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三、解答题(共52分)
13 解方程：
(1) $x^2 - 6x + 7 = 0$.
(2) $x(x - 2) = 3x - 6$.
(3) $(2x + 3)(x - 6) = 16$（用配方法）.
13 解方程：
(1) $x^2 - 6x + 7 = 0$.
(2) $x(x - 2) = 3x - 6$.
(3) $(2x + 3)(x - 6) = 16$（用配方法）.
答案
(1)$\because a=1,b=-6,c=7$，$b^2-4ac=36-28=8＞0$，$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{6\pm2\sqrt{2}}{2}=3\pm\sqrt{2}$，$\therefore x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}$。
(2)方程整理，得$x(x-2)=3(x-2)$。移项，得$x(x-2)-3(x-2)=0$。分解因式，得$(x-3)(x-2)=0$。可得$x-3=0$或$x-2=0$，解得$x_1=3,x_2=2$。
(3)$(2x+3)(x-6)=16$，$2x^2-12x+3x-18=16$，$2x^2-9x=34$，$x^2-\frac{9}{2}x=17$，$x^2-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=17+\frac{81}{16}$，$(x-\frac{9}{4})^2=\frac{353}{16}$，$x-\frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$，$\therefore x_1=\frac{9+\sqrt{353}}{4}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$。
(2)方程整理，得$x(x-2)=3(x-2)$。移项，得$x(x-2)-3(x-2)=0$。分解因式，得$(x-3)(x-2)=0$。可得$x-3=0$或$x-2=0$，解得$x_1=3,x_2=2$。
(3)$(2x+3)(x-6)=16$，$2x^2-12x+3x-18=16$，$2x^2-9x=34$，$x^2-\frac{9}{2}x=17$，$x^2-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=17+\frac{81}{16}$，$(x-\frac{9}{4})^2=\frac{353}{16}$，$x-\frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$，$\therefore x_1=\frac{9+\sqrt{353}}{4}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，需根据各方程的特征选择合适的解法：
(1) 方程为一元二次方程的一般形式，且不易因式分解，优先选用公式法：先确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解；
(2) 方程左右两边都有公因式$(x-2)$，选用因式分解法更简便：先移项将右边整体移到左边，再提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而求解；
(3) 题目指定用配方法，需先展开整理为一元二次方程的一般形式，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开方求解。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 6x + 7 = 0$，
$\because a=1,b=-6,c=7$，
$\therefore b^2-4ac=(-6)^2-4×1×7=36-28=8＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{6\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{6\pm2\sqrt{2}}{2}=3\pm\sqrt{2}$。
(2) 整理方程$x(x - 2) = 3x - 6$，得$x(x-2)=3(x-2)$，
移项，得$x(x-2)-3(x-2)=0$，
分解因式，得$(x-3)(x-2)=0$，
$\therefore x-3=0$或$x-2=0$。
(3) 用配方法解$(2x + 3)(x - 6) = 16$：
展开整理得$2x^2-12x+3x-18=16$，
合并同类项、移项得$2x^2-9x=34$，
二次项系数化为1得$x^2-\frac{9}{2}x=17$，
配方，两边同时加$\frac{81}{16}$得$x^2-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=17+\frac{81}{16}$，
即$(x-\frac{9}{4})^2=\frac{353}{16}$，
开方得$x-\frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}$；
(2)$x_1=3,x_2=2$；
(3)$x_1=\frac{9+\sqrt{353}}{4},x_2=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，配方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练，解题时可根据方程特征灵活选择解法简化计算；使用配方法时要注意先将二次项系数化为1再配方，计算常数项时要细心避免出错。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程的求解，需根据各方程的特征选择合适的解法：
(1) 方程为一元二次方程的一般形式，且不易因式分解，优先选用公式法：先确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解；
(2) 方程左右两边都有公因式$(x-2)$，选用因式分解法更简便：先移项将右边整体移到左边，再提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而求解；
(3) 题目指定用配方法，需先展开整理为一元二次方程的一般形式，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后开方求解。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 6x + 7 = 0$，
$\because a=1,b=-6,c=7$，
$\therefore b^2-4ac=(-6)^2-4×1×7=36-28=8＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{6\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{6\pm2\sqrt{2}}{2}=3\pm\sqrt{2}$。
(2) 整理方程$x(x - 2) = 3x - 6$，得$x(x-2)=3(x-2)$，
移项，得$x(x-2)-3(x-2)=0$，
分解因式，得$(x-3)(x-2)=0$，
$\therefore x-3=0$或$x-2=0$。
(3) 用配方法解$(2x + 3)(x - 6) = 16$：
展开整理得$2x^2-12x+3x-18=16$，
合并同类项、移项得$2x^2-9x=34$，
二次项系数化为1得$x^2-\frac{9}{2}x=17$，
配方，两边同时加$\frac{81}{16}$得$x^2-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=17+\frac{81}{16}$，
即$(x-\frac{9}{4})^2=\frac{353}{16}$，
开方得$x-\frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}$；
(2)$x_1=3,x_2=2$；
(3)$x_1=\frac{9+\sqrt{353}}{4},x_2=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，配方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练，解题时可根据方程特征灵活选择解法简化计算；使用配方法时要注意先将二次项系数化为1再配方，计算常数项时要细心避免出错。
【难度系数】
0.7
14 新素材[2026江苏徐州期中]江苏省城市足球联赛(苏超)自举办以来，迅速被多地效仿，形成全国性民间足球热潮.某地有若干支球队参加足球比赛,每两队之间比赛一场,共比赛了45场,问该地有多少支球队?
