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1[中]某市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别为28千米、30千米、30千米、26千米、32千米.若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的中位数变为29千米，众数保持不变，那么新增线路长度可能是（
A.25千米
B.28千米
C.29千米
D.30千米
A
）A.25千米
B.28千米
C.29千米
D.30千米
答案
【解析】题中 5 条线路长度数据的众数为 30. A 选项,若新增线路长度是 25 千米,则数据排序为 25,26,28,30,30,32,易知中位数为 29,而众数仍为 30(出现 2 次),符合题意. B 选项,若新增线路长度是 28 千米,则数据排序为 26,28,28,30,30,32,中位数为 29,但众数变为 28 和 30(各出现 2 次),与原众数 30 不一致,不符合题意. C 选项,若新增线路长度是 29 千米,则数据排序为 26,28,29,30,30,32,中位数为 29.5,不符合题意. D 选项,若新增线路长度是 30 千米,则数据排序为 26,28,30,30,30,32,中位数为 30,不符合题意. 故选 A.
解析
【分析】
解题前先明确两个核心统计量的定义：①众数是一组数据中出现次数最多的数，原5条线路长度数据中30出现次数最多，故原众数为30，题目要求新增后众数保持不变，即新增后30仍是唯一的众数；②中位数是将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数，新增后共6个数据，故中位数为排序后第3、第4个数据的平均数，要求该平均数为29，即第3、第4个数据的和为58。接下来可采用代入排除法，将各选项的数值代入后分别验证中位数和众数是否符合要求即可。
【解析】
首先确定原5条线路长度数据的众数为30。
对各选项逐一验证：
A. 若新增线路长度为25千米，将6个数据从小到大排序为：25，26，28，30，30，32，中位数为$\frac{28+30}{2}=29$，众数仍为30（仅30出现2次，次数最多），符合题意；
B. 若新增线路长度为28千米，将6个数据从小到大排序为：26，28，28，30，30，32，中位数为$\frac{28+30}{2}=29$，但此时28和30均出现2次，众数变为两个，不符合“众数保持不变”的要求；
C. 若新增线路长度为29千米，将6个数据从小到大排序为：26，28，29，30，30，32，中位数为$\frac{29+30}{2}=29.5≠29$，不符合题意；
D. 若新增线路长度为30千米，将6个数据从小到大排序为：26，28，30，30，30，32，中位数为$\frac{30+30}{2}=30≠29$，不符合题意。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
中位数；众数
【点评】
本题考查统计量中位数与众数的实际应用，解题关键是牢记两个统计量的计算规则，尤其注意偶数个数据的中位数是中间两数的平均数，众数要求是出现次数最多的数，“众数保持不变”需保证原众数仍是唯一的最高频数据，采用代入排除法可高效解题。
【难度系数】
0.6
解题前先明确两个核心统计量的定义：①众数是一组数据中出现次数最多的数，原5条线路长度数据中30出现次数最多，故原众数为30，题目要求新增后众数保持不变，即新增后30仍是唯一的众数；②中位数是将数据从小到大排序后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数，新增后共6个数据，故中位数为排序后第3、第4个数据的平均数，要求该平均数为29，即第3、第4个数据的和为58。接下来可采用代入排除法，将各选项的数值代入后分别验证中位数和众数是否符合要求即可。
【解析】
首先确定原5条线路长度数据的众数为30。
对各选项逐一验证：
A. 若新增线路长度为25千米，将6个数据从小到大排序为：25，26，28，30，30，32，中位数为$\frac{28+30}{2}=29$，众数仍为30（仅30出现2次，次数最多），符合题意；
B. 若新增线路长度为28千米，将6个数据从小到大排序为：26，28，28，30，30，32，中位数为$\frac{28+30}{2}=29$，但此时28和30均出现2次，众数变为两个，不符合“众数保持不变”的要求；
C. 若新增线路长度为29千米，将6个数据从小到大排序为：26，28，29，30，30，32，中位数为$\frac{29+30}{2}=29.5≠29$，不符合题意；
D. 若新增线路长度为30千米，将6个数据从小到大排序为：26，28，30，30，30，32，中位数为$\frac{30+30}{2}=30≠29$，不符合题意。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
中位数；众数
【点评】
本题考查统计量中位数与众数的实际应用，解题关键是牢记两个统计量的计算规则，尤其注意偶数个数据的中位数是中间两数的平均数，众数要求是出现次数最多的数，“众数保持不变”需保证原众数仍是唯一的最高频数据，采用代入排除法可高效解题。
【难度系数】
0.6
2[中]某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0~100 km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下图，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据.已知0~100 km/h的加速时间的中位数是m s，满电续航里程的中位数是n km，相应的直线将平面分成了①②③④四个区域(直线不属于任何区域).欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在 (
A.区域①②
B.区域①③
C.区域①④
D.区域③④
B
)A.区域①②
B.区域①③
C.区域①④
D.区域③④
答案
【解析】将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，
若这两个点分别落在区域①②，则 0~100 km/h 的加速时间的中位数将变小，不符合题意
若这两个点分别落在区域①③，则两组数据的中位数可能均保持不变，符合题意
若这两个点分别落在区域①④，则满电续航里程的中位数将变小，不符合题意
若这两个点分别落在区域③④，则 0~100 km/h 的加速时间的中位数将变大，不符合题意
故选 B.
