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7.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是(
A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
D
).A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是明确还原原平行四边形的条件：需要确定原平行四边形两组对边的位置，利用平行四边形两组对边分别平行的性质，只要得到两组对边的部分线段，延长后即可得到四个顶点，还原图形。接下来逐一分析各选项的两块玻璃能否提供两组对边的足够线段：先排除无法确定其中一组对边位置的选项，再排除两块玻璃无关联、无法确定对边相对位置的选项，最终得到正确答案。
【解析】
要还原原平行四边形，需确定其两组对边的位置，依据平行四边形两组对边分别平行的性质分析：
选项A（①②）：仅含有原平行四边形左侧边和上下边的部分线段，无法确定右侧边的位置，不能还原平行四边形；
选项B（①④）：两块碎玻璃无公共的相邻边，无法确定两组对边的相对位置，不能还原平行四边形；
选项C（③④）：仅含有原平行四边形右侧边和上下边的部分线段，无法确定左侧边的位置，不能还原平行四边形；
选项D（②③）：②包含原平行四边形上边、左侧边的部分线段，③包含原平行四边形下边、右侧边的部分线段，两组对边均有足够长度的线段，将各组对边的线段延长后可得到四个交点，即为原平行四边形的四个顶点，可准确还原原平行四边形。
因此选择D选项。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，两点确定一条直线
【点评】
本题将平行四边形的性质与生活实际结合，考查知识的灵活运用能力，需要学生结合图形特征分析各碎块的作用，注重理论联系实际。
【难度系数】
0.6
解题的核心是明确还原原平行四边形的条件：需要确定原平行四边形两组对边的位置，利用平行四边形两组对边分别平行的性质，只要得到两组对边的部分线段，延长后即可得到四个顶点，还原图形。接下来逐一分析各选项的两块玻璃能否提供两组对边的足够线段：先排除无法确定其中一组对边位置的选项，再排除两块玻璃无关联、无法确定对边相对位置的选项，最终得到正确答案。
【解析】
要还原原平行四边形，需确定其两组对边的位置，依据平行四边形两组对边分别平行的性质分析：
选项A（①②）：仅含有原平行四边形左侧边和上下边的部分线段，无法确定右侧边的位置，不能还原平行四边形；
选项B（①④）：两块碎玻璃无公共的相邻边，无法确定两组对边的相对位置，不能还原平行四边形；
选项C（③④）：仅含有原平行四边形右侧边和上下边的部分线段，无法确定左侧边的位置，不能还原平行四边形；
选项D（②③）：②包含原平行四边形上边、左侧边的部分线段，③包含原平行四边形下边、右侧边的部分线段，两组对边均有足够长度的线段，将各组对边的线段延长后可得到四个交点，即为原平行四边形的四个顶点，可准确还原原平行四边形。
因此选择D选项。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，两点确定一条直线
【点评】
本题将平行四边形的性质与生活实际结合，考查知识的灵活运用能力，需要学生结合图形特征分析各碎块的作用，注重理论联系实际。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,给出下列四个条件:①$AE=CF$;②$DE=BF$;③$∠ ADE=∠ CBF$;④$∠ ABE=∠ CDF$. 其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的条件有(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
).A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
B
解析
【分析】首先利用平行四边形ABCD的性质：对角线互相平分（OA=OC，OB=OD）、对边平行且相等、两直线平行内错角相等。要判定四边形DEBF为平行四边形，可通过证其对角线互相平分（即OE=OF），或证一组对边平行且相等、两组对边分别相等/平行来实现，再逐个分析4个条件是否能推出上述结论即可：
1. 条件①AE=CF：结合OA=OC，可直接推出OE=OF，结合OB=OD，即可用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定。
2. 条件②DE=BF：仅给出一组对边相等，结合OD=OB、对顶角相等，属于“SSA”的条件，无法证明△DOE与△BOF全等，也无法推出DE//BF，因此不能判定。
3. 条件③∠ADE=∠CBF：结合AD=BC、AD//BC得∠DAE=∠BCF，可证△ADE≌△CBF，推出AE=CF，后续同条件①可判定。
4. 条件④∠ABE=∠CDF：结合AB=CD、AB//CD得∠BAE=∠DCF，可证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，后续同条件①可判定。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，因此：
$OA=OC$，$OB=OD$，$AD// BC$，$AD=BC$，$AB// CD$，$AB=CD$。
逐个分析条件：
1. 若①$AE=CF$：
$\because OA-AE=OC-CF$，$\therefore OE=OF$，
又$\because OB=OD$，$\therefore$ 四边形DEBF对角线互相平分，是平行四边形，故①可判定。
2. 若②$DE=BF$：
仅$DE=BF$，$OD=OB$，$∠ DOE=∠ BOF$，属于SSA，无法证明$△ DOE≌△ BOF$，不能推出$OE=OF$或$DE// BF$，因此无法判定四边形DEBF是平行四边形，故②不可判定。
3. 若③$∠ ADE=∠ CBF$：
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ DAE=∠ BCF$，
在$△ ADE$和$△ CBF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADE=∠ CBF \\AD=CB \\∠ DAE=∠ BCF\end{array} $