答案
【解】设该地有$x$支球队。$\because$ 每两队之间比赛一场，$\therefore$ 每支足球队都要和其他的$(x-1)$支足球队进行一场比赛，$\therefore x$支足球队共需要举行$\frac{x(x-1)}{2}$场比赛。$\because$ 共比赛了45场，$\therefore \frac{x(x-1)}{2}=45$，解得$x=10$或$x=-9$(舍去)。
答：该地有10支球队。
答：该地有10支球队。
解析
【分析】
这是一道结合生活情境的一元二次方程应用问题，解题思路如下：第一步先明确比赛规则为单循环赛制（每两队仅赛1场），设球队数量为x；第二步推导总场次公式：每支球队需和其余(x-1)支球队各赛1场，直接相乘会重复计算每场比赛，因此实际总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$；第三步以题目给出的总比赛场数45为等量关系列方程；第四步解方程后，结合球队数量为正整数的实际要求舍去不符合的根，得到最终结果。
【解析】
设该地有$x$支球队。
$\because$ 每两队之间比赛一场，$\therefore$ 每支足球队都要和其他的$(x-1)$支足球队进行一场比赛，$\therefore x$支足球队共需要举行$\frac{x(x-1)}{2}$场比赛。
$\because$ 共比赛了45场，$\therefore \frac{x(x-1)}{2}=45$，
解得$x=10$或$x=-9$，球队数量不能为负数，故舍去$x=-9$。
【答案】
该地有10支球队。
【知识点】
一元二次方程应用；单循环场次计算；实际问题验根
【点评】
本题属于方程类基础应用题，核心考查学生将实际问题转化为数学方程的能力，易错点是计算总场次时忘记除以2导致重复计数，以及忽略实际意义直接保留负根。
【难度系数】
0.8
这是一道结合生活情境的一元二次方程应用问题，解题思路如下：第一步先明确比赛规则为单循环赛制（每两队仅赛1场），设球队数量为x；第二步推导总场次公式：每支球队需和其余(x-1)支球队各赛1场，直接相乘会重复计算每场比赛，因此实际总场次为$\frac{x(x-1)}{2}$；第三步以题目给出的总比赛场数45为等量关系列方程；第四步解方程后，结合球队数量为正整数的实际要求舍去不符合的根，得到最终结果。
【解析】
设该地有$x$支球队。
$\because$ 每两队之间比赛一场，$\therefore$ 每支足球队都要和其他的$(x-1)$支足球队进行一场比赛，$\therefore x$支足球队共需要举行$\frac{x(x-1)}{2}$场比赛。
$\because$ 共比赛了45场，$\therefore \frac{x(x-1)}{2}=45$，
解得$x=10$或$x=-9$，球队数量不能为负数，故舍去$x=-9$。
【答案】
该地有10支球队。
【知识点】
一元二次方程应用；单循环场次计算；实际问题验根
【点评】
本题属于方程类基础应用题，核心考查学生将实际问题转化为数学方程的能力，易错点是计算总场次时忘记除以2导致重复计数，以及忽略实际意义直接保留负根。
【难度系数】
0.8
15[2025江苏南京期末]已知关于x的方程$(m^2 -1)x^2 -3(3m -1)x +18=0$有两个正整数根(m是整数)，$△ ABC$的三边a,b,c满足c=$2\sqrt{3}$，$m^2 +a^2m -8a=0$，$m^2 +b^2m -8b=0$.
(1)求m的值.
