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二、填空题
11. 函数 $y=\sqrt{3x-1}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是
11. 函数 $y=\sqrt{3x-1}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是
$x≥\frac{1}{3}$
。答案
11.$x≥\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要确定带二次根式的函数的自变量取值范围，首先回忆二次根式的性质：只有被开方数是非负数时，二次根式才有意义。我们先根据这个性质列出关于x的不等式，再解不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\sqrt{3x-1}$有意义，需满足二次根式的被开方数为非负数，即：
$3x-1≥0$
移项得：$3x≥1$
不等式两边同时除以3，得：
$x≥\frac{1}{3}$
【答案】
$x≥\frac{1}{3}$
【知识点】
二次根式有意义的条件、一元一次不等式的解法、函数自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础题型，是函数自变量取值范围类问题的常考类型，解题关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，熟练掌握一元一次不等式的解法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定带二次根式的函数的自变量取值范围，首先回忆二次根式的性质：只有被开方数是非负数时，二次根式才有意义。我们先根据这个性质列出关于x的不等式，再解不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\sqrt{3x-1}$有意义，需满足二次根式的被开方数为非负数，即：
$3x-1≥0$
移项得：$3x≥1$
不等式两边同时除以3，得：
$x≥\frac{1}{3}$
【答案】
$x≥\frac{1}{3}$
【知识点】
二次根式有意义的条件、一元一次不等式的解法、函数自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础题型，是函数自变量取值范围类问题的常考类型，解题关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，熟练掌握一元一次不等式的解法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
12. 如果函数$y=(m-3)x+1-m$的图象经过第二、三、四象限，那么常数$m$的取值范围为
$1＜m＜3$
。答案
12.$1＜m＜3$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象与系数$k$、$b$的符号对应关系：图象经过第二、三、四象限时，斜率$k＜0$（图象从左上向右下倾斜），且与$y$轴的截距$b＜0$（图象与$y$轴负半轴相交）。接下来我们将题目中函数的系数对应代入$k$和$b$，列出不等式组，求解不等式组的公共解集就是$m$的取值范围。
【解析】
已知一次函数$y=(m-3)x+1-m$的图象经过第二、三、四象限，根据一次函数图象性质可得：
1. 斜率小于0：$m-3＜0$，解得$m＜3$；
2. $y$轴截距小于0：$1-m＜0$，解得$m＞1$。
两个条件需同时满足，取两个解集的公共部分，可得$1＜m＜3$。
【答案】
$1＜m＜3$
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式组
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，解题核心是熟记一次函数图象经过的象限和$k$、$b$符号的对应规律，正确列出不等式组求解即可，是一次函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象与系数$k$、$b$的符号对应关系：图象经过第二、三、四象限时，斜率$k＜0$（图象从左上向右下倾斜），且与$y$轴的截距$b＜0$（图象与$y$轴负半轴相交）。接下来我们将题目中函数的系数对应代入$k$和$b$，列出不等式组，求解不等式组的公共解集就是$m$的取值范围。
【解析】
已知一次函数$y=(m-3)x+1-m$的图象经过第二、三、四象限，根据一次函数图象性质可得：
1. 斜率小于0：$m-3＜0$，解得$m＜3$；
2. $y$轴截距小于0：$1-m＜0$，解得$m＞1$。
两个条件需同时满足，取两个解集的公共部分，可得$1＜m＜3$。
【答案】
$1＜m＜3$
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式组
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，解题核心是熟记一次函数图象经过的象限和$k$、$b$符号的对应规律，正确列出不等式组求解即可，是一次函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
13.已知函数$y=2x^{2a+b}+a+2b$是正比例函数，则$a=$
$\frac{2}{3}$
，$b=$$-\frac{1}{3}$
。答案
13.$a=\frac{2}{3}$，$b=-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确正比例函数的定义：正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），满足两个核心条件：一是自变量$x$的次数为1，二是不含常数项。据此我们可以列出关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
根据正比例函数的定义，可得方程组：
$\begin{cases}2a + b = 1&① \quad \mathrm{（自变量}x\mathrm{的次数为1）} \\a + 2b = 0&② \quad \mathrm{（常数项为0）}\end{cases}$
由②式变形得：$a = -2b$ ③
将③代入①式计算：
$2×(-2b) + b = 1$
$-4b + b = 1$
$-3b = 1$
解得$b = -\frac{1}{3}$
把$b = -\frac{1}{3}$代入③式，得：
$a = -2×(-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$
【答案】
$a=\frac{2}{3}$，$b=-\frac{1}{3}$
【知识点】
正比例函数的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查正比例函数定义的应用，解题的核心是抓住正比例函数“自变量次数为1、常数项为0”的特征，列方程组求解参数即可，是函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确正比例函数的定义：正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），满足两个核心条件：一是自变量$x$的次数为1，二是不含常数项。据此我们可以列出关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
根据正比例函数的定义，可得方程组：
$\begin{cases}2a + b = 1&① \quad \mathrm{（自变量}x\mathrm{的次数为1）} \\a + 2b = 0&② \quad \mathrm{（常数项为0）}\end{cases}$
由②式变形得：$a = -2b$ ③
将③代入①式计算：
$2×(-2b) + b = 1$
$-4b + b = 1$
$-3b = 1$
解得$b = -\frac{1}{3}$
把$b = -\frac{1}{3}$代入③式，得：
$a = -2×(-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$
【答案】
$a=\frac{2}{3}$，$b=-\frac{1}{3}$
【知识点】
正比例函数的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题重点考查正比例函数定义的应用，解题的核心是抓住正比例函数“自变量次数为1、常数项为0”的特征，列方程组求解参数即可，是函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
14.一次函数$y=-2x+m$的图象经过点$P(-2,3)$，且与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$，则$△ AOB$的面积是________.