$\therefore △ ADE≌△ CBF$（ASA），$\therefore AE=CF$，
同理可得$OE=OF$，结合$OB=OD$，故四边形DEBF是平行四边形，③可判定。
4. 若④$∠ ABE=∠ CDF$：
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ BAE=∠ DCF$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABE=∠ CDF \\AB=CD \\∠ BAE=∠ DCF\end{array} $
$\therefore △ ABE≌△ CDF$（ASA），$\therefore AE=CF$，
同理可得$OE=OF$，结合$OB=OD$，故四边形DEBF是平行四边形，④可判定。
综上，仅②不能判定，共1个不能判定的条件。
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定的综合应用，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，结合全等三角形的判定推导所需条件，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误判。
【难度系数】0.7
1. 条件①AE=CF：结合OA=OC，可直接推出OE=OF，结合OB=OD，即可用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定。
2. 条件②DE=BF：仅给出一组对边相等，结合OD=OB、对顶角相等，属于“SSA”的条件，无法证明△DOE与△BOF全等，也无法推出DE//BF，因此不能判定。
3. 条件③∠ADE=∠CBF：结合AD=BC、AD//BC得∠DAE=∠BCF，可证△ADE≌△CBF，推出AE=CF，后续同条件①可判定。
4. 条件④∠ABE=∠CDF：结合AB=CD、AB//CD得∠BAE=∠DCF，可证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，后续同条件①可判定。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，因此：
$OA=OC$，$OB=OD$，$AD// BC$，$AD=BC$，$AB// CD$，$AB=CD$。
逐个分析条件：
1. 若①$AE=CF$：
$\because OA-AE=OC-CF$，$\therefore OE=OF$，
又$\because OB=OD$，$\therefore$ 四边形DEBF对角线互相平分，是平行四边形，故①可判定。
2. 若②$DE=BF$：
仅$DE=BF$，$OD=OB$，$∠ DOE=∠ BOF$，属于SSA，无法证明$△ DOE≌△ BOF$，不能推出$OE=OF$或$DE// BF$，因此无法判定四边形DEBF是平行四边形，故②不可判定。
3. 若③$∠ ADE=∠ CBF$：
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ DAE=∠ BCF$，
在$△ ADE$和$△ CBF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADE=∠ CBF \\AD=CB \\∠ DAE=∠ BCF\end{array} $
$\therefore △ ADE≌△ CBF$（ASA），$\therefore AE=CF$，
同理可得$OE=OF$，结合$OB=OD$，故四边形DEBF是平行四边形，③可判定。
4. 若④$∠ ABE=∠ CDF$：
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ BAE=∠ DCF$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABE=∠ CDF \\AB=CD \\∠ BAE=∠ DCF\end{array} $
$\therefore △ ABE≌△ CDF$（ASA），$\therefore AE=CF$，
同理可得$OE=OF$，结合$OB=OD$，故四边形DEBF是平行四边形，④可判定。
综上，仅②不能判定，共1个不能判定的条件。
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定的综合应用，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，结合全等三角形的判定推导所需条件，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误判。
【难度系数】0.7
9.如图，$□ ABCD$的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为（
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.8 cm
B
）.A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.8 cm
答案
B
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形的性质：对边相等、对角线互相平分，结合平行四边形的周长可得到一组邻边的和；再根据两个三角形的周长差，结合对角线平分的特点可推导出邻边的差，联立即可求出BC的长度；最后根据直角三角形斜边中线的性质求出AE的长度即可。
【解析】
∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$OB=OD$，$AD=BC$，平行四边形周长$=2(AB+AD)$
已知平行四边形周长为26cm，
∴$2(AB+AD)=26$，化简得：$AB+AD=13\ \mathrm{cm}$ ①
又
∵$△ AOD$的周长比$△ AOB$的周长多3cm
∴$(AO+OD+AD)-(AO+OB+AB)=3\ \mathrm{cm}$
∵$OD=OB$，
∴上式化简得：$AD-AB=3\ \mathrm{cm}$ ②
联立①②，解得$AD=8\ \mathrm{cm}$，即$BC=AD=8\ \mathrm{cm}$
∵$AC⊥ AB$，
∴$△ BAC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$