(2)求$△ ABC$的面积(结果允许保留双重根号).
(1)求m的值.
(2)求$△ ABC$的面积(结果允许保留双重根号).
答案
【思路分析】
(1)先用$m$表示方程的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出$m$的值。
(2)将(1)中得出的$m$的值代入$m^2+a^2m-8a=0$，$m^2+b^2m-8b=0$，并进行化简，然后再分情况讨论，根据三角形三边的关系来确定符合条件的$a,b$的值，最后用三角形的面积公式求出三角形的面积。
(1)$\because$ 关于$x$的方程有两个正整数根，$\therefore m^2-1≠0$，$\therefore m≠\pm1$。解方程$(m^2-1)x^2-3(3m-1)x+18=0$，得$x_1=\frac{6}{m+1}$，$x_2=\frac{3}{m-1}$，$\therefore \begin{cases}m+1=1,2,3,6,\\m-1=1,3,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}m=0,1,2,5,\\m=2,4,\end{cases}$ $\therefore m=2$。
(2)将$m=2$代入两等式，化简得$a^2-4a+2=0$，$b^2-4b+2=0$。当$a=b$时，$a=b=2\pm\sqrt{2}$。当$a≠ b$时，$a,b$是方程$x^2-4x+2=0$的两根，显然$b^2-4ac＞0$，$\therefore a+b=4＞0$，$ab=2＞0$，$\therefore a＞0,b＞0$，符合题意。分三种情况：
①当$a≠ b$，$c=2\sqrt{3}$时，$\because a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2×2=12=c^2$，$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$c$为斜边长，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=1$。
②当$a=b=2-\sqrt{2}$，$c=2\sqrt{3}$时，$\because a+b＜c$，$\therefore$ 不能构成三角形，不合题意，故舍去。
③当$a=b=2+\sqrt{2}$，$c=2\sqrt{3}$时，$\because a+b＞c$，$\therefore$ 能构成三角形，符合题意。易得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{(2+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
综上，$△ ABC$的面积为$1$或$\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
(1)先用$m$表示方程的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出$m$的值。
(2)将(1)中得出的$m$的值代入$m^2+a^2m-8a=0$，$m^2+b^2m-8b=0$，并进行化简，然后再分情况讨论，根据三角形三边的关系来确定符合条件的$a,b$的值，最后用三角形的面积公式求出三角形的面积。
(1)$\because$ 关于$x$的方程有两个正整数根，$\therefore m^2-1≠0$，$\therefore m≠\pm1$。解方程$(m^2-1)x^2-3(3m-1)x+18=0$，得$x_1=\frac{6}{m+1}$，$x_2=\frac{3}{m-1}$，$\therefore \begin{cases}m+1=1,2,3,6,\\m-1=1,3,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}m=0,1,2,5,\\m=2,4,\end{cases}$ $\therefore m=2$。
(2)将$m=2$代入两等式，化简得$a^2-4a+2=0$，$b^2-4b+2=0$。当$a=b$时，$a=b=2\pm\sqrt{2}$。当$a≠ b$时，$a,b$是方程$x^2-4x+2=0$的两根，显然$b^2-4ac＞0$，$\therefore a+b=4＞0$，$ab=2＞0$，$\therefore a＞0,b＞0$，符合题意。分三种情况：
①当$a≠ b$，$c=2\sqrt{3}$时，$\because a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2×2=12=c^2$，$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$c$为斜边长，$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=1$。
②当$a=b=2-\sqrt{2}$，$c=2\sqrt{3}$时，$\because a+b＜c$，$\therefore$ 不能构成三角形，不合题意，故舍去。
③当$a=b=2+\sqrt{2}$，$c=2\sqrt{3}$时，$\because a+b＞c$，$\therefore$ 能构成三角形，符合题意。易得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{(2+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
综上，$△ ABC$的面积为$1$或$\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
解析
【分析】
(1) 要确定m的值，首先方程有两个正整数根，说明该方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，先解该一元二次方程，用含m的式子表示两个根，结合根是正整数、m是整数的条件，可得m+1是6的正约数，m-1是3的正约数，即可求出公共的整数m。
(2) 将求出的m值代入关于a、b的两个等式，可发现a、b要么相等，要么是同一个一元二次方程的两个不等实根，分三种情况讨论：①a≠b，②a=b且取较小根，③a=b且取较大根；先根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，对符合条件的情况再用对应的面积公式计算面积即可。
【解析】
(1)
∵ 关于x的方程有两个正整数根，
∴ 该方程为一元二次方程，即$m^2-1≠0$，得$m≠±1$。
解方程$(m^2 -1)x^2 -3(3m -1)x +18=0$，可得两个根为：
$x_1=\frac{6}{m+1}$，$x_2=\frac{3}{m-1}$
∵ $x_1、x_2$均为正整数，m为整数
∴ m+1是6的正约数，即$m+1$可取1、2、3、6，对应$m=0、1、2、5$；