若这两个点分别落在区域①②，则 0~100 km/h 的加速时间的中位数将变小，不符合题意
若这两个点分别落在区域①③，则两组数据的中位数可能均保持不变，符合题意
若这两个点分别落在区域①④，则满电续航里程的中位数将变小，不符合题意
若这两个点分别落在区域③④，则 0~100 km/h 的加速时间的中位数将变大，不符合题意
故选 B.
解析
【分析】
解题时首先要明确中位数的性质：一组数据的中位数是将数据从小到大排列后，位于中间位置的数（数据个数为奇数时）或中间两个数的平均数（数据个数为偶数时）。本题中原评测数据的0~100km/h加速时间中位数为m，说明原数据中加速时间小于m和大于m的数量相等；满电续航里程中位数为n，说明原数据中续航里程小于n和大于n的数量相等。新增2个数据后要保持两个中位数均不变，需要满足：新增的两个数据中，加速时间1个大于m、1个小于m，同时续航里程1个大于n、1个小于n。首先明确四个区域的坐标特征（横坐标为续航里程x，纵坐标为加速时间y）：①区域x＜n、y＜m；②区域x＞n、y＜m；③区域x＞n、y＞m；④区域x＜n、y＞m，再逐一判断选项是否满足要求即可。
【解析】
设新增两款汽车的评测点坐标为(x,y)，其中x为满电续航里程，y为0~100km/h加速时间，四个区域的坐标特征为：
区域①：$x＜n$，$y＜m$；区域②：$x＞n$，$y＜m$；区域③：$x＞n$，$y＞m$；区域④：$x＜n$，$y＞m$。
要使两组数据的中位数均保持不变，新增的2个点需满足：1个点的$y＞m$、1个点的$y＜m$，同时1个点的$x＞n$、1个点的$x＜n$。
选项A：两点落在①、②，两个点均满足$y＜m$，加速时间小于m的数量比大于m的多2个，加速时间中位数变小，不符合要求；
选项B：两点落在①、③，①满足$x＜n,y＜m$，③满足$x＞n,y＞m$，刚好满足y一个大于m一个小于m，x一个大于n一个小于n，两组中位数均不变，符合要求；
选项C：两点落在①、④，两个点均满足$x＜n$，续航里程小于n的数量比大于n的多2个，续航里程中位数变小，不符合要求；
选项D：两点落在③、④，两个点均满足$y＞m$，加速时间大于m的数量比小于m的多2个，加速时间中位数变大，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的概念；散点图的识别与应用
【点评】
本题结合新能源汽车性能评测的实际场景，考查中位数性质的应用，解题核心是理解新增数据后保持中位数不变的条件，需要结合散点图的区域特征分析，能很好地检验对统计概念的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确中位数的性质：一组数据的中位数是将数据从小到大排列后，位于中间位置的数（数据个数为奇数时）或中间两个数的平均数（数据个数为偶数时）。本题中原评测数据的0~100km/h加速时间中位数为m，说明原数据中加速时间小于m和大于m的数量相等；满电续航里程中位数为n，说明原数据中续航里程小于n和大于n的数量相等。新增2个数据后要保持两个中位数均不变，需要满足：新增的两个数据中，加速时间1个大于m、1个小于m，同时续航里程1个大于n、1个小于n。首先明确四个区域的坐标特征（横坐标为续航里程x，纵坐标为加速时间y）：①区域x＜n、y＜m；②区域x＞n、y＜m；③区域x＞n、y＞m；④区域x＜n、y＞m，再逐一判断选项是否满足要求即可。
【解析】
设新增两款汽车的评测点坐标为(x,y)，其中x为满电续航里程，y为0~100km/h加速时间，四个区域的坐标特征为：
区域①：$x＜n$，$y＜m$；区域②：$x＞n$，$y＜m$；区域③：$x＞n$，$y＞m$；区域④：$x＜n$，$y＞m$。
要使两组数据的中位数均保持不变，新增的2个点需满足：1个点的$y＞m$、1个点的$y＜m$，同时1个点的$x＞n$、1个点的$x＜n$。
选项A：两点落在①、②，两个点均满足$y＜m$，加速时间小于m的数量比大于m的多2个，加速时间中位数变小，不符合要求；
选项B：两点落在①、③，①满足$x＜n,y＜m$，③满足$x＞n,y＞m$，刚好满足y一个大于m一个小于m，x一个大于n一个小于n，两组中位数均不变，符合要求；
选项C：两点落在①、④，两个点均满足$x＜n$，续航里程小于n的数量比大于n的多2个，续航里程中位数变小，不符合要求；
选项D：两点落在③、④，两个点均满足$y＞m$，加速时间大于m的数量比小于m的多2个，加速时间中位数变大，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的概念；散点图的识别与应用
