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13. 如图，在$□ ABCD$中，E，F分别是边AB，DC上的点，AF与DE交于点P，BF与CE交于点Q. 若$S_{△ APD}=20\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ BQC}=30\ \mathrm{cm}^2$，则图中阴影部分的面积为
50
$\mathrm{cm}^2$.答案
50
解析
【分析】
解题时利用平行四边形对边平行的性质，通过等积变换将未知阴影面积转化为已知三角形面积之和。首先想到连接辅助线EF，由于AB//CD，△ADF和△EDF同底等高，面积相等，二者同时减去公共部分△DPF，可推出△APD和△EPF面积相等；同理△BCE和△BFE同底等高，面积相等，减去公共部分△BQE后，可推出△BQC和△EQF面积相等，阴影面积即为两个转化得到的三角形面积之和。
【解析】
解：连接EF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，平行线AB、CD之间的距离处处相等。
1. △ADF和△EDF同底为DF，高均为AB、CD之间的距离，因此$S_{△ ADF}=S_{△ EDF}$，
等式两边同时减去公共部分$△ DPF$的面积，得：
$S_{△ ADF}-S_{△ DPF}=S_{△ EDF}-S_{△ DPF}$，即$S_{△ APD}=S_{△ EPF}=20\ \mathrm{cm}^2$。
2. △BCE和△BFE同底为BE，高均为AB、CD之间的距离，因此$S_{△ BCE}=S_{△ BFE}$，
等式两边同时减去公共部分$△ BQE$的面积，得：
$S_{△ BCE}-S_{△ BQE}=S_{△ BFE}-S_{△ BQE}$，即$S_{△ BQC}=S_{△ EQF}=30\ \mathrm{cm}^2$。
3. 阴影部分面积为：$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ EPF}+S_{△ EQF}=20+30=50\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
50
【知识点】
平行四边形的性质；同底等高三角形面积相等；等积变换
【点评】
本题是平行四边形中面积计算的典型题型，核心是运用等积变换思想，通过作辅助线构造同底等高的三角形，将未知面积转化为已知面积求解，解题关键是理解平行线间距离处处相等的性质。
【难度系数】
0.65
解题时利用平行四边形对边平行的性质，通过等积变换将未知阴影面积转化为已知三角形面积之和。首先想到连接辅助线EF，由于AB//CD，△ADF和△EDF同底等高，面积相等，二者同时减去公共部分△DPF，可推出△APD和△EPF面积相等；同理△BCE和△BFE同底等高，面积相等，减去公共部分△BQE后，可推出△BQC和△EQF面积相等，阴影面积即为两个转化得到的三角形面积之和。
【解析】
解：连接EF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，平行线AB、CD之间的距离处处相等。
1. △ADF和△EDF同底为DF，高均为AB、CD之间的距离，因此$S_{△ ADF}=S_{△ EDF}$，
等式两边同时减去公共部分$△ DPF$的面积，得：
$S_{△ ADF}-S_{△ DPF}=S_{△ EDF}-S_{△ DPF}$，即$S_{△ APD}=S_{△ EPF}=20\ \mathrm{cm}^2$。
2. △BCE和△BFE同底为BE，高均为AB、CD之间的距离，因此$S_{△ BCE}=S_{△ BFE}$，
等式两边同时减去公共部分$△ BQE$的面积，得：
$S_{△ BCE}-S_{△ BQE}=S_{△ BFE}-S_{△ BQE}$，即$S_{△ BQC}=S_{△ EQF}=30\ \mathrm{cm}^2$。
3. 阴影部分面积为：$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ EPF}+S_{△ EQF}=20+30=50\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
50
【知识点】
平行四边形的性质；同底等高三角形面积相等；等积变换
【点评】
本题是平行四边形中面积计算的典型题型，核心是运用等积变换思想，通过作辅助线构造同底等高的三角形，将未知面积转化为已知面积求解，解题关键是理解平行线间距离处处相等的性质。
【难度系数】
0.65
14.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,且AD=12 cm.点P从点A出发,以3 cm/s的速度在射线AD上运动.同时,点Q从点C出发,以1 cm/s的速度在射线CB上运动,运动时间为t.当t=
3 s或6 s
时,点P,Q,C,D构成平行四边形.答案
3 s或6 s
解析
【分析】
已知AD//BC，因此PD与QC天然平行，根据平行四边形“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定规则，只需满足PD=QC即可使P、Q、C、D构成平行四边形。由于点P是在射线AD上运动，需分两种情况讨论：一是点P在线段AD上时，二是点P运动到AD延长线上时，分别根据PD=QC列方程求解即可。
【解析】
∵AD//BC，
∴PD//QC，若四边形PQCD为平行四边形，则需PD=QC。
由题意得：AP=3t cm，QC=t cm，AD=12 cm。
分两种情况讨论：
1. 当点P在线段AD上时，PD=AD-AP=12-3t，
令PD=QC，列方程：12-3t=t，
解得t=3，此时AP=9cm＜12cm，符合条件。
2. 当点P运动到AD的延长线上时，PD=AP-AD=3t-12，