同时m-1是3的正约数，即$m-1$可取1、3，对应$m=2、4$；
取公共整数解，得$m=2$。
(2) 将$m=2$代入$m^2 +a^2m -8a=0$和$m^2 +b^2m -8b=0$，化简得：
$a^2-4a+2=0$，$b^2-4b+2=0$
分情况讨论：
① 当$a≠b$时，a、b是方程$x^2-4x+2=0$的两个不等实根，由韦达定理得$a+b=4$，$ab=2$。
此时$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2×2=12$，又
∵ $c^2=(2\sqrt{3})^2=12$，即$a^2+b^2=c^2$，
∴ △ABC是直角三角形，c为斜边，面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×2=1$。
② 当$a=b$时，解方程$x^2-4a+2=0$得$x=2±\sqrt{2}$。
若$a=b=2-\sqrt{2}$，则$a+b=2×(2-\sqrt{2})=4-2\sqrt{2}＜2\sqrt{3}$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
若$a=b=2+\sqrt{2}$，则$a+b=4+2\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，可构成等腰三角形。底边上的高$h=\sqrt{a^2-(\frac{c}{2})^2}=\sqrt{(2+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{3+4\sqrt{2}}$，面积$S=\frac{1}{2}×c×h=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{3+4\sqrt{2}}=\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
综上，△ABC的面积为1或$\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
【答案】
(1) $m=2$；(2) 面积为$1$或$\sqrt{9+12\sqrt{2}}$
【知识点】
一元二次方程整数根求解，三角形三边关系，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关应用与三角形的性质，解题时需注意先根据方程根的性质限定参数的取值范围，后续讨论三角形情况时要先验证三边关系，避免出现不符合实际的解，同时分类讨论时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.4
(1) 要确定m的值，首先方程有两个正整数根，说明该方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，先解该一元二次方程，用含m的式子表示两个根，结合根是正整数、m是整数的条件，可得m+1是6的正约数，m-1是3的正约数，即可求出公共的整数m。
(2) 将求出的m值代入关于a、b的两个等式，可发现a、b要么相等，要么是同一个一元二次方程的两个不等实根，分三种情况讨论：①a≠b，②a=b且取较小根，③a=b且取较大根；先根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，对符合条件的情况再用对应的面积公式计算面积即可。
【解析】
(1)
∵ 关于x的方程有两个正整数根，
∴ 该方程为一元二次方程，即$m^2-1≠0$，得$m≠±1$。
解方程$(m^2 -1)x^2 -3(3m -1)x +18=0$，可得两个根为：
$x_1=\frac{6}{m+1}$，$x_2=\frac{3}{m-1}$
∵ $x_1、x_2$均为正整数，m为整数
∴ m+1是6的正约数，即$m+1$可取1、2、3、6，对应$m=0、1、2、5$；
同时m-1是3的正约数，即$m-1$可取1、3，对应$m=2、4$；
取公共整数解，得$m=2$。
(2) 将$m=2$代入$m^2 +a^2m -8a=0$和$m^2 +b^2m -8b=0$，化简得：
$a^2-4a+2=0$，$b^2-4b+2=0$
分情况讨论：
① 当$a≠b$时，a、b是方程$x^2-4x+2=0$的两个不等实根，由韦达定理得$a+b=4$，$ab=2$。
此时$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4^2-2×2=12$，又
∵ $c^2=(2\sqrt{3})^2=12$，即$a^2+b^2=c^2$，
∴ △ABC是直角三角形，c为斜边，面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×2=1$。
② 当$a=b$时，解方程$x^2-4a+2=0$得$x=2±\sqrt{2}$。
若$a=b=2-\sqrt{2}$，则$a+b=2×(2-\sqrt{2})=4-2\sqrt{2}＜2\sqrt{3}$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
若$a=b=2+\sqrt{2}$，则$a+b=4+2\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，可构成等腰三角形。底边上的高$h=\sqrt{a^2-(\frac{c}{2})^2}=\sqrt{(2+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{3+4\sqrt{2}}$，面积$S=\frac{1}{2}×c×h=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{3+4\sqrt{2}}=\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
综上，△ABC的面积为1或$\sqrt{9+12\sqrt{2}}$。
【答案】
(1) $m=2$；(2) 面积为$1$或$\sqrt{9+12\sqrt{2}}$
【知识点】
一元二次方程整数根求解，三角形三边关系，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关应用与三角形的性质，解题时需注意先根据方程根的性质限定参数的取值范围，后续讨论三角形情况时要先验证三边关系，避免出现不符合实际的解，同时分类讨论时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.4
16[2025江苏南京期中,较难]一元二次方程的根有三种情况,分别是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根以及没有实数根.基于上述认识,我们继续探索“$M · N = 0$”型的方程($M,N$都是只含$x$的整式)的根的情况.