【点评】
本题结合新能源汽车性能评测的实际场景，考查中位数性质的应用，解题核心是理解新增数据后保持中位数不变的条件，需要结合散点图的区域特征分析，能很好地检验对统计概念的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
3[中]有5个正整数，中位数是4，唯一的众数是6，则这5个数的和的最大值为
21
。答案
【解析】因为 5 个正整数从小到大排列后,其中位数是 4,且这组数据的唯一众数是 6,所以这 5 个数据分别是 $x,y,4,6,6$,其中 $x=1,y=2$ 或 $x=2,y=3$ 或 $x=1,y=3$,所以这 5 个数的和的最大值是 $2+3+4+6+6=21$. 故答案为 21.
解析
【分析】
要解决这道题，我们先结合中位数、众数的定义确定这5个正整数的取值限制，再根据“和最大”的要求筛选出合适的数。首先，5个正整数的中位数是4，说明将这5个数从小到大排序后，第3个数是4，因此前2个数都小于等于4，后2个数都大于等于4；其次唯一众数是6，说明6出现的次数比其他数都多，因此6至少出现2次，且其他数的出现次数都不能等于6的出现次数。要让5个数的和最大，就要让前2个较小的数尽可能大，同时满足众数唯一的条件即可。
【解析】
设5个正整数从小到大排列为$a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e$。
1. 根据中位数的定义：5个数据的中位数是第3个数据，因此$c=4$；
2. 根据唯一众数是6，可知6出现的次数最多。若6只出现1次，则没有数能成为唯一众数，因此6至少出现2次，结合$c=4$，可得$d=e=6$，此时6共出现2次；
3. 要保证众数唯一是6，其余数的出现次数都要小于2，即$a ≠ b$，且$a、b$都不能等于4（否则4也出现2次，和6出现次数相同，众数不唯一）；
4. 要使5个数的和最大，需让$a、b$取尽可能大的正整数，满足$a ＜ b ＜ 4$，因此最大的取值为$a=2$，$b=3$；
5. 计算这5个数的和：$2+3+4+6+6=21$。
【答案】
21
【知识点】
中位数的定义；众数的定义；有理数加法运算
【点评】
本题重点考查对中位数、众数概念的掌握，解题的易错点是忽略“唯一众数”的限制，错误地将前两个数取为3、4，导致众数不唯一。解题时需结合所有限制条件确定数据的取值范围，再根据最值要求筛选出符合条件的数据。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们先结合中位数、众数的定义确定这5个正整数的取值限制，再根据“和最大”的要求筛选出合适的数。首先，5个正整数的中位数是4，说明将这5个数从小到大排序后，第3个数是4，因此前2个数都小于等于4，后2个数都大于等于4；其次唯一众数是6，说明6出现的次数比其他数都多，因此6至少出现2次，且其他数的出现次数都不能等于6的出现次数。要让5个数的和最大，就要让前2个较小的数尽可能大，同时满足众数唯一的条件即可。
【解析】
设5个正整数从小到大排列为$a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e$。
1. 根据中位数的定义：5个数据的中位数是第3个数据，因此$c=4$；
2. 根据唯一众数是6，可知6出现的次数最多。若6只出现1次，则没有数能成为唯一众数，因此6至少出现2次，结合$c=4$，可得$d=e=6$，此时6共出现2次；
3. 要保证众数唯一是6，其余数的出现次数都要小于2，即$a ≠ b$，且$a、b$都不能等于4（否则4也出现2次，和6出现次数相同，众数不唯一）；
4. 要使5个数的和最大，需让$a、b$取尽可能大的正整数，满足$a ＜ b ＜ 4$，因此最大的取值为$a=2$，$b=3$；
5. 计算这5个数的和：$2+3+4+6+6=21$。
【答案】
21
【知识点】
中位数的定义；众数的定义；有理数加法运算
【点评】
本题重点考查对中位数、众数概念的掌握，解题的易错点是忽略“唯一众数”的限制，错误地将前两个数取为3、4，导致众数不唯一。解题时需结合所有限制条件确定数据的取值范围，再根据最值要求筛选出符合条件的数据。
【难度系数】
0.6
4[中]一组数据3,5,7,x的中位数和平均数相等，则x的值是
1或5或9
.答案
【解析】当 $x≥7$ 时,
∵ 这组数据的中位数和平均数相等,