∵$E$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴$AE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是平行四边形性质应用的典型题型，解题的突破口是利用平行四边形对角线互相平分的特点，将两个三角形的周长差转化为邻边的长度差，再结合直角三角形的特殊性质求解，整体解题逻辑清晰，侧重对基础性质的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形的性质：对边相等、对角线互相平分，结合平行四边形的周长可得到一组邻边的和；再根据两个三角形的周长差，结合对角线平分的特点可推导出邻边的差，联立即可求出BC的长度；最后根据直角三角形斜边中线的性质求出AE的长度即可。
【解析】
∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$OB=OD$，$AD=BC$，平行四边形周长$=2(AB+AD)$
已知平行四边形周长为26cm，
∴$2(AB+AD)=26$，化简得：$AB+AD=13\ \mathrm{cm}$ ①
又
∵$△ AOD$的周长比$△ AOB$的周长多3cm
∴$(AO+OD+AD)-(AO+OB+AB)=3\ \mathrm{cm}$
∵$OD=OB$，
∴上式化简得：$AD-AB=3\ \mathrm{cm}$ ②
联立①②，解得$AD=8\ \mathrm{cm}$，即$BC=AD=8\ \mathrm{cm}$
∵$AC⊥ AB$，
∴$△ BAC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$
∵$E$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴$AE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是平行四边形性质应用的典型题型，解题的突破口是利用平行四边形对角线互相平分的特点，将两个三角形的周长差转化为邻边的长度差，再结合直角三角形的特殊性质求解，整体解题逻辑清晰，侧重对基础性质的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7
10.如图，在$□ ABCD$中，$∠ B=60°$，$AB ⊥ AC$，$AC$的垂直平分线交$AD$于点$E$，$△ CDE$的周长是15，则$□ ABCD$的面积为（
A.$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
B.40
C.50
D.$25\sqrt{3}$
D
）.A.$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
B.40
C.50
D.$25\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
解题时按以下思路推导：1. 看到AC的垂直平分线，先利用垂直平分线的性质得到AE=CE，将△CDE的周长转化为AD+CD，即平行四边形一组邻边的和为15；2. 结合∠B=60°、AB⊥AC，可知△ABC是含30°角的直角三角形，根据30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到BC=2AB，结合平行四边形对边相等的性质，即可求出AB和BC的长度；3. 用勾股定理求出AC的长度，再计算平行四边形的面积即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长$=CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=15$，
即$BC+AB=15$，
∵$AB⊥AC$，
∴$∠BAC=90°$，
又
∵$∠B=60°$，
∴$∠ACB=30°$，
∴$BC=2AB$（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半），
将$BC=2AB$代入$BC+AB=15$，得$3AB=15$，解得$AB=5$，
∴$BC=2×5=10$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$，
∴平行四边形ABCD的面积$=2×S_{△ABC}=2×\frac{1}{2}×AB×AC=5×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形章节的典型题型，综合了多个基础知识点，解题的核心是通过垂直平分线的性质完成三角形周长到平行四边形邻边和的转化，再结合特殊直角三角形的边长关系求解，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时按以下思路推导：1. 看到AC的垂直平分线，先利用垂直平分线的性质得到AE=CE，将△CDE的周长转化为AD+CD，即平行四边形一组邻边的和为15；2. 结合∠B=60°、AB⊥AC，可知△ABC是含30°角的直角三角形，根据30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到BC=2AB，结合平行四边形对边相等的性质，即可求出AB和BC的长度；3. 用勾股定理求出AC的长度，再计算平行四边形的面积即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长$=CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=15$，
即$BC+AB=15$，
∵$AB⊥AC$，
∴$∠BAC=90°$，
又
∵$∠B=60°$，
∴$∠ACB=30°$，
∴$BC=2AB$（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半），
将$BC=2AB$代入$BC+AB=15$，得$3AB=15$，解得$AB=5$，
∴$BC=2×5=10$，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$，