(1)当$M = x^2 + 2x - 3$,$N = x - 1$时,该类型方程的根的情况是 (
A. 有三个实数根,它们各不相等
B. 有三个实数根,有且只有两个根相等
C. 有三个实数根,它们都相等
D. 没有实数根
(2)下列“$M · N = 0$”型的方程中:
①$(x^2 - 2x + 1)(2x^2 - 4x + 2) = 0$;
②$(x^2 - 4x + 4)(x^2 - 6x + 9) = 0$;
③$(x^2 + 4x)(x^2 - 4x) = 0$;
④$(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 8x + 15) = 0$;
⑤$(x^2 - 36)(x^2 - 12x + 36) = 0$.
至少有两个相等的实数根的方程是
(3)当$M = x^2 + 3x + c$,$N = x^2 - 3x + c$($c$是常数)时,请写出“$M · N = 0$”型方程的根的情况及对应的$c$的取值范围.
(1)当$M = x^2 + 2x - 3$,$N = x - 1$时,该类型方程的根的情况是 (
B
)A. 有三个实数根,它们各不相等
B. 有三个实数根,有且只有两个根相等
C. 有三个实数根,它们都相等
D. 没有实数根
(2)下列“$M · N = 0$”型的方程中:
①$(x^2 - 2x + 1)(2x^2 - 4x + 2) = 0$;
②$(x^2 - 4x + 4)(x^2 - 6x + 9) = 0$;
③$(x^2 + 4x)(x^2 - 4x) = 0$;
④$(x^2 + 3x + 2)(x^2 + 8x + 15) = 0$;
⑤$(x^2 - 36)(x^2 - 12x + 36) = 0$.
至少有两个相等的实数根的方程是
①②⑤
(填序号).(3)当$M = x^2 + 3x + c$,$N = x^2 - 3x + c$($c$是常数)时,请写出“$M · N = 0$”型方程的根的情况及对应的$c$的取值范围.
答案
(1)B 【解析】$\because M· N=(x^2+2x-3)(x-1)=(x+3)·(x-1)^2=0$，$\therefore x+3=0$或$(x-1)^2=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=x_3=1$，$\therefore$ 该方程有三个实数根，有且只有两个根相等，故选B。
(2)①②⑤
【解析】①$(x^2-2x+1)(2x^2-4x+2)=0$即$2(x-1)^4=0$，根为$x_1=x_2=x_3=x_4=1$，有相等的实数根；
②$(x^2-4x+4)(x^2-6x+9)=0$即$(x-2)^2(x-3)^2=0$，根为$x_1=x_2=2$，$x_3=x_4=3$，有相等的实数根；
③$(x^2+4x)(x^2-4x)=0$即$x(x+4)x(x-4)=0$，根为$x_1=0$，$x_2=-4$，$x_3=0$，$x_4=4$，四个根互不相等，没有相等的实数根；
④$(x^2+3x+2)(x^2+8x+15)=0$即$(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)=0$，根为$x_1=-1$，$x_2=-2$，$x_3=-3$，$x_4=-5$，四个根互不相等，没有相等的实数根；
⑤$(x^2-36)(x^2-12x+36)=0$即$(x+6)(x-6)^2=0$，根为$x_1=-6$，$x_2=x_3=6$，有相等的实数根。
故至少有两个相等的实数根的方程是①②⑤。
(3)方程$M· N=0$即$(x^2+3x+c)(x^2-3x+c)=0$，也就是$x^2+3x+c=0$或$x^2-3x+c=0$。
对于方程$x^2+3x+c=0$，判别式$\Delta_1=9-4c$；对于方程$x^2-3x+c=0$，判别式$\Delta_2=9-4c$。
①当$c＞\frac{9}{4}$时，$\Delta_1＜0$且$\Delta_2＜0$，此时方程没有实数根；
②当$c=\frac{9}{4}$时，$\Delta_1=0$且$\Delta_2=0$，此时方程有两个相等的实数根$x=\frac{3}{2}$和$x=-\frac{3}{2}$，共两个不同的相等实数根；
③当$0＜c＜\frac{9}{4}$时，$\Delta_1＞0$且$\Delta_2＞0$，此时方程有四个互不相等的实数根：$x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$和$x=\frac{3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$；
④当$c=0$时，方程变为$x^2(x+3)(x-3)=0$，根为$x_1=0$，$x_2=0$，$x_3=3$，$x_4=-3$，此时有三个不同的实数根，其中两个根相等；