∴ $\frac{5+7}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$,解得 $x=9$; 当 $x≤3$ 时, $\frac{3+5}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$,解得 $x=1$; 当 $3＜x≤5$ 时, $\frac{5+x}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$,解得 $x=5$; 当 $5＜x＜7$ 时, $\frac{5+x}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$,解得 $x=5$(舍去). 综上,$x$ 的值是 1 或 5 或 9. 故答案为 1 或 5 或 9.
∵ 这组数据的中位数和平均数相等,
∴ $\frac{5+7}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$,解得 $x=9$; 当 $x≤3$ 时, $\frac{3+5}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$,解得 $x=1$; 当 $3＜x≤5$ 时, $\frac{5+x}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$,解得 $x=5$; 当 $5＜x＜7$ 时, $\frac{5+x}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$,解得 $x=5$(舍去). 综上,$x$ 的值是 1 或 5 或 9. 故答案为 1 或 5 或 9.
解析
【分析】
这道题是平均数与中位数的综合计算题，由于数据中存在未知数x，中位数的结果和数据的排序有关，因此需要根据x的取值范围分情况讨论：首先明确4个数据的平均数计算公式为四个数之和除以4，而4个有序数据的中位数为排序后第2、3个数的平均值，我们分x≥7、x≤3、3＜x≤5、5＜x＜7四种情况，分别求出对应情况下的中位数，令其与平均数相等列方程求解，最后检验所求的x是否符合对应区间，舍去不符合的解即可。
【解析】
我们分情况讨论x的取值：
1. 当$x≥7$时，数据从小到大排序为3,5,7,x，中位数为$\frac{5+7}{2}=6$，
由中位数和平均数相等可得：$\frac{5+7}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$，
解方程得：$6=\frac{15+x}{4}$，即$15+x=24$，解得$x=9$，符合$x≥7$，成立；
2. 当$x≤3$时，数据从小到大排序为x,3,5,7，中位数为$\frac{3+5}{2}=4$，
列方程：$\frac{3+5}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$，
即$4=\frac{15+x}{4}$，$15+x=16$，解得$x=1$，符合$x≤3$，成立；
3. 当$3＜x≤5$时，数据从小到大排序为3,x,5,7，中位数为$\frac{x+5}{2}$，
列方程：$\frac{x+5}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$，
两边同乘4得：$2(x+5)=15+x$，即$2x+10=15+x$，解得$x=5$，符合$3＜x≤5$，成立；
4. 当$5＜x＜7$时，数据从小到大排序为3,5,x,7，中位数为$\frac{5+x}{2}$，
列方程：$\frac{5+x}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$，
解方程得$x=5$，不符合$5＜x＜7$，舍去。
综上，x的值为1或5或9。
【答案】
1或5或9
【知识点】
平均数的计算；中位数的计算；分类讨论思想
【点评】
本题考查平均数与中位数的综合应用，解题的核心是根据未知数的取值范围分类讨论确定中位数，求解后要注意检验解是否符合对应区间，避免出现漏解或错解的情况。
【难度系数】
0.6
这道题是平均数与中位数的综合计算题，由于数据中存在未知数x，中位数的结果和数据的排序有关，因此需要根据x的取值范围分情况讨论：首先明确4个数据的平均数计算公式为四个数之和除以4，而4个有序数据的中位数为排序后第2、3个数的平均值，我们分x≥7、x≤3、3＜x≤5、5＜x＜7四种情况，分别求出对应情况下的中位数，令其与平均数相等列方程求解，最后检验所求的x是否符合对应区间，舍去不符合的解即可。
