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一、选择题(共24分)
1 把方程$2x(x-1)=3x$化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是 (
A.$2,1,0$
B.$2,-5,0$
C.$2,-3,-1$
D.$2,5,0$
1 把方程$2x(x-1)=3x$化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是 (
B
)A.$2,1,0$
B.$2,-5,0$
C.$2,-3,-1$
D.$2,5,0$
答案
B 【解析】因为$2x(x-1)=3x$，所以$2x^2-2x=3x$，所以$2x^2-5x=0$，所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是$2,-5,0$，故选B。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先对原方程去括号，再将所有项移到等号左侧、合并同类项整理成一般形式，最后对应找出三个系数即可，注意移项时要改变符号，常数项为0时也不能遗漏。
【解析】
对原方程左边去括号，可得：
$2x^2 - 2x = 3x$
将右侧的$3x$移到左侧合并同类项：
$2x^2 - 2x - 3x = 0$，即$2x^2 - 5x = 0$
对照一元二次方程一般形式，可得二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为0，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式化简
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的识别，易错点是移项时忘记改变符号，或者忽略常数项为0的情况，熟练掌握整式方程化简的基本步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先对原方程去括号，再将所有项移到等号左侧、合并同类项整理成一般形式，最后对应找出三个系数即可，注意移项时要改变符号，常数项为0时也不能遗漏。
【解析】
对原方程左边去括号，可得：
$2x^2 - 2x = 3x$
将右侧的$3x$移到左侧合并同类项：
$2x^2 - 2x - 3x = 0$，即$2x^2 - 5x = 0$
对照一元二次方程一般形式，可得二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为0，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式化简
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的识别，易错点是移项时忘记改变符号，或者忽略常数项为0的情况，熟练掌握整式方程化简的基本步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2[2024江苏宿迁中考]规定:对于任意实数$a,b,c$,有$[a,b]★c=ac+b$,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如$[2,3]★1=2×1+3=5$.若关于$x$的方程$[x,x+1]★(mx)=0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围为 (
A.$m＜\frac{1}{4}$
B.$m＞\frac{1}{4}$
C.$m＞\frac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$
D
)A.$m＜\frac{1}{4}$
B.$m＞\frac{1}{4}$
C.$m＞\frac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$
答案
【思路分析】根据题意得到$mx^2+x+1=0$，再由方程有两个不相等的实数根得到$1^2-4× m×1＞0$，且$m≠0$，即可得到答案。
D 【解析】$\because [x,x+1]★(mx)=0$，$[a,b]★c=ac+b$，$\therefore x· mx+x+1=0$，即$mx^2+x+1=0$。$\because$ 关于$x$的方程$[x,x+1]★(mx)=0$有两个不相等的实数根，$\therefore 1^2-4× m×1＞0$，且$m≠0$，解得$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$，故选D。
D 【解析】$\because [x,x+1]★(mx)=0$，$[a,b]★c=ac+b$，$\therefore x· mx+x+1=0$，即$mx^2+x+1=0$。$\because$ 关于$x$的方程$[x,x+1]★(mx)=0$有两个不相等的实数根，$\therefore 1^2-4× m×1＞0$，且$m≠0$，解得$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$，故选D。
解析
【分析】
首先要理解题目给出的新定义运算规则，把含新运算的方程转化为常规的整式方程。题目明确说明方程有两个不相等的实数根，说明转化后的方程是一元二次方程，因此需要满足两个条件：一是二次项系数不能为0，二是一元二次方程的根的判别式大于0，联立两个条件就能求出m的取值范围。
【解析】
根据新定义$[a,b]★c=ac+b$，将$[x,x+1]★(mx)=0$转化为常规运算：
$x· mx + (x+1) = 0$
整理得：$mx^2 + x + 1 = 0$
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴方程为一元二次方程，且判别式$\Delta＞0$：
1. 二次项系数不为0：$m≠0$
2. 判别式$\Delta = 1^2 - 4× m×1 ＞ 0$，解得$1-4m＞0$，即$m＜\frac{1}{4}$
综上，m的取值范围是$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、根的判别式、一元二次方程定义
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的相关知识，解题关键是正确转化新运算得到常规方程，要注意一元二次方程二次项系数不为0是隐含条件，很容易遗漏导致错选。
【难度系数】
0.6
首先要理解题目给出的新定义运算规则，把含新运算的方程转化为常规的整式方程。题目明确说明方程有两个不相等的实数根，说明转化后的方程是一元二次方程，因此需要满足两个条件：一是二次项系数不能为0，二是一元二次方程的根的判别式大于0，联立两个条件就能求出m的取值范围。
【解析】
