18. 如图，在$□ ABCD$中，$M$为边$AD$的中点，过点$C$作$AB$的垂线交$AB$于点$E$，连接$ME$，$MC$.已知$AM=2AE=4$，$∠ BCE=30°$.
(1)求$□ ABCD$的面积；
(2)求证：$∠ EMC=2∠ AEM$.

(1)解:$\because M$为$AD$的中点,$AM=2AE=4$,
$\therefore AD=2AM=8$.
在$□ ABCD$中,$BC=AD=8$.
又$\because CE⊥ AB,\therefore ∠ BEC=90°$.
$\because ∠ BCE=30°,\therefore BE=\frac{1}{2}BC=4$,
$\therefore AB=6,CE=4\sqrt{3}$,
$\therefore S_{□ ABCD}=AB· CE=6×4\sqrt{3}=24\sqrt{3}$.
(2)证明:如答图,延长$EM$,$CD$交于点$N$.
$\because$在$□ ABCD$中,$AB// CD$,
$\therefore ∠ AEM=∠ N$.
在$△ AEM$和$△ DNM$中,
$\begin{cases}∠ AEM=∠ N,\\∠ AME=∠ DMN,\\AM=DM,\end{cases}$
$\therefore △ AEM ≌ △ DNM$(AAS),
$\therefore EM=MN$.
又$\because AB// CD,CE⊥ AB$,
$\therefore CE⊥ CD$,
$\therefore CM$为$\mathrm{Rt}△ ECN$斜边上的中线,
$\therefore MN=MC,\therefore ∠ N=∠ MCN$,
$\therefore ∠ EMC=2∠ N=2∠ AEM$.

【分析】
(1) 求平行四边形的面积需先确定底和对应高的长度：首先根据中点性质求出AD的长，利用平行四边形对边相等得到BC的长度；再在Rt△BEC中，结合30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BE和CE的长，结合已知AE的长度算出AB的长，最后代入平行四边形面积公式计算即可。
(2) 证明倍角关系可通过构造全等转化角：延长EM交CD延长线于点N，先利用平行四边形对边平行的性质得到∠AEM=∠N，结合M是AD中点证明△AEM≌△DNM，得到EM=MN；再由CE⊥AB、AB//CD推出CE⊥CD，可得CM是Rt△ECN斜边上的中线，得到MN=MC，进而推出∠N=∠MCN，最后利用三角形外角性质即可得到∠EMC=2∠N=2∠AEM。
【解析】
(1)解:$\because M$为$AD$的中点,$AM=2AE=4$,
$\therefore AD=2AM=8$,$AE=2$.
在$□ ABCD$中,$BC=AD=8$.
又$\because CE⊥ AB,\therefore ∠ BEC=90°$.
$\because ∠ BCE=30°,\therefore BE=\frac{1}{2}BC=4$,
$\therefore AB=AE+BE=2+4=6$,$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$,
$\therefore S_{□ ABCD}=AB· CE=6×4\sqrt{3}=24\sqrt{3}$.
(2)证明:如答图,延长$EM$,$CD$交于点$N$.
$\because$在$□ ABCD$中,$AB// CD$,
$\therefore ∠ AEM=∠ N$.
在$△ AEM$和$△ DNM$中,
$\begin{cases}∠ AEM=∠ N,\\∠ AME=∠ DMN,\\AM=DM,\end{cases}$
$\therefore △ AEM ≌ △ DNM$(AAS),
$\therefore EM=MN$.
又$\because AB// CD,CE⊥ AB$,
$\therefore CE⊥ CD$,
$\therefore CM$为$\mathrm{Rt}△ ECN$斜边上的中线,
$\therefore MN=MC,\therefore ∠ N=∠ MCN$,
$\therefore ∠ EMC=∠ N+∠ MCN=2∠ N=2∠ AEM$.
【答案】
(1) $\boxed{24\sqrt{3}}$
(2) 证明成立，辅助线如下图：