令PD=QC，列方程：3t-12=t，
解得t=6，此时AP=18cm＞12cm，符合条件。
综上，t的值为3s或6s。
【答案】
3 s或6 s
【知识点】
平行四边形的判定，动点问题分类讨论，一元一次方程应用
【点评】
本题是平行四边形判定结合动点的典型题型，解题关键是抓住“PD平行且等于QC”的核心条件，易错点是容易遗漏点P在AD延长线上的情况，需牢固掌握分类讨论的思想。
【难度系数】
0.6
已知AD//BC，因此PD与QC天然平行，根据平行四边形“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定规则，只需满足PD=QC即可使P、Q、C、D构成平行四边形。由于点P是在射线AD上运动，需分两种情况讨论：一是点P在线段AD上时，二是点P运动到AD延长线上时，分别根据PD=QC列方程求解即可。
【解析】
∵AD//BC，
∴PD//QC，若四边形PQCD为平行四边形，则需PD=QC。
由题意得：AP=3t cm，QC=t cm，AD=12 cm。
分两种情况讨论：
1. 当点P在线段AD上时，PD=AD-AP=12-3t，
令PD=QC，列方程：12-3t=t，
解得t=3，此时AP=9cm＜12cm，符合条件。
2. 当点P运动到AD的延长线上时，PD=AP-AD=3t-12，
令PD=QC，列方程：3t-12=t，
解得t=6，此时AP=18cm＞12cm，符合条件。
综上，t的值为3s或6s。
【答案】
3 s或6 s
【知识点】
平行四边形的判定，动点问题分类讨论，一元一次方程应用
【点评】
本题是平行四边形判定结合动点的典型题型，解题关键是抓住“PD平行且等于QC”的核心条件，易错点是容易遗漏点P在AD延长线上的情况，需牢固掌握分类讨论的思想。
【难度系数】
0.6
15.在$□ ABCD$中，边$BC$上的高为$4$，$AB = 5$，$AC = 2\sqrt{5}$，则$□ ABCD$的周长为
20或12
。答案
20或12
解析
【分析】
要计算平行四边形的周长，已知AB=5，根据平行四边形对边相等的性质，周长=2(AB+BC)，因此只需求出BC的长度即可。BC边上的高为4，可通过作高构造直角三角形，结合勾股定理计算相关线段长度，注意高的垂足可能落在BC边上，也可能落在BC的延长线上，需分两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
设BC边上的高为AE，垂足为E，则AE=4，AE⊥BC，即△ABE和△AEC均为直角三角形。
1. 在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
2. 在Rt△AEC中，AC=$2\sqrt{5}$，AE=4，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{20-16}=2$
接下来分两种情况计算BC的长度：
情况1：垂足E落在边BC上，此时$BC=BE+EC=3+2=5$
平行四边形周长为$2×(AB+BC)=2×(5+5)=20$
情况2：垂足E落在BC的延长线上，此时$BC=BE-EC=3-2=1$
平行四边形周长为$2×(AB+BC)=2×(5+1)=12$
【答案】
20或12
【知识点】
平行四边形的性质；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题的关键是考虑到高的垂足位置存在两种可能，很多学生容易忽略垂足在边延长线的情况导致漏解，题目综合考察了平行四边形性质和勾股定理的应用，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
要计算平行四边形的周长，已知AB=5，根据平行四边形对边相等的性质，周长=2(AB+BC)，因此只需求出BC的长度即可。BC边上的高为4，可通过作高构造直角三角形，结合勾股定理计算相关线段长度，注意高的垂足可能落在BC边上，也可能落在BC的延长线上，需分两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
设BC边上的高为AE，垂足为E，则AE=4，AE⊥BC，即△ABE和△AEC均为直角三角形。
1. 在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
2. 在Rt△AEC中，AC=$2\sqrt{5}$，AE=4，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{20-16}=2$
接下来分两种情况计算BC的长度：
情况1：垂足E落在边BC上，此时$BC=BE+EC=3+2=5$
平行四边形周长为$2×(AB+BC)=2×(5+5)=20$
情况2：垂足E落在BC的延长线上，此时$BC=BE-EC=3-2=1$
平行四边形周长为$2×(AB+BC)=2×(5+1)=12$
【答案】
20或12
【知识点】
平行四边形的性质；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题的关键是考虑到高的垂足位置存在两种可能，很多学生容易忽略垂足在边延长线的情况导致漏解，题目综合考察了平行四边形性质和勾股定理的应用，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题
16.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE＝CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
16.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE＝CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
答案
证明：
∵ AE⊥AD，CF⊥BC，