【解析】
我们分情况讨论x的取值：
1. 当$x≥7$时，数据从小到大排序为3,5,7,x，中位数为$\frac{5+7}{2}=6$，
由中位数和平均数相等可得：$\frac{5+7}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$，
解方程得：$6=\frac{15+x}{4}$，即$15+x=24$，解得$x=9$，符合$x≥7$，成立；
2. 当$x≤3$时，数据从小到大排序为x,3,5,7，中位数为$\frac{3+5}{2}=4$，
列方程：$\frac{3+5}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$，
即$4=\frac{15+x}{4}$，$15+x=16$，解得$x=1$，符合$x≤3$，成立；
3. 当$3＜x≤5$时，数据从小到大排序为3,x,5,7，中位数为$\frac{x+5}{2}$，
列方程：$\frac{x+5}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$，
两边同乘4得：$2(x+5)=15+x$，即$2x+10=15+x$，解得$x=5$，符合$3＜x≤5$，成立；
4. 当$5＜x＜7$时，数据从小到大排序为3,5,x,7，中位数为$\frac{5+x}{2}$，
列方程：$\frac{5+x}{2}=\frac{3+5+7+x}{4}$，
解方程得$x=5$，不符合$5＜x＜7$，舍去。
综上，x的值为1或5或9。
【答案】
1或5或9
【知识点】
平均数的计算；中位数的计算；分类讨论思想
【点评】
本题考查平均数与中位数的综合应用，解题的核心是根据未知数的取值范围分类讨论确定中位数，求解后要注意检验解是否符合对应区间，避免出现漏解或错解的情况。
【难度系数】
0.6
5[2026黑龙江齐齐哈尔质检,较难]某校八年级学生在一次数学测验中的成绩统计如下表,若成绩的中位数是80分,则x的最小值为
成绩(分) 60 70 80 90 100
人数 5
x 12 8
6
.成绩(分) 60 70 80 90 100
人数 5
x 12 8答案
【解析】
∵ 中位数为 80 分,
∴ 将成绩按从小到大的顺序排列,当学生的总人数为奇数时,中位数必须落在成绩为 80 分这一组内,$x$ 最小取 $(12+8)-(5+10)+1=6$; 当学生的总人数为偶数时,最中间的两个数落在成绩为 80 分这一组,$x$ 最小取 $(12+8)-(5+10)+2=7$. 综上,$x$ 的最小值为 6. 故答案为 6.
∵ 中位数为 80 分,
∴ 将成绩按从小到大的顺序排列,当学生的总人数为奇数时,中位数必须落在成绩为 80 分这一组内,$x$ 最小取 $(12+8)-(5+10)+1=6$; 当学生的总人数为偶数时,最中间的两个数落在成绩为 80 分这一组,$x$ 最小取 $(12+8)-(5+10)+2=7$. 综上,$x$ 的最小值为 6. 故答案为 6.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确中位数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，中位数是最中间的数；若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。首先统计小于80分的总人数和大于等于90分的总人数，要使中位数为80，说明排序后中间的位置落在80分的组别中，分别分析总人数为奇数、偶数两种情况下x的最小取值，再取更小的结果即可。
【解析】
首先计算小于80分的总人数：$5+10=15$（人），大于等于90分的总人数：$12+8=20$（人）。
已知成绩的中位数是80分，说明将所有成绩从小到大排列后，中位数落在80分的组别内：
1. 当学生总人数为奇数时，中位数是最中间的1个数据，要使这个数据为80分，此时$x$最小为$(12+8)-(5+10)+1=6$；
2. 当学生总人数为偶数时，中位数是最中间2个数据的平均数，要使平均数为80分，需最中间的两个数都在80分的组别内，此时$x$最小为$(12+8)-(5+10)+2=7$。
对比两种情况，$x$的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
中位数的定义，数据分析
【点评】