根据新定义$[a,b]★c=ac+b$，将$[x,x+1]★(mx)=0$转化为常规运算：
$x· mx + (x+1) = 0$
整理得：$mx^2 + x + 1 = 0$
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴方程为一元二次方程，且判别式$\Delta＞0$：
1. 二次项系数不为0：$m≠0$
2. 判别式$\Delta = 1^2 - 4× m×1 ＞ 0$，解得$1-4m＞0$，即$m＜\frac{1}{4}$
综上，m的取值范围是$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、根的判别式、一元二次方程定义
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的相关知识，解题关键是正确转化新运算得到常规方程，要注意一元二次方程二次项系数不为0是隐含条件，很容易遗漏导致错选。
【难度系数】
0.6
3 已知关于x的一元二次方程$x^2 - kx + k - 3 = 0$的两个实数根分别为$x_1, x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 = 5$，则k的值是（
A.-2
B.2
C.-1
D.1
D
）A.-2
B.2
C.-1
D.1
答案
D 【解析】$\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2-kx+k-3=0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，$\therefore x_1+x_2=k$，$x_1x_2=k-3$。$\because x_1^2+x_2^2=5$，$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5$，$\therefore k^2-2(k-3)=5$，整理得$k^2-2k+1=0$，解得$k_1=k_2=1$，$\therefore$ 原方程为$x^2-x-2=0$。$\because (-1)^2-4×1×(-2)=9＞0$，$\therefore k=1$符合题意。故选D。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，根据一元二次方程根与系数的关系，写出两根之和、两根之积关于k的表达式；第二步，利用完全平方公式的变形，将$x_1^2+x_2^2$转化为含两根和、两根积的形式，代入已知条件得到关于k的方程，求解k的可能值；第三步，结合题目给出的“两个实数根”的前提，将求出的k代入根的判别式检验，只有满足判别式非负的k才是有效解。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - kx + k - 3 = 0$的两个实数根分别为$x_1, x_2$，
∴ 根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = k$，$x_1x_2 = k - 3$。
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 5$，由完全平方公式变形得$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5$，
将$x_1 + x_2 = k$，$x_1x_2 = k - 3$代入得：
$k^2 - 2(k - 3) = 5$，
整理得$k^2 - 2k + 1 = 0$，
解得$k_1 = k_2 = 1$。
将$k=1$代入原方程得$x^2 - x - 2 = 0$，计算判别式：
$\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × (-2) = 9 ＞ 0$，符合方程有两个实数根的条件，因此$k=1$符合题意。
【答案】D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的常规综合应用题，解题核心是熟练掌握根与系数关系和代数式的恒等变形，要特别注意“方程有两个实数根”的前提，所求参数必须满足根的判别式非负，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，根据一元二次方程根与系数的关系，写出两根之和、两根之积关于k的表达式；第二步，利用完全平方公式的变形，将$x_1^2+x_2^2$转化为含两根和、两根积的形式，代入已知条件得到关于k的方程，求解k的可能值；第三步，结合题目给出的“两个实数根”的前提，将求出的k代入根的判别式检验，只有满足判别式非负的k才是有效解。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - kx + k - 3 = 0$的两个实数根分别为$x_1, x_2$，
∴ 根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = k$，$x_1x_2 = k - 3$。
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 5$，由完全平方公式变形得$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5$，
将$x_1 + x_2 = k$，$x_1x_2 = k - 3$代入得：
$k^2 - 2(k - 3) = 5$，
整理得$k^2 - 2k + 1 = 0$，
解得$k_1 = k_2 = 1$。
将$k=1$代入原方程得$x^2 - x - 2 = 0$，计算判别式：
$\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × (-2) = 9 ＞ 0$，符合方程有两个实数根的条件，因此$k=1$符合题意。
【答案】D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的常规综合应用题，解题核心是熟练掌握根与系数关系和代数式的恒等变形，要特别注意“方程有两个实数根”的前提，所求参数必须满足根的判别式非负，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
4[2026 江苏宿迁质检]已知 $a,b$ 满足 $(a^2 + 4a + 7)(b^2 - 6b + 11) = 6$，则 $2a + b = $ $\quad (\quad)$
A.$-6$
B.$-1$
C.$2$
D.$3$
A.$-6$
B.$-1$
C.$2$
D.$3$
答案
B 【解析】$\because (a^2+4a+7)(b^2-6b+11)=6$，$\therefore [(a+2)^2+3][(b-3)^2+2]=6$。$\because (a+2)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，$\therefore$ 当$a+2=0$，$b-3=0$时，$[(a+2)^2+3][(b-3)^2+2]=6$，解得$a=-2$，$b=3$，$\therefore 2a+b=2×(-2)+3=-4+3=-1$，故选B。