∴ ∠EAD = ∠FCB = 90°。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADE = ∠CBF。
在△ADE和△CBF中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE = ∠CBF \\∠EAD = ∠FCB \\AE = CF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CBF（AAS）。
∴ AD = BC。
又∵ AD//BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
∵ AE⊥AD，CF⊥BC，
∴ ∠EAD = ∠FCB = 90°。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADE = ∠CBF。
在△ADE和△CBF中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE = ∠CBF \\∠EAD = ∠FCB \\AE = CF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CBF（AAS）。
∴ AD = BC。
又∵ AD//BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，已知条件已经给出AD//BC，根据平行四边形的判定定理，只需再证明AD=BC即可。观察图形可知AD、BC分别属于△ADE和△CBF，首先由AE⊥AD、CF⊥BC可得两个直角相等，再由AD//BC可得内错角∠ADE=∠CBF，结合已知AE=CF，可通过AAS证明△ADE≌△CBF，利用全等三角形对应边相等得到AD=BC，就能满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定条件。
【解析】
证明：
∵ AE⊥AD，CF⊥BC，
∴ ∠EAD = ∠FCB = 90°。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADE = ∠CBF。
在△ADE和△CBF中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE = ∠CBF \\∠EAD = ∠FCB \\AE = CF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CBF（AAS）。
∴ AD = BC。
又
∵ AD//BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
证明过程如上，四边形ABCD是平行四边形得证。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题型，将全等三角形的知识和平行四边形的判定相结合，解题核心是找到三角形全等的条件，进而得到平行四边形所需的对边相等的条件，需要熟练掌握相关基础定理并灵活应用。
【难度系数】
0.8
要证明四边形ABCD是平行四边形，已知条件已经给出AD//BC，根据平行四边形的判定定理，只需再证明AD=BC即可。观察图形可知AD、BC分别属于△ADE和△CBF，首先由AE⊥AD、CF⊥BC可得两个直角相等，再由AD//BC可得内错角∠ADE=∠CBF，结合已知AE=CF，可通过AAS证明△ADE≌△CBF，利用全等三角形对应边相等得到AD=BC，就能满足“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定条件。
【解析】
证明：
∵ AE⊥AD，CF⊥BC，
∴ ∠EAD = ∠FCB = 90°。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADE = ∠CBF。
在△ADE和△CBF中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE = ∠CBF \\∠EAD = ∠FCB \\AE = CF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CBF（AAS）。
∴ AD = BC。
又
∵ AD//BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
证明过程如上，四边形ABCD是平行四边形得证。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题型，将全等三角形的知识和平行四边形的判定相结合，解题核心是找到三角形全等的条件，进而得到平行四边形所需的对边相等的条件，需要熟练掌握相关基础定理并灵活应用。
【难度系数】
0.8
17. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，点$D,E,G$分别在$BC,AB,AC$上，且$EG // BC$，$DE // AC$，延长$GE$至点$F$，使得$BE = BF$。
(1)判断四边形$BDEF$的形状，并说明理由；
(2)若$∠ C = 45°$，$BD = 2$，求$D,F$两点间的距离。
(1)判断四边形$BDEF$的形状，并说明理由；
(2)若$∠ C = 45°$，$BD = 2$，求$D,F$两点间的距离。
答案
(1)四边形BDEF为平行四边形.理由略
(2)$\because ∠ C=45°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ BFE=∠ BEF=45°$,
$\therefore △ BDE,△ BEF$是等腰直角三角形,
$\therefore BF=BE=\frac{\sqrt{2}}{2}BD=\sqrt{2}$.