本题重点考查中位数概念的实际应用，解题核心是理解中位数的统计意义，结合分组数据的排列规律分析x的取值范围，解题时需注意分总人数为奇数、偶数两种情况讨论，避免漏解导致结果错误。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先需要明确中位数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，中位数是最中间的数；若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。首先统计小于80分的总人数和大于等于90分的总人数，要使中位数为80，说明排序后中间的位置落在80分的组别中，分别分析总人数为奇数、偶数两种情况下x的最小取值，再取更小的结果即可。
【解析】
首先计算小于80分的总人数：$5+10=15$（人），大于等于90分的总人数：$12+8=20$（人）。
已知成绩的中位数是80分，说明将所有成绩从小到大排列后，中位数落在80分的组别内：
1. 当学生总人数为奇数时，中位数是最中间的1个数据，要使这个数据为80分，此时$x$最小为$(12+8)-(5+10)+1=6$；
2. 当学生总人数为偶数时，中位数是最中间2个数据的平均数，要使平均数为80分，需最中间的两个数都在80分的组别内，此时$x$最小为$(12+8)-(5+10)+2=7$。
对比两种情况，$x$的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
中位数的定义，数据分析
【点评】
本题重点考查中位数概念的实际应用，解题核心是理解中位数的统计意义，结合分组数据的排列规律分析x的取值范围，解题时需注意分总人数为奇数、偶数两种情况讨论，避免漏解导致结果错误。
【难度系数】
0.5
6[2025河北承德调研,中]某班20名学生800米跑的测试成绩(满分10分)条形统计图如图所示,得8分和9分的人数被污渍遮盖,设得8分的学生有a人,得9分的学生有b人.
(1)当这20名学生800米跑的测试成绩的平均数为8.2分时,求:
①a,b的值;
②此时这20名学生成绩的中位数;
(2)若这20名学生800米跑的测试成绩的众数有2个,求a的值.
(1)当这20名学生800米跑的测试成绩的平均数为8.2分时,求:
①a,b的值;
②此时这20名学生成绩的中位数;
(2)若这20名学生800米跑的测试成绩的众数有2个,求a的值.
答案
(1)①
∵ 得 8 分的学生有 $a$ 人,得 9 分的学生有 $b$ 人,20 名学生 800 米跑的测试成绩的平均数为 8.2 分,
∴ $a+b=20-1-6-2=11$, $\frac{1}{20}×(6+7×6+8a+9b+2×10)=8.2$,即 $\begin{cases}a+b=11,\\8a+9b=96,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=3,\\b=8.\end{cases}$
②把这 20 名学生的成绩从小到大排列,第 10 和 11 名学生的成绩分别为 8 分、9 分,
∴ 这 20 名学生成绩的中位数为 $\frac{8+9}{2}=8.5$(分).
(2)
∵ 20 名学生 800 米跑的测试成绩的众数有 2 个,得 7 分的学生有 6 人,得 8 分和得 9 分的学生共有 11 人,
∴ 当 $a=5$ 时,$b=6$,此时众数为 7 分和 9 分;当 $a=6$ 时,$b=5$,此时众数为 7 分和 8 分. 故 $a$ 的值为 5 或 6.
∵ 得 8 分的学生有 $a$ 人,得 9 分的学生有 $b$ 人,20 名学生 800 米跑的测试成绩的平均数为 8.2 分,
∴ $a+b=20-1-6-2=11$, $\frac{1}{20}×(6+7×6+8a+9b+2×10)=8.2$,即 $\begin{cases}a+b=11,\\8a+9b=96,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=3,\\b=8.\end{cases}$
②把这 20 名学生的成绩从小到大排列,第 10 和 11 名学生的成绩分别为 8 分、9 分,
∴ 这 20 名学生成绩的中位数为 $\frac{8+9}{2}=8.5$(分).
(2)
∵ 20 名学生 800 米跑的测试成绩的众数有 2 个,得 7 分的学生有 6 人,得 8 分和得 9 分的学生共有 11 人,
∴ 当 $a=5$ 时,$b=6$,此时众数为 7 分和 9 分;当 $a=6$ 时,$b=5$,此时众数为 7 分和 8 分. 故 $a$ 的值为 5 或 6.