解析
【分析】
遇到两个含字母的二次多项式乘积为定值的问题，优先用配方法将两个二次式转化为“完全平方+常数”的形式，利用完全平方的非负性求出两个因式的最小值，观察到最小值的乘积刚好等于给定的定值，说明只有当两个完全平方都取0时等式成立，即可求出a、b的取值，最后代入计算2a+b的值即可。
【解析】
解：对等式左侧的两个多项式分别配方：
$a^2+4a+7=(a+2)^2+3$，$b^2-6b+11=(b-3)^2+2$
$\therefore$ 原等式可转化为：$[(a+2)^2+3][(b-3)^2+2]=6$
根据完全平方的非负性可知：$(a+2)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$
$\therefore (a+2)^2+3≥3$，$(b-3)^2+2≥2$
$\therefore [(a+2)^2+3][(b-3)^2+2]≥3×2=6$
已知两式乘积恰好等于6，说明两个因式都取到最小值，即：
$a+2=0$，$b-3=0$
解得$a=-2$，$b=3$
代入代数式得：$2a+b=2×(-2)+3=-1$
故选B
【答案】
B
【知识点】
配方法的应用；完全平方的非负性；代数式求值
【点评】
本题综合考查代数变形能力和非负数的性质，解题关键是通过配方法得到两个因式的最小值，结合乘积为定值确定完全平方项为0，是代数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
遇到两个含字母的二次多项式乘积为定值的问题，优先用配方法将两个二次式转化为“完全平方+常数”的形式，利用完全平方的非负性求出两个因式的最小值，观察到最小值的乘积刚好等于给定的定值，说明只有当两个完全平方都取0时等式成立，即可求出a、b的取值，最后代入计算2a+b的值即可。
【解析】
解：对等式左侧的两个多项式分别配方：
$a^2+4a+7=(a+2)^2+3$，$b^2-6b+11=(b-3)^2+2$
$\therefore$ 原等式可转化为：$[(a+2)^2+3][(b-3)^2+2]=6$
根据完全平方的非负性可知：$(a+2)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$
$\therefore (a+2)^2+3≥3$，$(b-3)^2+2≥2$
$\therefore [(a+2)^2+3][(b-3)^2+2]≥3×2=6$
已知两式乘积恰好等于6，说明两个因式都取到最小值，即：
$a+2=0$，$b-3=0$
解得$a=-2$，$b=3$
代入代数式得：$2a+b=2×(-2)+3=-1$
故选B
【答案】
B
【知识点】
配方法的应用；完全平方的非负性；代数式求值
【点评】
本题综合考查代数变形能力和非负数的性质，解题关键是通过配方法得到两个因式的最小值，结合乘积为定值确定完全平方项为0，是代数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
5[2025江苏镇江期中]如图(1),以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按图(2)的方式放置在最大的正方形内.若图(2)中阴影部分的面积为2,且AB+AC=8,则下列数值中可为BC长的是 (
A.8
B.6
C.$\frac{25}{4}$
D.$\frac{13}{2}$
B
)A.8
B.6
C.$\frac{25}{4}$
D.$\frac{13}{2}$
答案
B 【解析】设$AB=c$，$AC=b$，$BC=a$，则$b^2+c^2=a^2$。$\because$ 阴影部分的面积为2，$\therefore (a-c)(a-b)=2$，$\therefore a^2-a(b+c)+bc=2$。$\because AB+AC=8$，$\therefore b+c=8$，$\therefore a^2-8a+bc=2$，$(b+c)^2=64$，$\therefore b^2+2bc+c^2=64$，$\therefore bc=32-\frac{1}{2}a^2$，$\therefore a^2-8a+32-\frac{1}{2}a^2=2$，$\therefore a^2-16a+60=0$，$\therefore a_1=6$，$a_2=10$(舍去)，$\therefore BC=6$。故选B。
解析
【分析】
本题是勾股定理与正方形性质结合的综合题，解题思路可按三步展开：第一步，设直角三角形三边长分别为$AC=b$、$AB=c$、斜边$BC=a$，根据勾股定理可得$b^2+c^2=a^2$；第二步，观察图2可知阴影部分为矩形，长为大正方形边长减较小正方形边长$(a-c)$，宽为$(a-b)$，结合阴影面积为2列出等式；第三步，结合已知$AB+AC=8$即$b+c=8$，利用完全平方公式将$bc$用含$a$的式子表示，代入面积等式得到关于$a$的一元二次方程，求解后结合三角形三边关系舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
设$AB=c$，$AC=b$，$BC=a$，
∵$△ ABC$是直角三角形，$BC$为斜边，
∴由勾股定理得$b^2+c^2=a^2$。
观察图2可知阴影部分为矩形，长为$a-c$，宽为$a-b$，
∵阴影部分的面积为2，
∴$(a-c)(a-b)=2$，
展开得：$a^2-a(b+c)+bc=2$。
∵$AB+AC=8$，
∴$b+c=8$，代入上式得：$a^2-8a+bc=2$ ①。
对$b+c=8$两边平方得：$(b+c)^2=64$，即$b^2+2bc+c^2=64$，
将$b^2+c^2=a^2$代入得：$a^2+2bc=64$，整理得$bc=32-\frac{1}{2}a^2$ ②。
把②代入①得：$a^2-8a+32-\frac{1}{2}a^2=2$，
整理得：$a^2-16a+60=0$，
因式分解得$(a-6)(a-10)=0$，解得$a_1=6$，$a_2=10$。
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，$a ＜ b+c=8$，故$a=10$不符合题意，舍去，
∴$BC=6$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；一元二次方程的应用
【点评】
本题解题的核心是正确分析图形得到阴影部分面积的表达式，结合勾股定理和完全平方公式进行代换，建立关于边长的方程求解，同时要注意结合三角形三边关系对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
