数项和二次项系数正确，因此他得到的两根-2和-5的积是正确的：
$\frac{c}{a}=(-2)×(-5)=10$，即$c=10a$。
将$b=-7a、c=10a$代入原方程得$ax^2-7ax+10a=0$，因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$，化简得原方程为$x^2-7x+10=0$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）；2. 一元二次方程化简
【点评】
本题是韦达定理的基础变形应用题，解题关键是区分写错不同系数时不受影响的根的关系，属于定理的常规应用题型，掌握韦达定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解这道题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系，先明确两人的错误分别不影响哪部分根的性质：小影仅写错常数项，说明他得到的两根对应的一次项、二次项系数是正确的，因此两根之和的数值是准确的；小冬仅写错一次项系数，说明他得到的两根对应的常数项、二次项系数是正确的，因此两根之积的数值是准确的。后续我们分别提取两个正确的数值，结合韦达定理反推原方程即可。
【解析】
设原一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据韦达定理：若方程两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
1. 小影写错常数项，一次项和二次项系数正确，因此他得到的两根6和1的和是正确的：
$-\frac{b}{a}=6+1=7$，即$b=-7a$；
2. 小冬写错一次项系数，常数项和二次项系数正确，因此他得到的两根-2和-5的积是正确的：
$\frac{c}{a}=(-2)×(-5)=10$，即$c=10a$。
将$b=-7a、c=10a$代入原方程得$ax^2-7ax+10a=0$，因为$a≠0$，方程两边同时除以$a$，化简得原方程为$x^2-7x+10=0$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）；2. 一元二次方程化简
【点评】
本题是韦达定理的基础变形应用题，解题关键是区分写错不同系数时不受影响的根的关系，属于定理的常规应用题型，掌握韦达定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
9 [2025江苏苏州中考]已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x - m = 0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$
$-3$
。答案
$-3$ 【解析】$\because x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，$\therefore x_1+x_2=-2$。$\because x_1=1$，$\therefore x_2=-3$，故答案为$-3$。
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的另一个根，有两种常见解题思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先根据方程系数求出两根之和，再代入已知根即可快速求出未知根，这种方法计算量小，更简便；思路2：先将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根，两种方法均符合初中阶段知识要求。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
已知方程$x^2 + 2x - m = 0$中$a=1$，$b=2$，因此两根之和$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$。
又已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-3$。
方法二（代入求参法）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2 + 2x - m = 0$，得$1^2+2×1 - m=0$，解得$m=3$。
因此原方程为$x^2 + 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
3. 解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，两种解题方法都较为常规，其中运用根与系数的关系可直接跳过求参数的步骤，提升解题效率，同学们平时解题时可优先选择更简便的方法。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程的另一个根，有两种常见解题思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先根据方程系数求出两根之和，再代入已知根即可快速求出未知根，这种方法计算量小，更简便；思路2：先将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根，两种方法均符合初中阶段知识要求。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
已知方程$x^2 + 2x - m = 0$中$a=1$，$b=2$，因此两根之和$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$。
又已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-3$。
方法二（代入求参法）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2 + 2x - m = 0$，得$1^2+2×1 - m=0$，解得$m=3$。
因此原方程为$x^2 + 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
3. 解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，两种解题方法都较为常规，其中运用根与系数的关系可直接跳过求参数的步骤，提升解题效率，同学们平时解题时可优先选择更简便的方法。
【难度系数】
0.9
10[2024山东烟台中考]若一元二次方程$2x^2 - 4x -1=0$的两根为$m,n$,则$3m^2 -4m +n^2$的值为
$6$
.答案
$6$ 【解析】$\because$ 一元二次方程$2x^2-4x-1=0$的两个根为$m,n$，$\therefore m+n=2$，$mn=-\frac{1}{2}$，$2m^2-4m=1$，$\therefore 3m^2-4m+n^2=2m^2-4m+m^2+n^2=m^2+n^2+1=(m+n)^2-2mn+1=2^2-2×(-\frac{1}{2})+1=6$。故答案为$6$。
解析
【分析】
要求代数式$3m^2 -4m +n^2$的值，若直接求解方程的根再代入计算会比较繁琐，可按以下思路推导：1. 利用一元二次方程根的定义，因为$m$是方程的根，代入方程可得$2m^2-4m=1$，可用于降次，将原式拆分为$2m^2-4m + m^2 +n^2$，简化为求$m^2+n^2 +1$；2. 利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$m+n$、两根之积$mn$；3. 利用完全平方公式的变形$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
$\because$ 一元二次方程$2x^2-4x-1=0$的两个根为$m,n$，
$\therefore$ 根据根与系数的关系得：$m+n=\frac{4}{2}=2$，$mn=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$，
根据根的定义，将$x=m$代入方程得：$2m^2-4m-1=0$，即$2m^2-4m=1$，
对所求代数式变形：
$3m^2-4m+n^2=(2m^2-4m)+m^2+n^2=1 + m^2+n^2$
再将$m^2+n^2$用完全平方公式变形为$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，代入得：
原式$=1 + (m+n)^2 -2mn=1 + 2^2 -2×(-\frac{1}{2})=1 +4 +1=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 根与系数的关系 3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的典型常考题，无需解出方程的根，通过根的定义降次、结合韦达定理和完全平方公式变形即可快速求解，能够有效考查对相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求代数式$3m^2 -4m +n^2$的值，若直接求解方程的根再代入计算会比较繁琐，可按以下思路推导：1. 利用一元二次方程根的定义，因为$m$是方程的根，代入方程可得$2m^2-4m=1$，可用于降次，将原式拆分为$2m^2-4m + m^2 +n^2$，简化为求$m^2+n^2 +1$；2. 利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$m+n$、两根之积$mn$；3. 利用完全平方公式的变形$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
$\because$ 一元二次方程$2x^2-4x-1=0$的两个根为$m,n$，
$\therefore$ 根据根与系数的关系得：$m+n=\frac{4}{2}=2$，$mn=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$，
根据根的定义，将$x=m$代入方程得：$2m^2-4m-1=0$，即$2m^2-4m=1$，
对所求代数式变形：
$3m^2-4m+n^2=(2m^2-4m)+m^2+n^2=1 + m^2+n^2$
再将$m^2+n^2$用完全平方公式变形为$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，代入得：
原式$=1 + (m+n)^2 -2mn=1 + 2^2 -2×(-\frac{1}{2})=1 +4 +1=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 根与系数的关系 3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的典型常考题，无需解出方程的根，通过根的定义降次、结合韦达定理和完全平方公式变形即可快速求解，能够有效考查对相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