【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形、直角三角形的相关性质，第一问侧重基础几何计算，难度较低；第二问需要通过构造辅助线转化角的数量关系，能有效训练几何辅助线构造思维和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65

19.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AC=60\ \mathrm{cm}$,$∠ A=60°$,点$D$从点$C$出发沿$CA$方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是$t\ \mathrm{s}(0＜ t≤15)$.过点D作$DF⊥ BC$于点F,连接DE,EF.
(1)求证:四边形AEFD是平行四边形.
(2)当t为何值时,$△ DEF$为直角三角形?请说明理由.

(1)略
(2)当$t=\frac{15}{2}$或12时,$△ DEF$为直角三角形.

【分析】
(1) 要证明四边形AEFD是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等推导。首先利用直角三角形30°角的性质求出DF的长度，结合点E的运动规律得到AE的长度，证明AE=DF，再结合AB、DF均垂直于BC，证明AE//DF即可得证。
(2) △DEF为直角三角形时未明确直角顶点，需分三种情况讨论：①∠EDF=90°；②∠DEF=90°；③∠DFE=90°，结合平行四边形的性质、直角三角形30°角的边角关系分别列方程求解，舍去不符合运动范围的解即可得到t的取值。
【解析】
(1) 证明：在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，$∠A=60°$，
∴$∠C=30°$。
∵$DF⊥BC$，
∴$∠DFC=90°$，在$Rt△CDF$中，$∠C=30°$，点D运动速度为4cm/s，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，即$CD=4t\ \mathrm{cm}$，
∴$DF=\frac{1}{2}CD=2t\ \mathrm{cm}$。
∵点E运动速度为2cm/s，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，
∴$AE=2t\ \mathrm{cm}$，可得$AE=DF$。
∵$AB⊥BC$，$DF⊥BC$，
∴$AB//DF$，即$AE//DF$。
又
∵$AE=DF$，
∴四边形AEFD是平行四边形。
(2) 分三种情况讨论：
①当$∠EDF=90°$时，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴$DE//AB$，
∵$DE⊥DF$，$DF//AB$，
∴$DE⊥AB$，即$∠AED=90°$。
在$Rt△ADE$中，$∠A=60°$，
∴$∠ADE=30°$，根据直角三角形30°角所对直角边为斜边一半，得$AE=\frac{1}{2}AD$。
∵$AD=AC-CD=60-4t$，$AE=2t$，
∴$2t=\frac{1}{2}(60-4t)$，解得$t=\frac{15}{2}$，符合$0＜t≤15$。
②当$∠DEF=90°$时，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴$AD//EF$，
∴$∠ADE=∠DEF=90°$。
在$Rt△ADE$中，$∠A=60°$，
∴$∠AED=30°$，可得$AD=\frac{1}{2}AE$。
即$60-4t=\frac{1}{2}×2t$，解得$t=12$，符合$0＜t≤15$。
③当$∠DFE=90°$时，
∵$DF⊥BC$，
∴$∠DFC=90°$，若$∠DFE=90°$，则点F与点B重合。
在$Rt△ABC$中，$AC=60\ \mathrm{cm}$，$∠C=30°$，得$BC=30\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△CDF$中，$CF=CD·\cos30°=2\sqrt{3}t$，令$2\sqrt{3}t=30\sqrt{3}$，解得$t=15$，此时点D与A重合、点E与B重合，△DEF不存在，故舍去该情况。
综上，$t=\frac{15}{2}$或$12$时，$△DEF$为直角三角形。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $t=\frac{15}{2}$或$12$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质；动点分类讨论
【点评】
本题是动点与几何结合的综合题，考查了平行四边形的判定、直角三角形的边角性质，解题时需注意对不确定的直角顶点分类讨论，结合图形性质列方程求解后，还要验证解是否符合动点的实际运动范围，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6