本题是勾股定理与正方形性质结合的综合题，解题思路可按三步展开：第一步，设直角三角形三边长分别为$AC=b$、$AB=c$、斜边$BC=a$，根据勾股定理可得$b^2+c^2=a^2$；第二步，观察图2可知阴影部分为矩形，长为大正方形边长减较小正方形边长$(a-c)$，宽为$(a-b)$，结合阴影面积为2列出等式；第三步，结合已知$AB+AC=8$即$b+c=8$，利用完全平方公式将$bc$用含$a$的式子表示，代入面积等式得到关于$a$的一元二次方程，求解后结合三角形三边关系舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
设$AB=c$，$AC=b$，$BC=a$，
∵$△ ABC$是直角三角形，$BC$为斜边，
∴由勾股定理得$b^2+c^2=a^2$。
观察图2可知阴影部分为矩形，长为$a-c$，宽为$a-b$，
∵阴影部分的面积为2，
∴$(a-c)(a-b)=2$，
展开得：$a^2-a(b+c)+bc=2$。
∵$AB+AC=8$，
∴$b+c=8$，代入上式得：$a^2-8a+bc=2$ ①。
对$b+c=8$两边平方得：$(b+c)^2=64$，即$b^2+2bc+c^2=64$，
将$b^2+c^2=a^2$代入得：$a^2+2bc=64$，整理得$bc=32-\frac{1}{2}a^2$ ②。
把②代入①得：$a^2-8a+32-\frac{1}{2}a^2=2$，
整理得：$a^2-16a+60=0$，
因式分解得$(a-6)(a-10)=0$，解得$a_1=6$，$a_2=10$。
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，$a ＜ b+c=8$，故$a=10$不符合题意，舍去，
∴$BC=6$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；一元二次方程的应用
【点评】
本题解题的核心是正确分析图形得到阴影部分面积的表达式，结合勾股定理和完全平方公式进行代换，建立关于边长的方程求解，同时要注意结合三角形三边关系对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
6 新考法[2026北京朝阳区调研]若非零实数a,b,c满足$(a-2c)^2 +4c^2=2b(a-b)$，且有$P=b^2 -ac$，$Q=a^2 -bc$，$R=c^2 -ab$，则关于P,Q,R的大小关系正确的是（
A.$P＜Q＜R$
B.$R＜P＜Q$
C.$Q＜R＜P$
D.$P=Q=R$
B
）A.$P＜Q＜R$
B.$R＜P＜Q$
C.$Q＜R＜P$
D.$P=Q=R$
答案
B 【解析】原方程整理为$a^2-4ac+8c^2=2ab-2b^2$，将方程视为关于$a$的一元二次方程，即$a^2-(2b+4c)a+2b^2+8c^2=0$，则$(2b+4c)^2-4×1×(2b^2+8c^2)=-4(b-2c)^2≤0$。由题可知方程有解，故$b=2c$，此时方程的解为$a=4c$。设$c=k$，则$b=2k$，$a=4k$，$\therefore P=b^2-ac=(2k)^2-4k· k=0$，$Q=a^2-bc=(4k)^2-2k· k=14k^2$，$R=c^2-ab=k^2-4k·2k=-7k^2$，$\therefore R＜P＜Q$，故选B。
解析
【分析】
解题时先处理已知的等式，先将等式左右两边展开、移项整理，可将整理后的式子视为关于a的一元二次方程；因为a、b、c均为非零实数，说明该一元二次方程有实数根，因此根的判别式≥0；计算判别式发现其为平方的相反数，仅当判别式等于0时有解，由此可推出b与c的数量关系，代入方程进一步求出a与c的关系；最后设参数表示a、b、c，代入P、Q、R计算结果后比较大小即可。
【解析】
先展开整理已知等式：
左边$(a-2c)^2 +4c^2 = a^2 -4ac +4c^2 +4c^2 = a^2 -4ac +8c^2$，
右边$2b(a-b)=2ab-2b^2$，
移项得$a^2 -4ac +8c^2 -2ab +2b^2 = 0$，将其视为关于a的一元二次方程：
$a^2 - (2b+4c)a + 2b^2 +8c^2 = 0$。
因为a为实数，所以该方程的判别式$\Delta ≥ 0$，计算判别式：
$\Delta = (2b+4c)^2 - 4×1×(2b^2 +8c^2)$
$=4b^2 +16bc +16c^2 -8b^2 -32c^2$
$=-4b^2 +16bc -16c^2$
$=-4(b-2c)^2 ≤ 0$。
结合$\Delta ≥ 0$可得$\Delta =0$，即$b-2c=0$，$b=2c$。
将$b=2c$代入关于a的方程，得：
$a^2 - (4c+4c)a + 2×(2c)^2 +8c^2 = 0$，
化简得$a^2 -8ac +16c^2 =0$，即$(a-4c)^2=0$，解得$a=4c$。
设非零实数$c=k$（$k≠0$），则$b=2k$，$a=4k$，分别代入P、Q、R计算：
$P=b^2 -ac=(2k)^2 -4k· k=4k^2 -4k^2=0$，
$Q=a^2 -bc=(4k)^2 -2k· k=16k^2 -2k^2=14k^2$，
$R=c^2 -ab=k^2 -4k· 2k=k^2 -8k^2=-7k^2$。
因为$k≠0$，所以$k^2＞0$，因此$14k^2＞0＞-7k^2$，即$R＜P＜Q$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程判别式应用
2. 代数式化简求值
3. 实数大小比较
【点评】
本题是代数综合类题目，解题核心是通过对已知等式变形，结合一元二次方程判别式的性质推导a、b、c的数量关系，参数法的使用简化了后续代数式的计算，是代数式比较大小问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
解题时先处理已知的等式，先将等式左右两边展开、移项整理，可将整理后的式子视为关于a的一元二次方程；因为a、b、c均为非零实数，说明该一元二次方程有实数根，因此根的判别式≥0；计算判别式发现其为平方的相反数，仅当判别式等于0时有解，由此可推出b与c的数量关系，代入方程进一步求出a与c的关系；最后设参数表示a、b、c，代入P、Q、R计算结果后比较大小即可。
【解析】
先展开整理已知等式：
左边$(a-2c)^2 +4c^2 = a^2 -4ac +4c^2 +4c^2 = a^2 -4ac +8c^2$，
右边$2b(a-b)=2ab-2b^2$，
移项得$a^2 -4ac +8c^2 -2ab +2b^2 = 0$，将其视为关于a的一元二次方程：
$a^2 - (2b+4c)a + 2b^2 +8c^2 = 0$。
因为a为实数，所以该方程的判别式$\Delta ≥ 0$，计算判别式：
$\Delta = (2b+4c)^2 - 4×1×(2b^2 +8c^2)$
$=4b^2 +16bc +16c^2 -8b^2 -32c^2$
$=-4b^2 +16bc -16c^2$
$=-4(b-2c)^2 ≤ 0$。