∴平行四边形ABCD的面积$=2×S_{△ABC}=2×\frac{1}{2}×AB×AC=5×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形章节的典型题型，综合了多个基础知识点，解题的核心是通过垂直平分线的性质完成三角形周长到平行四边形邻边和的转化，再结合特殊直角三角形的边长关系求解，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
二、填空题
11. 如图，在$□ ABCD$中，E是边AD的中点. 若$∠ ABE = ∠ EBC$，$AB=2$，则$□ ABCD$的周长是
11. 如图，在$□ ABCD$中，E是边AD的中点. 若$∠ ABE = ∠ EBC$，$AB=2$，则$□ ABCD$的周长是
12
. 答案
12
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，得到AD//BC，进而推出内错角∠AEB=∠EBC，结合已知∠ABE=∠EBC，可等量代换得到∠ABE=∠AEB，根据等角对等边判定△ABE为等腰三角形，得到AB=AE；再结合E是AD中点的条件求出AD的长度，最后代入平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD=2，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=2，
∵E是AD的中点，
∴AD=2AE=2×2=4，
∴平行四边形ABCD的周长为：$2×(AB+AD)=2×(2+4)=12$。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是通过平行线的性质实现角的等量转换，进而得到边的数量关系，考察了对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，得到AD//BC，进而推出内错角∠AEB=∠EBC，结合已知∠ABE=∠EBC，可等量代换得到∠ABE=∠AEB，根据等角对等边判定△ABE为等腰三角形，得到AB=AE；再结合E是AD中点的条件求出AD的长度，最后代入平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD=2，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=2，
∵E是AD的中点，
∴AD=2AE=2×2=4，
∴平行四边形ABCD的周长为：$2×(AB+AD)=2×(2+4)=12$。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是通过平行线的性质实现角的等量转换，进而得到边的数量关系，考察了对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
12.如图，在$□ ABCD$中，$AE ⊥ BC$于点$E$，$AF ⊥ CD$于点$F$。若$AE=4$，$AF=6$，$AD+CD=20$，则$□ ABCD$的面积为
48
.答案
48
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路思考：首先回忆平行四边形的核心性质与面积计算方法：1. 平行四边形对边相等，因此AD=BC，结合已知条件AD+CD=20，可推导出BC与CD的和为20；2. 平行四边形的面积可通过不同底和对应高的乘积表示，本题中面积既等于BC边上的高AE乘BC，也等于CD边上的高AF乘CD，两个面积表达式相等，可建立BC和CD的等量关系。我们设其中一边为未知数，结合上述两个关系列方程求解边长，即可算出平行四边形的面积。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ BC = AD
∵ AD + CD = 20
∴ BC + CD = 20
设BC的长为$x$，则CD的长为$20-x$
∵ 平行四边形面积=底×对应高，且$AE⊥BC$，$AF⊥CD$
∴ $S_{□ABCD}=AE·BC=AF·CD$
将$AE=4$，$AF=6$代入得：
$4x = 6(20-x)$
展开得：$4x=120-6x$
移项合并同类项得：$10x=120$
解得：$x=12$
∴ $S_{□ABCD}=4×12=48$
【答案】
48
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形面积计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是平行四边形章节的基础常考题，解题核心是利用平行四边形面积的两种不同表示方法构建等量关系，结合对边相等的性质列方程求解，能很好地考察学生对平行四边形基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可按以下思路思考：首先回忆平行四边形的核心性质与面积计算方法：1. 平行四边形对边相等，因此AD=BC，结合已知条件AD+CD=20，可推导出BC与CD的和为20；2. 平行四边形的面积可通过不同底和对应高的乘积表示，本题中面积既等于BC边上的高AE乘BC，也等于CD边上的高AF乘CD，两个面积表达式相等，可建立BC和CD的等量关系。我们设其中一边为未知数，结合上述两个关系列方程求解边长，即可算出平行四边形的面积。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ BC = AD
∵ AD + CD = 20
∴ BC + CD = 20
设BC的长为$x$，则CD的长为$20-x$
∵ 平行四边形面积=底×对应高，且$AE⊥BC$，$AF⊥CD$
∴ $S_{□ABCD}=AE·BC=AF·CD$
将$AE=4$，$AF=6$代入得：
$4x = 6(20-x)$
展开得：$4x=120-6x$
移项合并同类项得：$10x=120$
解得：$x=12$
∴ $S_{□ABCD}=4×12=48$
【答案】
48
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形面积计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是平行四边形章节的基础常考题，解题核心是利用平行四边形面积的两种不同表示方法构建等量关系，结合对边相等的性质列方程求解，能很好地考察学生对平行四边形基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