答案
14.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题时首先利用待定系数法，将点P的坐标代入一次函数解析式，求出参数m的值，得到完整的一次函数表达式；再分别令x=0、y=0，求出函数图象与y轴、x轴的交点B、A的坐标；最后根据△AOB是直角三角形，两条直角边长度分别为A点横坐标的绝对值、B点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求参数m的值：
将点$P(-2,3)$代入一次函数$y=-2x+m$，得：
$3 = -2×(-2) + m$
计算得$3 = 4 + m$，解得$m = -1$，
因此一次函数解析式为$y = -2x -1$。
2. 求与x轴交点A的坐标：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，则：
$0 = -2x -1$
解得$x = -\frac{1}{2}$，即A点坐标为$(-\frac{1}{2}, 0)$，则$OA = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$。
3. 求与y轴交点B的坐标：
y轴上的点横坐标为0，令$x=0$，则：
$y = -2×0 -1 = -1$，即B点坐标为$(0, -1)$，则$OB = |-1| = 1$。
4. 计算△AOB的面积：
△AOB为直角三角形，直角边为OA和OB，因此面积为：
$S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × OA × OB = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，解题核心是先通过已知点确定函数解析式，再准确求解函数与坐标轴的交点，计算面积时要注意对坐标取绝对值，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用待定系数法，将点P的坐标代入一次函数解析式，求出参数m的值，得到完整的一次函数表达式；再分别令x=0、y=0，求出函数图象与y轴、x轴的交点B、A的坐标；最后根据△AOB是直角三角形，两条直角边长度分别为A点横坐标的绝对值、B点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求参数m的值：
将点$P(-2,3)$代入一次函数$y=-2x+m$，得：
$3 = -2×(-2) + m$
计算得$3 = 4 + m$，解得$m = -1$，
因此一次函数解析式为$y = -2x -1$。
2. 求与x轴交点A的坐标：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，则：
$0 = -2x -1$
解得$x = -\frac{1}{2}$，即A点坐标为$(-\frac{1}{2}, 0)$，则$OA = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$。
3. 求与y轴交点B的坐标：
y轴上的点横坐标为0，令$x=0$，则：
$y = -2×0 -1 = -1$，即B点坐标为$(0, -1)$，则$OB = |-1| = 1$。
4. 计算△AOB的面积：
△AOB为直角三角形，直角边为OA和OB，因此面积为：
$S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × OA × OB = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 1 = \frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，解题核心是先通过已知点确定函数解析式，再准确求解函数与坐标轴的交点，计算面积时要注意对坐标取绝对值，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
15. 如图，射线OA，BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s，t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差
4
km/h.答案
15.4
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确s-t（路程-时间）图象的含义：速度等于物体在某段时间内行驶的路程与对应时间的比值。我们可以分别从图象中获取甲、乙两人的行驶路程和对应时间，计算出两人的速度后再求差值即可。第一步先求甲的速度：甲的运动图象从原点出发，5小时后行驶路程为100km，直接用路程除以时间得到甲的速度；第二步求乙的速度：乙在t=0时已经行驶了20km，5小时后行驶路程为100km，因此乙5小时内实际行驶的路程为总路程减去初始路程，再除以时间得到乙的速度；最后将两个速度作差得到结果。
【解析】
首先计算甲的速度：
由图可知，甲5h行驶的路程为100km，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得：
$v_甲=\frac{100\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=20\mathrm{km/h}$
再计算乙的速度：
由图可知，乙初始时已行驶20km，5h后行驶路程为100km，因此乙5h内实际行驶的路程为$100\mathrm{km}-20\mathrm{km}=80\mathrm{km}$，则：
$v_乙=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km/h}$
两人的速度差为：$v_甲 - v_乙=20\mathrm{km/h}-16\mathrm{km/h}=4\mathrm{km/h}$
【答案】
4
【知识点】
s-t图象分析；速度计算；一次函数图象应用
【点评】