结合$\Delta ≥ 0$可得$\Delta =0$，即$b-2c=0$，$b=2c$。
将$b=2c$代入关于a的方程，得：
$a^2 - (4c+4c)a + 2×(2c)^2 +8c^2 = 0$，
化简得$a^2 -8ac +16c^2 =0$，即$(a-4c)^2=0$，解得$a=4c$。
设非零实数$c=k$（$k≠0$），则$b=2k$，$a=4k$，分别代入P、Q、R计算：
$P=b^2 -ac=(2k)^2 -4k· k=4k^2 -4k^2=0$，
$Q=a^2 -bc=(4k)^2 -2k· k=16k^2 -2k^2=14k^2$，
$R=c^2 -ab=k^2 -4k· 2k=k^2 -8k^2=-7k^2$。
因为$k≠0$，所以$k^2＞0$，因此$14k^2＞0＞-7k^2$，即$R＜P＜Q$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程判别式应用
2. 代数式化简求值
3. 实数大小比较
【点评】
本题是代数综合类题目，解题核心是通过对已知等式变形，结合一元二次方程判别式的性质推导a、b、c的数量关系，参数法的使用简化了后续代数式的计算，是代数式比较大小问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
7 新考向开放性试题 [2025江苏镇江期中]已知整数$c$,使方程$x^2 - 2x + c = 0$无实数根,则$c$的值可以是
$2$(答案不唯一)
.答案
$2$(答案不唯一) 【解析】由题意得$(-2)^2-4×1× c＜0$，$\therefore c＞1$。又$\because c$为整数，$\therefore c$的值可以是2。故答案为2(答案不唯一)。
解析
【分析】
解题时首先明确题干给出的是一元二次方程且无实数根，由此联想到一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＜0时，方程没有实数根。第一步先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项的值，代入Δ＜0列出不等式，第二步解不等式得到c的取值范围，第三步结合c是整数的条件，任取一个范围内的整数即可。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2 - 2x + c = 0$无实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
将$a=1$，$b=-2$代入得：
$(-2)^2 - 4×1× c ＜ 0$，
计算得$4 - 4c ＜ 0$，
解得$c ＞ 1$，
又
∵ $c$为整数，
∴ $c$可取大于1的任意整数，例如2。
【答案】
$2$(答案不唯一)
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础开放性试题，考查对一元二次方程根的情况与判别式对应关系的应用，解题时注意不要遗漏$c$为整数的限制条件，掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干给出的是一元二次方程且无实数根，由此联想到一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＜0时，方程没有实数根。第一步先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项的值，代入Δ＜0列出不等式，第二步解不等式得到c的取值范围，第三步结合c是整数的条件，任取一个范围内的整数即可。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2 - 2x + c = 0$无实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
将$a=1$，$b=-2$代入得：
$(-2)^2 - 4×1× c ＜ 0$，
计算得$4 - 4c ＜ 0$，
解得$c ＞ 1$，
又
∵ $c$为整数，
∴ $c$可取大于1的任意整数，例如2。
【答案】
$2$(答案不唯一)
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础开放性试题，考查对一元二次方程根的情况与判别式对应关系的应用，解题时注意不要遗漏$c$为整数的限制条件，掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
8[2026江苏盐城期中]若方程$x^2 + 9x - 2 = 0$的一个根为$a$，则代数式$2a^2 + 18a - 5$的值为
$-1$
。答案
$-1$ 【解析】$\because a$是方程$x^2+9x-2=0$的一个根，$\therefore a^2+9a-2=0$，即$a^2+9a=2$。代数式$2a^2+18a-5=2(a^2+9a)-5=2×2-5=4-5=-1$。故答案为$-1$。
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，得到关于a的等式，整理可求出a²+9a的值；再观察所求代数式的结构，发现2a²+18a可提取公因式2，变形为2(a²+9a)，此时将a²+9a的值整体代入计算即可，无需单独求解a的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
∵a是方程$x^2+9x-2=0$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + 9a - 2 = 0$，
整理得：$a^2 + 9a = 2$。
对所求代数式变形可得：
$2a^2 + 18a - 5 = 2(a^2 + 9a) - 5$，
将$a^2 + 9a = 2$代入上式得：
原式$=2×2 - 5 = 4 - 5 = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，核心考查整体代换思想，无需计算方程根的具体值，只需利用方程根的性质得到对应整体的值代入即可，能有效降低运算量。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，得到关于a的等式，整理可求出a²+9a的值；再观察所求代数式的结构，发现2a²+18a可提取公因式2，变形为2(a²+9a)，此时将a²+9a的值整体代入计算即可，无需单独求解a的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
∵a是方程$x^2+9x-2=0$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + 9a - 2 = 0$，
整理得：$a^2 + 9a = 2$。
对所求代数式变形可得：
$2a^2 + 18a - 5 = 2(a^2 + 9a) - 5$，