⑤当$c＜0$时，$\Delta_1＞0$且$\Delta_2＞0$，此时方程有四个互不相等的实数根：$x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$和$x=\frac{3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$。
综上：
- 当$c＞\frac{9}{4}$时，方程没有实数根；
- 当$c=\frac{9}{4}$时，方程有两个不相等的实数根，且每个根都是二重根；
- 当$0＜c＜\frac{9}{4}$或$c＜0$时，方程有四个互不相等的实数根；
- 当$c=0$时，方程有三个不同的实数根，其中一个根是二重根。
(2)①②⑤
【解析】①$(x^2-2x+1)(2x^2-4x+2)=0$即$2(x-1)^4=0$，根为$x_1=x_2=x_3=x_4=1$，有相等的实数根；
②$(x^2-4x+4)(x^2-6x+9)=0$即$(x-2)^2(x-3)^2=0$，根为$x_1=x_2=2$，$x_3=x_4=3$，有相等的实数根；
③$(x^2+4x)(x^2-4x)=0$即$x(x+4)x(x-4)=0$，根为$x_1=0$，$x_2=-4$，$x_3=0$，$x_4=4$，四个根互不相等，没有相等的实数根；
④$(x^2+3x+2)(x^2+8x+15)=0$即$(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)=0$，根为$x_1=-1$，$x_2=-2$，$x_3=-3$，$x_4=-5$，四个根互不相等，没有相等的实数根；
⑤$(x^2-36)(x^2-12x+36)=0$即$(x+6)(x-6)^2=0$，根为$x_1=-6$，$x_2=x_3=6$，有相等的实数根。
故至少有两个相等的实数根的方程是①②⑤。
(3)方程$M· N=0$即$(x^2+3x+c)(x^2-3x+c)=0$，也就是$x^2+3x+c=0$或$x^2-3x+c=0$。
对于方程$x^2+3x+c=0$，判别式$\Delta_1=9-4c$；对于方程$x^2-3x+c=0$，判别式$\Delta_2=9-4c$。
①当$c＞\frac{9}{4}$时，$\Delta_1＜0$且$\Delta_2＜0$，此时方程没有实数根；
②当$c=\frac{9}{4}$时，$\Delta_1=0$且$\Delta_2=0$，此时方程有两个相等的实数根$x=\frac{3}{2}$和$x=-\frac{3}{2}$，共两个不同的相等实数根；
③当$0＜c＜\frac{9}{4}$时，$\Delta_1＞0$且$\Delta_2＞0$，此时方程有四个互不相等的实数根：$x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$和$x=\frac{3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$；
④当$c=0$时，方程变为$x^2(x+3)(x-3)=0$，根为$x_1=0$，$x_2=0$，$x_3=3$，$x_4=-3$，此时有三个不同的实数根，其中两个根相等；
⑤当$c＜0$时，$\Delta_1＞0$且$\Delta_2＞0$，此时方程有四个互不相等的实数根：$x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$和$x=\frac{3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$。
综上：
- 当$c＞\frac{9}{4}$时，方程没有实数根；
- 当$c=\frac{9}{4}$时，方程有两个不相等的实数根，且每个根都是二重根；
- 当$0＜c＜\frac{9}{4}$或$c＜0$时，方程有四个互不相等的实数根；
- 当$c=0$时，方程有三个不同的实数根，其中一个根是二重根。
解析
【分析】
解决“$M·N=0$”型方程的核心思路是“降次转化”：根据乘法的性质，乘积为0等价于至少一个因式为0，因此可将原方程转化为$M=0$或$N=0$两个整式方程分别求解，再合并所有根，判断根的数量、是否存在重根即可。
(1) 先对$M$因式分解，再将原方程化为多个一次因式乘积为0的形式，求解所有根后判断重复情况即可；
(2) 对每个方程的两个因式分别因式分解，求出所有根，判断是否存在至少两个相等的实数根；
(3) 先将原方程转化为两个一元二次方程，分别计算两个方程的判别式，再分情况讨论判别式的正负，同时注意两个方程是否存在公共根的特殊情况，逐一梳理不同$c$取值下的根的情况。
【解析】
(1) 由题意得$(x^2+2x-3)(x-1)=0$，对$x^2+2x-3$因式分解得$(x+3)(x-1)$，因此原方程可化为$(x+3)(x-1)^2=0$，即$x+3=0$或$(x-1)^2=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=x_3=1$，因此方程有三个实数根，有且只有两个根相等，故选B。
(2) 逐个分析方程：