如答图,作$FM⊥ BD$交$DB$延长线于点$M$,连接$DF$,
$\therefore △ BFM$是等腰直角三角形,
$\therefore FM=BM=\frac{\sqrt{2}}{2}BF=1,\therefore DM=3$.
在$\mathrm{Rt}△ DFM$中,由勾股定理,得$DF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,即$D,F$两点间的距离是$\sqrt{10}$.
解析
【分析】
(1) 判断四边形形状可从对边的位置关系入手：已知$EG// BC$，可得$EF// BD$，接下来只需证明$BF// DE$即可。结合等腰$△ ABC$的等角性质、平行线的同位角相等性质以及$BE=BF$的等边对等角性质，推导角相等即可得出$BF// DE$，进而根据平行四边形的判定定理得出结论。
(2) 求$D、F$两点的距离，首先由$∠ C=45°$推导得出$△ BDE、△ BEF$均为等腰直角三角形，求出$BF$的长度；再通过作$FM⊥ BD$的辅助线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求出$FM、BM$的长度，进而得到$DM$的长度，最后用勾股定理计算$DF$即可。
【解析】
(1) 四边形$BDEF$是平行四边形，理由如下：
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C$。
$\because EG// BC$，$\therefore ∠ AEG=∠ ABC$，又$\because ∠ BEF$与$∠ AEG$是对顶角，$\therefore ∠ BEF=∠ AEG$，故$∠ BEF=∠ ABC$。
$\because DE// AC$，$\therefore ∠ EDB=∠ C$，结合$∠ ABC=∠ C$可得$∠ EDB=∠ BEF$。
又$\because BE=BF$，$\therefore ∠ F=∠ BEF$，$\therefore ∠ F=∠ EDB$，$\therefore BF// DE$。
又$\because EG// BC$，即$EF// BD$，四边形$BDEF$两组对边分别平行，$\therefore$ 四边形$BDEF$是平行四边形。
(2) 解：$\because ∠ C=45°$，$AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C=45°$。
由(1)的推导可知$∠ BEF=∠ ABC=45°$，$∠ EDB=∠ C=45°$。
$\because BE=BF$，$\therefore ∠ F=∠ BEF=45°$，在$△ BEF$中，$∠ EBF=180°-45°-45°=90°$，即$△ BEF$是等腰直角三角形；
在$△ BDE$中，$∠ ABC=∠ EDB=45°$，$\therefore ∠ BED=180°-45°-45°=90°$，即$△ BDE$是等腰直角三角形，故$BE=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得$BE^2 + DE^2 = BD^2$，代入$BD=2$、$BE=DE$，得$2BE^2=4$，解得$BE=\sqrt{2}$，$\therefore BF=BE=\sqrt{2}$。
如答图，作$FM⊥ BD$交$DB$的延长线于点$M$，连接$DF$。
$\because ∠ EBF=90°$，$∠ EBD=45°$，$\therefore ∠ FBM=180°-∠ EBF-∠ EBD=45°$，又$FM⊥ BD$，故$△ BFM$是等腰直角三角形，$FM=BM$。
在$\mathrm{Rt}△ BFM$中，由勾股定理得$FM^2 + BM^2 = BF^2$，代入$BF=\sqrt{2}$、$FM=BM$，得$2FM^2=2$，解得$FM=BM=1$。
$\therefore DM=BD+BM=2+1=3$。
在$\mathrm{Rt}△ DFM$中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{FM^2 + DM^2}=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 四边形$BDEF$为平行四边形。
(2) $D、F$两点间的距离是$\sqrt{10}$。
【知识点】