将$a^2 + 9a = 2$代入上式得：
原式$=2×2 - 5 = 4 - 5 = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见基础题型，核心考查整体代换思想，无需计算方程根的具体值，只需利用方程根的性质得到对应整体的值代入即可，能有效降低运算量。
【难度系数】
0.8
9 [2026江苏扬州期中]已知实数$x,y$满足$(2x^2+2y^2+3)(2x^2+2y^2-5)=-7$,则$x^2+y^2$的值为
$2$
.答案
$2$ 【解析】设$2x^2+2y^2=z$，则原方程化为$(z+3)(z-5)=-7$，$\therefore z^2-5z+3z-15=-7$，$\therefore z^2-2z-8=0$，$\therefore (z-4)(z+2)=0$，解得$z_1=4$，$z_2=-2$。当$z_1=4$时，$2x^2+2y^2=4$，$\therefore x^2+y^2=2$；当$z_2=-2$时，$2x^2+2y^2=-2$，$\therefore x^2+y^2=-1＜0$，舍去。综上，$x^2+y^2=2$。故答案为2。
【易错警示】本题考查整体思想在解一元二次方程中的应用，易因忽略$x^2+y^2$始终大于等于0这一隐含条件而致错。
【易错警示】本题考查整体思想在解一元二次方程中的应用，易因忽略$x^2+y^2$始终大于等于0这一隐含条件而致错。
解析
【分析】
观察已知方程的结构，发现两个因式中均含有相同的整体$2x^2+2y^2$，直接展开计算较为繁琐，因此可采用换元法将方程简化为一元二次方程求解；另外需注意$x^2$和$y^2$均为非负数，因此$x^2+y^2≥0$，求解后需对结果进行合理性筛选，排除不符合条件的解。
【解析】
设$2x^2+2y^2=z$，则原方程可化为：
$(z+3)(z-5)=-7$
展开整理得：$z^2-2z-8=0$
因式分解得：$(z-4)(z+2)=0$
解得：$z_1=4$，$z_2=-2$
①当$z=4$时，$2x^2+2y^2=4$，两边同时除以2得$x^2+y^2=2$，符合非负性要求；
②当$z=-2$时，$2x^2+2y^2=-2$，即$x^2+y^2=-1$，不符合平方的非负性，舍去。
综上，$x^2+y^2$的值为2。
【答案】
$2$
【知识点】
换元法解方程；平方的非负性；一元二次方程的解法
【点评】
本题侧重考查整体思想的应用，通过换元可大幅简化计算过程，解题时需注意挖掘隐含的取值范围条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
观察已知方程的结构，发现两个因式中均含有相同的整体$2x^2+2y^2$，直接展开计算较为繁琐，因此可采用换元法将方程简化为一元二次方程求解；另外需注意$x^2$和$y^2$均为非负数，因此$x^2+y^2≥0$，求解后需对结果进行合理性筛选，排除不符合条件的解。
【解析】
设$2x^2+2y^2=z$，则原方程可化为：
$(z+3)(z-5)=-7$
展开整理得：$z^2-2z-8=0$
因式分解得：$(z-4)(z+2)=0$
解得：$z_1=4$，$z_2=-2$
①当$z=4$时，$2x^2+2y^2=4$，两边同时除以2得$x^2+y^2=2$，符合非负性要求；
②当$z=-2$时，$2x^2+2y^2=-2$，即$x^2+y^2=-1$，不符合平方的非负性，舍去。
综上，$x^2+y^2$的值为2。
【答案】
$2$
【知识点】
换元法解方程；平方的非负性；一元二次方程的解法
【点评】
本题侧重考查整体思想的应用，通过换元可大幅简化计算过程，解题时需注意挖掘隐含的取值范围条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
10 已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是
$84$
。答案
【思路分析】一元二次方程中的数字问题
两位数=十位上的数字$×10+$个位上的数字
设$x$
个位上的数字的平方 + 十位上的数字的平方 = 两位数$-4$
列出方程$\rightarrow$解$\rightarrow$验
【解析】设这个两位数的个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$x+4$。根据题意，得$x^2+(x+4)^2=[10(x+4)+x]-4$。整理，得$2x^2-3x-20=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-2.5$。又$\because x$为非负整数，$\therefore x=4$，$\therefore 10(x+4)+x=10×(4+4)+4=84$。故答案为84。
两位数=十位上的数字$×10+$个位上的数字
设$x$
个位上的数字的平方 + 十位上的数字的平方 = 两位数$-4$
列出方程$\rightarrow$解$\rightarrow$验
【解析】设这个两位数的个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$x+4$。根据题意，得$x^2+(x+4)^2=[10(x+4)+x]-4$。整理，得$2x^2-3x-20=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-2.5$。又$\because x$为非负整数，$\therefore x=4$，$\therefore 10(x+4)+x=10×(4+4)+4=84$。故答案为84。
解析
【分析】
这是一道一元二次方程在数字问题中的应用题，解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。第一步根据“个位数字比十位数字小4”的数量关系设未知数，可设个位数字为$x$，则十位数字为$x+4$；第二步根据“个位与十位数字的平方和比这个两位数小4”的等量关系列方程；第三步解方程后，注意数位上的数字只能是0~9的非负整数，要舍去不符合实际意义的解；最后代入两位数的表达式计算即可得到结果。
【解析】
设这个两位数的个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$x+4$。
根据题意列方程：
$x^2+(x+4)^2 = [10(x+4)+x] - 4$
整理得：
$2x^2-3x-20=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-2.5$。
因为个位数字为非负整数，故舍去$x_2=-2.5$，取$x=4$。
则十位数字为$4+4=8$，这个两位数为$10×8 + 4=84$。
【答案】
84
【知识点】
一元二次方程应用；两位数的表示；解的合理性检验
【点评】