① $(x^2-2x+1)(2x^2-4x+2)=0$，因式分解得$2(x-1)^4=0$，根为$x_1=x_2=x_3=x_4=1$，存在相等实数根，符合要求；
② $(x^2-4x+4)(x^2-6x+9)=0$，因式分解得$(x-2)^2(x-3)^2=0$，根为$x_1=x_2=2$，$x_3=x_4=3$，存在相等实数根，符合要求；
③ $(x^2+4x)(x^2-4x)=0$，因式分解得$x(x+4)· x(x-4)=0$，根为$x_1=0$，$x_2=-4$，$x_3=0$，$x_4=4$，无至少两个相等的实数根，不符合要求；
④ $(x^2+3x+2)(x^2+8x+15)=0$，因式分解得$(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)=0$，根为$x_1=-1$，$x_2=-2$，$x_3=-3$，$x_4=-5$，四个根互不相等，不符合要求；
⑤ $(x^2-36)(x^2-12x+36)=0$，因式分解得$(x+6)(x-6)^3=0$，根为$x_1=-6$，$x_2=x_3=x_4=6$，存在相等实数根，符合要求；
因此符合要求的是①②⑤。
(3) 方程$M·N=0$即$(x^2+3x+c)(x^2-3x+c)=0$，可转化为$x^2+3x+c=0$或$x^2-3x+c=0$。
对于方程$x^2+3x+c=0$，判别式$\Delta_1=3^2-4×1× c=9-4c$；
对于方程$x^2-3x+c=0$，判别式$\Delta_2=(-3)^2-4×1× c=9-4c$。
分情况讨论：
① 当$c＞\frac{9}{4}$时，$\Delta_1=\Delta_2＜0$，两个一元二次方程都没有实数根，因此原方程没有实数根；
② 当$c=\frac{9}{4}$时，$\Delta_1=\Delta_2=0$，方程$x^2+3x+\frac{9}{4}=0$的根为$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$，方程$x^2-3x+\frac{9}{4}=0$的根为$x_3=x_4=\frac{3}{2}$，因此原方程有两个不相等的实数根，且每个根都是二重根；
③ 当$0＜c＜\frac{9}{4}$时，$\Delta_1=\Delta_2＞0$，两个一元二次方程都有两个不相等的实数根，分别为$x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$和$x=\frac{3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$，四个根互不相等，因此原方程有四个互不相等的实数根；
④ 当$c=0$时，原方程化为$x(x+3)· x(x-3)=x^2(x+3)(x-3)=0$，根为$x_1=x_2=0$，$x_3=3$，$x_4=-3$，因此原方程有三个不同的实数根，其中一个根是二重根；
⑤ 当$c＜0$时，$\Delta_1=\Delta_2＞0$，两个一元二次方程都有两个不相等的实数根，分别为$x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$和$x=\frac{3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$，四个根互不相等，因此原方程有四个互不相等的实数根。
【答案】
(1) $\boxed{B}$
(2) $\boxed{①②⑤}$
(3) ①当$c＞\frac{9}{4}$时，方程没有实数根；②当$c=\frac{9}{4}$时，方程有两个不相等的实数根，且每个根都是二重根；③当$0＜c＜\frac{9}{4}$或$c＜0$时，方程有四个互不相等的实数根；④当$c=0$时，方程有三个不同的实数根，其中一个根是二重根。
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 一元二次方程根的判别式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题以一元二次方程根的判别式为基础，拓展考查“$M·N=0$”型高次方程的求解，核心是通过降次转化为低次方程求解，解题时需注意区分重根、公共根的情况，第三问需要全面考虑不同参数取值下的根的情况，能有效锻炼逻辑思维和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.3
解决“$M·N=0$”型方程的核心思路是“降次转化”：根据乘法的性质，乘积为0等价于至少一个因式为0，因此可将原方程转化为$M=0$或$N=0$两个整式方程分别求解，再合并所有根，判断根的数量、是否存在重根即可。
(1) 先对$M$因式分解，再将原方程化为多个一次因式乘积为0的形式，求解所有根后判断重复情况即可；
(2) 对每个方程的两个因式分别因式分解，求出所有根，判断是否存在至少两个相等的实数根；