解析
【分析】
(1)①首先根据总人数为20，先求出8分和9分的总人数，得到a和b的第一个等量关系；再根据平均数的计算公式列出第二个等量关系，联立二元一次方程组即可求解a、b的值。②求中位数时，20个数据的中位数是从小到大排列后第10、11个数据的平均数，先统计各分数段的人数，确定第10、11位对应的成绩，计算平均数即可得到中位数。
(2)众数是一组数据中出现次数最多的数，已知7分的人数为6人，要使众数有2个，说明有两个分数的出现次数并列最多，结合8分、9分总人数为11，分情况讨论即可得到a的取值。
【解析】
(1)①已知总人数为20人，因此得8分和9分的总人数为：$a+b=20-1-6-2=11$。
根据平均数为8.2分，可得总分计算式：$\frac{1}{20}×(6×1 + 7×6 + 8a + 9b + 10×2)=8.2$，化简得$8a+9b=96$。
联立方程组$\begin{cases}a+b=11\\8a+9b=96\end{cases}$，将$b=11-a$代入第二个式子，得$8a+9(11-a)=96$，解得$a=3$，则$b=11-3=8$。
②将20名学生的成绩从小到大排列，前$1+6=7$人的成绩为6分、7分，接下来3人的成绩为8分（到第10位），接下来8人的成绩为9分（从第11位开始），因此第10位成绩为8分，第11位成绩为9分，中位数为$\frac{8+9}{2}=8.5$分。
(2)已知得7分的人数为6人，要使众数有2个，即存在两个分数的出现次数同为最多：
情况1：8分的人数也为6人，即$a=6$，此时$b=11-6=5$，众数为7分和8分，符合要求；
情况2：9分的人数为6人，即$b=6$，此时$a=11-6=5$，众数为7分和9分，符合要求。
因此a的值为5或6。
【答案】
(1)①$\begin{cases}a=3\\b=8\end{cases}$；②8.5分
(2)$a$的值为5或6
【知识点】
平均数计算，中位数，众数
【点评】
本题结合条形统计图考查统计量的相关计算，需要熟练掌握平均数、中位数、众数的概念，同时运用方程思想和分类讨论思想解题，能较好地考查对统计概念的理解和运用能力。
【难度系数】
0.6
(1)①首先根据总人数为20，先求出8分和9分的总人数，得到a和b的第一个等量关系；再根据平均数的计算公式列出第二个等量关系，联立二元一次方程组即可求解a、b的值。②求中位数时，20个数据的中位数是从小到大排列后第10、11个数据的平均数，先统计各分数段的人数，确定第10、11位对应的成绩，计算平均数即可得到中位数。
(2)众数是一组数据中出现次数最多的数，已知7分的人数为6人，要使众数有2个，说明有两个分数的出现次数并列最多，结合8分、9分总人数为11，分情况讨论即可得到a的取值。
【解析】
(1)①已知总人数为20人，因此得8分和9分的总人数为：$a+b=20-1-6-2=11$。
根据平均数为8.2分，可得总分计算式：$\frac{1}{20}×(6×1 + 7×6 + 8a + 9b + 10×2)=8.2$，化简得$8a+9b=96$。
联立方程组$\begin{cases}a+b=11\\8a+9b=96\end{cases}$，将$b=11-a$代入第二个式子，得$8a+9(11-a)=96$，解得$a=3$，则$b=11-3=8$。
②将20名学生的成绩从小到大排列，前$1+6=7$人的成绩为6分、7分，接下来3人的成绩为8分（到第10位），接下来8人的成绩为9分（从第11位开始），因此第10位成绩为8分，第11位成绩为9分，中位数为$\frac{8+9}{2}=8.5$分。
(2)已知得7分的人数为6人，要使众数有2个，即存在两个分数的出现次数同为最多：
情况1：8分的人数也为6人，即$a=6$，此时$b=11-6=5$，众数为7分和8分，符合要求；
情况2：9分的人数为6人，即$b=6$，此时$a=11-6=5$，众数为7分和9分，符合要求。
因此a的值为5或6。
【答案】
(1)①$\begin{cases}a=3\\b=8\end{cases}$；②8.5分
(2)$a$的值为5或6
【知识点】
平均数计算，中位数，众数
【点评】
本题结合条形统计图考查统计量的相关计算，需要熟练掌握平均数、中位数、众数的概念，同时运用方程思想和分类讨论思想解题，能较好地考查对统计概念的理解和运用能力。
【难度系数】
0.6
7 核心素养推理能力[较难]七名学生投篮球，每人投了10个球后，统计他们每人投中球的个数，得到七个数据，并对数据进行整理和分析，得出如下信息：
其中小陈同学投中了4个.下列判断:①可能有学生投中了9个;②投中6个的学生只有1人;③这七个数据之和可能为42;④m的值可能为5.其中正确推断的序号是
其中小陈同学投中了4个.下列判断:①可能有学生投中了9个;②投中6个的学生只有1人;③这七个数据之和可能为42;④m的值可能为5.其中正确推断的序号是
①④
.答案
【解析】由题意知,中位数为 6,众数为 7.