本题是典型的方程应用类基础题，解题核心是掌握数字的正确表示方法，找准等量关系列方程，易错点是忽略数位数字的取值范围，忘记舍去不符合实际意义的解，解题时养成验根的习惯即可避免失误。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程在数字问题中的应用题，解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。第一步根据“个位数字比十位数字小4”的数量关系设未知数，可设个位数字为$x$，则十位数字为$x+4$；第二步根据“个位与十位数字的平方和比这个两位数小4”的等量关系列方程；第三步解方程后，注意数位上的数字只能是0~9的非负整数，要舍去不符合实际意义的解；最后代入两位数的表达式计算即可得到结果。
【解析】
设这个两位数的个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$x+4$。
根据题意列方程：
$x^2+(x+4)^2 = [10(x+4)+x] - 4$
整理得：
$2x^2-3x-20=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-2.5$。
因为个位数字为非负整数，故舍去$x_2=-2.5$，取$x=4$。
则十位数字为$4+4=8$，这个两位数为$10×8 + 4=84$。
【答案】
84
【知识点】
一元二次方程应用；两位数的表示；解的合理性检验
【点评】
本题是典型的方程应用类基础题，解题核心是掌握数字的正确表示方法，找准等量关系列方程，易错点是忽略数位数字的取值范围，忘记舍去不符合实际意义的解，解题时养成验根的习惯即可避免失误。
【难度系数】
0.7
11 [2025 江苏扬州期末]已知实数$x$满足$x^2+\frac{1}{x^2}-3(x+\frac{1}{x})+4=0$，则$x+\frac{1}{x}$的值为
$2$
。答案
$2$ 【解析】$\because x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，$\therefore$ 原方程可化为$(x+\frac{1}{x})^2-3(x+\frac{1}{x})+2=0$。设$y=x+\frac{1}{x}$，则方程变形为$y^2-3y+2=0$，解得$y=1$或$y=2$。当$y=1$时，$x+\frac{1}{x}=1$，即$x^2-x+1=0$。$\because (-1)^2-4×1×1=-3＜0$，$\therefore$ 该方程无实数根。当$y=2$时，$x+\frac{1}{x}=2$，即$x^2-2x+1=0$，解得$x_1=x_2=1$。经检验，$x=1$是方程$x+\frac{1}{x}=2$的根，$\therefore x+\frac{1}{x}=2$。
解析
【分析】
观察方程结构，发现式子中同时出现$x^2+\frac{1}{x^2}$和$x+\frac{1}{x}$，根据完全平方公式的变形关系$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，可采用换元法，设$y=x+\frac{1}{x}$，将原复杂分式方程转化为关于$y$的一元二次方程求解，求出$y$的解后需检验对应$x$是否存在实数根，排除增根后得到最终结果。
【解析】
$\because x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，
$\therefore$ 代入原方程可化简为：$(x+\frac{1}{x})^2-2-3(x+\frac{1}{x})+4=0$，
整理得：$(x+\frac{1}{x})^2-3(x+\frac{1}{x})+2=0$。
设$y=x+\frac{1}{x}$，则方程变形为$y^2-3y+2=0$，
因式分解得$(y-1)(y-2)=0$，解得$y=1$或$y=2$。
当$y=1$时，$x+\frac{1}{x}=1$，去分母得$x^2-x+1=0$，
$\because \Delta = (-1)^2-4×1×1=-3＜0$，该方程无实数根，故舍去$y=1$；
当$y=2$时，$x+\frac{1}{x}=2$，去分母得$x^2-2x+1=0$，解得$x_1=x_2=1$，
经检验，$x=1$是原方程的根，符合题意。
【答案】
$2$
【知识点】
换元法解方程、完全平方公式、根的判别式应用
【点评】
本题是分式方程化简求解的典型题型，核心是通过换元法简化高次、分式结构的方程，解题时要注意对换元后得到的解进行有效性验证，避免遗漏无实根的增根情况。
【难度系数】
0.6
观察方程结构，发现式子中同时出现$x^2+\frac{1}{x^2}$和$x+\frac{1}{x}$，根据完全平方公式的变形关系$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，可采用换元法，设$y=x+\frac{1}{x}$，将原复杂分式方程转化为关于$y$的一元二次方程求解，求出$y$的解后需检验对应$x$是否存在实数根，排除增根后得到最终结果。
【解析】
$\because x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，
$\therefore$ 代入原方程可化简为：$(x+\frac{1}{x})^2-2-3(x+\frac{1}{x})+4=0$，
整理得：$(x+\frac{1}{x})^2-3(x+\frac{1}{x})+2=0$。
设$y=x+\frac{1}{x}$，则方程变形为$y^2-3y+2=0$，
因式分解得$(y-1)(y-2)=0$，解得$y=1$或$y=2$。
当$y=1$时，$x+\frac{1}{x}=1$，去分母得$x^2-x+1=0$，
$\because \Delta = (-1)^2-4×1×1=-3＜0$，该方程无实数根，故舍去$y=1$；
当$y=2$时，$x+\frac{1}{x}=2$，去分母得$x^2-2x+1=0$，解得$x_1=x_2=1$，
经检验，$x=1$是原方程的根，符合题意。
【答案】
$2$
【知识点】
换元法解方程、完全平方公式、根的判别式应用
【点评】
本题是分式方程化简求解的典型题型，核心是通过换元法简化高次、分式结构的方程，解题时要注意对换元后得到的解进行有效性验证，避免遗漏无实根的增根情况。
【难度系数】
0.6
12[2025辽宁朝阳调研]如图,菱形ABCD中,AC,BD交于O,AC=8,BD=6,动点M从A出发沿AC方向以每秒2个单位长度的速度运动到C,动点N从B出发沿BD方向以每秒1个单位长度的速度运动到D.若M,N同时出发,则出发
$1$或$4$
秒后,△MON的面积为菱形ABCD面积的$\frac{1}{12}$.答案