(3) 先将原方程转化为两个一元二次方程，分别计算两个方程的判别式，再分情况讨论判别式的正负，同时注意两个方程是否存在公共根的特殊情况，逐一梳理不同$c$取值下的根的情况。
【解析】
(1) 由题意得$(x^2+2x-3)(x-1)=0$，对$x^2+2x-3$因式分解得$(x+3)(x-1)$，因此原方程可化为$(x+3)(x-1)^2=0$，即$x+3=0$或$(x-1)^2=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=x_3=1$，因此方程有三个实数根，有且只有两个根相等，故选B。
(2) 逐个分析方程：
① $(x^2-2x+1)(2x^2-4x+2)=0$，因式分解得$2(x-1)^4=0$，根为$x_1=x_2=x_3=x_4=1$，存在相等实数根，符合要求；
② $(x^2-4x+4)(x^2-6x+9)=0$，因式分解得$(x-2)^2(x-3)^2=0$，根为$x_1=x_2=2$，$x_3=x_4=3$，存在相等实数根，符合要求；
③ $(x^2+4x)(x^2-4x)=0$，因式分解得$x(x+4)· x(x-4)=0$，根为$x_1=0$，$x_2=-4$，$x_3=0$，$x_4=4$，无至少两个相等的实数根，不符合要求；
④ $(x^2+3x+2)(x^2+8x+15)=0$，因式分解得$(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)=0$，根为$x_1=-1$，$x_2=-2$，$x_3=-3$，$x_4=-5$，四个根互不相等，不符合要求；
⑤ $(x^2-36)(x^2-12x+36)=0$，因式分解得$(x+6)(x-6)^3=0$，根为$x_1=-6$，$x_2=x_3=x_4=6$，存在相等实数根，符合要求；
因此符合要求的是①②⑤。
(3) 方程$M·N=0$即$(x^2+3x+c)(x^2-3x+c)=0$，可转化为$x^2+3x+c=0$或$x^2-3x+c=0$。
对于方程$x^2+3x+c=0$，判别式$\Delta_1=3^2-4×1× c=9-4c$；
对于方程$x^2-3x+c=0$，判别式$\Delta_2=(-3)^2-4×1× c=9-4c$。
分情况讨论：
① 当$c＞\frac{9}{4}$时，$\Delta_1=\Delta_2＜0$，两个一元二次方程都没有实数根，因此原方程没有实数根；
② 当$c=\frac{9}{4}$时，$\Delta_1=\Delta_2=0$，方程$x^2+3x+\frac{9}{4}=0$的根为$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$，方程$x^2-3x+\frac{9}{4}=0$的根为$x_3=x_4=\frac{3}{2}$，因此原方程有两个不相等的实数根，且每个根都是二重根；
③ 当$0＜c＜\frac{9}{4}$时，$\Delta_1=\Delta_2＞0$，两个一元二次方程都有两个不相等的实数根，分别为$x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$和$x=\frac{3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$，四个根互不相等，因此原方程有四个互不相等的实数根；
④ 当$c=0$时，原方程化为$x(x+3)· x(x-3)=x^2(x+3)(x-3)=0$，根为$x_1=x_2=0$，$x_3=3$，$x_4=-3$，因此原方程有三个不同的实数根，其中一个根是二重根；
⑤ 当$c＜0$时，$\Delta_1=\Delta_2＞0$，两个一元二次方程都有两个不相等的实数根，分别为$x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$和$x=\frac{3\pm\sqrt{9-4c}}{2}$，四个根互不相等，因此原方程有四个互不相等的实数根。
【答案】
(1) $\boxed{B}$
(2) $\boxed{①②⑤}$
(3) ①当$c＞\frac{9}{4}$时，方程没有实数根；②当$c=\frac{9}{4}$时，方程有两个不相等的实数根，且每个根都是二重根；③当$0＜c＜\frac{9}{4}$或$c＜0$时，方程有四个互不相等的实数根；④当$c=0$时，方程有三个不同的实数根，其中一个根是二重根。
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 一元二次方程根的判别式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题以一元二次方程根的判别式为基础，拓展考查“$M·N=0$”型高次方程的求解，核心是通过降次转化为低次方程求解，解题时需注意区分重根、公共根的情况，第三问需要全面考虑不同参数取值下的根的情况，能有效锻炼逻辑思维和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.3