① 大于 6 的数中,有可能有两个是 7,一个是 9,①正确
② 当 7 个人的成绩分别为 2,4,6,6,7,7,7 时,也符合题意,②错误
③ 当 7 个人的成绩分别为 2,4,5,6,7,7,10 时,7 个数的和最大,为 41,③错误
④ 当 7 个人的成绩分别为 2,2,4,6,7,7,7 时,平均数为 5,④正确
故正确推断的序号是①④.
① 大于 6 的数中,有可能有两个是 7,一个是 9,①正确
② 当 7 个人的成绩分别为 2,4,6,6,7,7,7 时,也符合题意,②错误
③ 当 7 个人的成绩分别为 2,4,5,6,7,7,10 时,7 个数的和最大,为 41,③错误
④ 当 7 个人的成绩分别为 2,2,4,6,7,7,7 时,平均数为 5,④正确
故正确推断的序号是①④.
解析
【分析】
首先明确7个投中个数的数据从小到大排序后，根据统计量的定义：7个数的中位数是排序后的第4个数，因此第4个数为6，说明前3个数≤6，后3个数≥6；众数是7，说明7出现的次数比其他所有数都多；已知数据包含最小值2和小陈投中的4。接下来结合这些约束条件，对四个推断逐一验证，通过列举符合条件的数列判断说法是否成立即可。
【解析】
由题可知，7个投中数据的最小值为2，中位数为6，众数为7，且包含数据4：
① 验证①：若数据为2,4,5,6,7,7,9，满足所有统计量要求，因此可能有学生投中9个，①正确；
② 验证②：若数据为2,4,6,6,7,7,7，此时中位数为6，众数为7，也符合题意，说明投中6个的学生可以有2人，②错误；
③ 验证③：要使7个数据的和最大，需前3个数尽可能大，前3个数最大为4,5,6，后3个数为7,7,10（7作为众数至少出现2次，最多3次），此时总和最大为2+4+5+6+7+7+10=41＜42，因此七个数据之和不可能为42，③错误；
④ 验证④：若数据为2,2,4,6,7,7,7，排序后符合所有统计量要求，平均数为(2+2+4+6+7+7+7)÷7=5，因此m的值可能为5，④正确。
【答案】
①④
【知识点】
中位数的定义；众数的定义；平均数的计算
【点评】
本题考查对常见统计量概念的理解与应用，解题的关键是结合中位数、众数的约束条件，合理列举符合要求的数据组，需要具备一定的逻辑推理能力，考虑多种可能的情况避免判断失误。
【难度系数】
0.4
首先明确7个投中个数的数据从小到大排序后，根据统计量的定义：7个数的中位数是排序后的第4个数，因此第4个数为6，说明前3个数≤6，后3个数≥6；众数是7，说明7出现的次数比其他所有数都多；已知数据包含最小值2和小陈投中的4。接下来结合这些约束条件，对四个推断逐一验证，通过列举符合条件的数列判断说法是否成立即可。
【解析】
由题可知，7个投中数据的最小值为2，中位数为6，众数为7，且包含数据4：
① 验证①：若数据为2,4,5,6,7,7,9，满足所有统计量要求，因此可能有学生投中9个，①正确；
② 验证②：若数据为2,4,6,6,7,7,7，此时中位数为6，众数为7，也符合题意，说明投中6个的学生可以有2人，②错误；
③ 验证③：要使7个数据的和最大，需前3个数尽可能大，前3个数最大为4,5,6，后3个数为7,7,10（7作为众数至少出现2次，最多3次），此时总和最大为2+4+5+6+7+7+10=41＜42，因此七个数据之和不可能为42，③错误；
④ 验证④：若数据为2,2,4,6,7,7,7，排序后符合所有统计量要求，平均数为(2+2+4+6+7+7+7)÷7=5，因此m的值可能为5，④正确。
【答案】
①④
【知识点】
中位数的定义；众数的定义；平均数的计算
【点评】
本题考查对常见统计量概念的理解与应用，解题的关键是结合中位数、众数的约束条件，合理列举符合要求的数据组，需要具备一定的逻辑推理能力，考虑多种可能的情况避免判断失误。
【难度系数】
0.4