平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将平行四边形判定、等腰三角形性质、勾股定理结合考查，解题的关键是利用平行线和等腰三角形的性质推导角与边的关系，构造直角三角形求解线段长度，对几何逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.65
(1) 判断四边形形状可从对边的位置关系入手：已知$EG// BC$，可得$EF// BD$，接下来只需证明$BF// DE$即可。结合等腰$△ ABC$的等角性质、平行线的同位角相等性质以及$BE=BF$的等边对等角性质，推导角相等即可得出$BF// DE$，进而根据平行四边形的判定定理得出结论。
(2) 求$D、F$两点的距离，首先由$∠ C=45°$推导得出$△ BDE、△ BEF$均为等腰直角三角形，求出$BF$的长度；再通过作$FM⊥ BD$的辅助线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求出$FM、BM$的长度，进而得到$DM$的长度，最后用勾股定理计算$DF$即可。
【解析】
(1) 四边形$BDEF$是平行四边形，理由如下：
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C$。
$\because EG// BC$，$\therefore ∠ AEG=∠ ABC$，又$\because ∠ BEF$与$∠ AEG$是对顶角，$\therefore ∠ BEF=∠ AEG$，故$∠ BEF=∠ ABC$。
$\because DE// AC$，$\therefore ∠ EDB=∠ C$，结合$∠ ABC=∠ C$可得$∠ EDB=∠ BEF$。
又$\because BE=BF$，$\therefore ∠ F=∠ BEF$，$\therefore ∠ F=∠ EDB$，$\therefore BF// DE$。
又$\because EG// BC$，即$EF// BD$，四边形$BDEF$两组对边分别平行，$\therefore$ 四边形$BDEF$是平行四边形。
(2) 解：$\because ∠ C=45°$，$AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C=45°$。
由(1)的推导可知$∠ BEF=∠ ABC=45°$，$∠ EDB=∠ C=45°$。
$\because BE=BF$，$\therefore ∠ F=∠ BEF=45°$，在$△ BEF$中，$∠ EBF=180°-45°-45°=90°$，即$△ BEF$是等腰直角三角形；
在$△ BDE$中，$∠ ABC=∠ EDB=45°$，$\therefore ∠ BED=180°-45°-45°=90°$，即$△ BDE$是等腰直角三角形，故$BE=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得$BE^2 + DE^2 = BD^2$，代入$BD=2$、$BE=DE$，得$2BE^2=4$，解得$BE=\sqrt{2}$，$\therefore BF=BE=\sqrt{2}$。
如答图，作$FM⊥ BD$交$DB$的延长线于点$M$，连接$DF$。
$\because ∠ EBF=90°$，$∠ EBD=45°$，$\therefore ∠ FBM=180°-∠ EBF-∠ EBD=45°$，又$FM⊥ BD$，故$△ BFM$是等腰直角三角形，$FM=BM$。
在$\mathrm{Rt}△ BFM$中，由勾股定理得$FM^2 + BM^2 = BF^2$，代入$BF=\sqrt{2}$、$FM=BM$，得$2FM^2=2$，解得$FM=BM=1$。
$\therefore DM=BD+BM=2+1=3$。
在$\mathrm{Rt}△ DFM$中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{FM^2 + DM^2}=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 四边形$BDEF$为平行四边形。
(2) $D、F$两点间的距离是$\sqrt{10}$。
【知识点】
平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将平行四边形判定、等腰三角形性质、勾股定理结合考查，解题的关键是利用平行线和等腰三角形的性质推导角与边的关系，构造直角三角形求解线段长度，对几何逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.65