$1$或$4$ 【解析】设出发$x$秒后，$S_{△ MON}=\frac{1}{12}S_{菱形ABCD}$。$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$AC=8$，$BD=6$，$\therefore OA=4$，$OB=3$，$AC⊥ BD$，$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×8×6=24$，$\therefore S_{△ MON}=\frac{1}{12}S_{菱形ABCD}=2$。当$0＜x＜2$时，点$M$在线段$AO$上，点$N$在线段$BO$上，此时$OM=OA-AM=4-2x$，$ON=OB-BN=3-x$，则$\frac{1}{2}(4-2x)(3-x)=2$，解得$x=1$或$x=4$(舍去)。当$2＜x＜3$时，点$M$在线段$OC$上，点$N$在线段$BO$上，此时$OM=AM-OA=2x-4$，$ON=OB-BN=3-x$，则$\frac{1}{2}(2x-4)(3-x)=2$，化简为$x^2-5x+8=0$，此时$(-5)^2-4×1×8=-7＜0$，$\therefore$ 原方程无实数根，舍去。当$3＜x≤4$时，点$M$在线段$OC$上，点$N$在线段$OD$上，此时$OM=AM-OA=2x-4$，$ON=BN-OB=x-3$，则$\frac{1}{2}(2x-4)(x-3)=2$，解得$x=1$(舍去)或$x=4$。综上所述，出发1秒或4秒后，$S_{△ MON}=\frac{1}{12}S_{菱形ABCD}$。故答案为1或4。
【思路分析】根据点$M,N$在运动过程中的不同位置，分当$0＜x＜2$时，当$2＜x＜3$时和当$3＜x≤4$时三种情况讨论。
【思路分析】根据点$M,N$在运动过程中的不同位置，分当$0＜x＜2$时，当$2＜x＜3$时和当$3＜x≤4$时三种情况讨论。
解析
【分析】
首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质求出菱形总面积，进而得到△MON的目标面积；由于动点M、N在运动过程中所处的线段会发生变化，因此需要按位置分三类讨论：①0＜x＜2时，M在AO段、N在BO段；②2＜x＜3时，M在OC段、N在BO段；③3＜x≤4时，M在OC段、N在OD段。每类情况用含时间x的代数式表示出直角边OM、ON的长度，结合直角三角形面积公式列一元二次方程求解，最后检验解是否符合对应区间的取值范围，舍去不合理解即可。
【解析】
设出发$x$秒后，$S_{△ MON}=\frac{1}{12}S_{菱形ABCD}$。
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$AC=8$，$BD=6$，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC=4$，$OB=\frac{1}{2}BD=3$，$AC⊥ BD$，
$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×8×6=24$，
$\therefore S_{△ MON}=\frac{1}{12}×24=2$。
分三种情况讨论：
1. 当$0＜x＜2$时，点$M$在线段$AO$上，点$N$在线段$BO$上，
此时$OM=OA-AM=4-2x$，$ON=OB-BN=3-x$，
列方程得：$\frac{1}{2}(4-2x)(3-x)=2$，
解得$x=1$或$x=4$（不符合$0＜x＜2$，舍去）；
2. 当$2＜x＜3$时，点$M$在线段$OC$上，点$N$在线段$BO$上，
此时$OM=AM-OA=2x-4$，$ON=OB-BN=3-x$，
列方程得：$\frac{1}{2}(2x-4)(3-x)=2$，
化简得$x^2-5x+8=0$，
$\because \Delta=(-5)^2-4×1×8=-7＜0$，$\therefore$ 此方程无实数根；
3. 当$3＜x≤4$时，点$M$在线段$OC$上，点$N$在线段$OD$上，
此时$OM=AM-OA=2x-4$，$ON=BN-OB=x-3$，
列方程得：$\frac{1}{2}(2x-4)(x-3)=2$，
解得$x=4$或$x=1$（不符合$3＜x≤4$，舍去）。
综上，符合条件的$x$为1或4。
【答案】
$1$或$4$
【知识点】
菱形的性质；动点面积计算；一元二次方程的应用
【点评】
本题是菱形性质与动点问题结合的典型题型，解题核心是根据动点的位置变化合理分类讨论，求解方程后要注意验证解是否对应所属时间段的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质求出菱形总面积，进而得到△MON的目标面积；由于动点M、N在运动过程中所处的线段会发生变化，因此需要按位置分三类讨论：①0＜x＜2时，M在AO段、N在BO段；②2＜x＜3时，M在OC段、N在BO段；③3＜x≤4时，M在OC段、N在OD段。每类情况用含时间x的代数式表示出直角边OM、ON的长度，结合直角三角形面积公式列一元二次方程求解，最后检验解是否符合对应区间的取值范围，舍去不合理解即可。
【解析】
设出发$x$秒后，$S_{△ MON}=\frac{1}{12}S_{菱形ABCD}$。
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$AC=8$，$BD=6$，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC=4$，$OB=\frac{1}{2}BD=3$，$AC⊥ BD$，
$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×8×6=24$，
$\therefore S_{△ MON}=\frac{1}{12}×24=2$。
分三种情况讨论：
1. 当$0＜x＜2$时，点$M$在线段$AO$上，点$N$在线段$BO$上，
此时$OM=OA-AM=4-2x$，$ON=OB-BN=3-x$，
列方程得：$\frac{1}{2}(4-2x)(3-x)=2$，
解得$x=1$或$x=4$（不符合$0＜x＜2$，舍去）；
2. 当$2＜x＜3$时，点$M$在线段$OC$上，点$N$在线段$BO$上，
此时$OM=AM-OA=2x-4$，$ON=OB-BN=3-x$，
列方程得：$\frac{1}{2}(2x-4)(3-x)=2$，
化简得$x^2-5x+8=0$，
$\because \Delta=(-5)^2-4×1×8=-7＜0$，$\therefore$ 此方程无实数根；
3. 当$3＜x≤4$时，点$M$在线段$OC$上，点$N$在线段$OD$上，
此时$OM=AM-OA=2x-4$，$ON=BN-OB=x-3$，
列方程得：$\frac{1}{2}(2x-4)(x-3)=2$，
解得$x=4$或$x=1$（不符合$3＜x≤4$，舍去）。
综上，符合条件的$x$为1或4。
【答案】
$1$或$4$
【知识点】
菱形的性质；动点面积计算；一元二次方程的应用
【点评】
本题是菱形性质与动点问题结合的典型题型，解题核心是根据动点的位置变化合理分类讨论，求解方程后要注意验证解是否对应所属时间段的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