本题是行程问题与函数图象结合的基础题，解题的关键是读懂图象中各特殊点的实际意义，结合行程问题的基本公式求解即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确s-t（路程-时间）图象的含义：速度等于物体在某段时间内行驶的路程与对应时间的比值。我们可以分别从图象中获取甲、乙两人的行驶路程和对应时间，计算出两人的速度后再求差值即可。第一步先求甲的速度：甲的运动图象从原点出发，5小时后行驶路程为100km，直接用路程除以时间得到甲的速度；第二步求乙的速度：乙在t=0时已经行驶了20km，5小时后行驶路程为100km，因此乙5小时内实际行驶的路程为总路程减去初始路程，再除以时间得到乙的速度；最后将两个速度作差得到结果。
【解析】
首先计算甲的速度：
由图可知，甲5h行驶的路程为100km，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得：
$v_甲=\frac{100\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=20\mathrm{km/h}$
再计算乙的速度：
由图可知，乙初始时已行驶20km，5h后行驶路程为100km，因此乙5h内实际行驶的路程为$100\mathrm{km}-20\mathrm{km}=80\mathrm{km}$，则：
$v_乙=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km/h}$
两人的速度差为：$v_甲 - v_乙=20\mathrm{km/h}-16\mathrm{km/h}=4\mathrm{km/h}$
【答案】
4
【知识点】
s-t图象分析；速度计算；一次函数图象应用
【点评】
本题是行程问题与函数图象结合的基础题，解题的关键是读懂图象中各特殊点的实际意义，结合行程问题的基本公式求解即可。
【难度系数】
0.8
三、解答题
16.已知$y$是关于$x$的一次函数，且点$(0, -8)$，$(1, 2)$在此函数图象上.
(1)求这个一次函数表达式；
(2)若点$(-2, y_1)$，$(2, y_2)$在此函数图象上，试比较$y_1$，$y_2$的大小；
(3)当$-3 ＜ y ＜ 3$时，求$x$的取值范围.
16.已知$y$是关于$x$的一次函数，且点$(0, -8)$，$(1, 2)$在此函数图象上.
(1)求这个一次函数表达式；
(2)若点$(-2, y_1)$，$(2, y_2)$在此函数图象上，试比较$y_1$，$y_2$的大小；
(3)当$-3 ＜ y ＜ 3$时，求$x$的取值范围.
答案
16.解:(1)设该一次函数的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$.
将$(0,-8),(1,2)$代入 $y=kx+b$,
得$\begin{cases} b=-8, \\ k+b=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=10, \\ b=-8, \end{cases}$
∴该一次函数的表达式为 $y=10x-8$.
(2)
∵在一次函数 $y=10x-8$ 中,$k=10＞0$,
∴$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
∵$-2＜2$,$\therefore y_1＜y_2$.
(3)当$-3＜y＜3$时,有 $-3＜10x-8＜3$,
解得 $0.5＜x＜1.1$,
∴当$-3＜y＜3$时,$x$ 的取值范围为 $0.5＜x＜1.1$.
将$(0,-8),(1,2)$代入 $y=kx+b$,
得$\begin{cases} b=-8, \\ k+b=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=10, \\ b=-8, \end{cases}$
∴该一次函数的表达式为 $y=10x-8$.
(2)
∵在一次函数 $y=10x-8$ 中,$k=10＞0$,
∴$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
∵$-2＜2$,$\therefore y_1＜y_2$.
(3)当$-3＜y＜3$时,有 $-3＜10x-8＜3$,
解得 $0.5＜x＜1.1$,
∴当$-3＜y＜3$时,$x$ 的取值范围为 $0.5＜x＜1.1$.
解析
【分析】
(1) 求一次函数表达式可使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将已知的两个点坐标代入表达式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可确定函数表达式。
(2) 比较函数值大小可利用一次函数的增减性：一次函数中$k$的符号决定$y$随$x$的变化规律，若$k＞0$，$y$随$x$的增大而增大，只需比较两个点横坐标的大小，就能快速判断对应函数值的大小，比直接代入计算更简便。
(3) 求指定$y$的范围内$x$的取值范围，只需将$y$替换为所求的一次函数表达式，得到关于$x$的连不等式，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 设该一次函数的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$。
将$(0,-8),(1,2)$代入 $y=kx+b$，
得$\begin{cases} b=-8, \\ k+b=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=10, \\ b=-8, \end{cases}$
∴该一次函数的表达式为 $y=10x-8$。
(2)
∵在一次函数 $y=10x-8$ 中，$k=10＞0$，
∴$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
∵$-2＜2$，$\therefore y_1＜y_2$。
(3) 当$-3＜y＜3$时，有 $-3＜10x-8＜3$，
不等式各部分同时加8得：$5＜10x＜11$，
不等式各部分同时除以10得：$0.5＜x＜1.1$，
∴当$-3＜y＜3$时，$x$ 的取值范围为 $0.5＜x＜1.1$。
【答案】
(1) $y=10x-8$；(2) $y_1＜y_2$；(3) $0.5＜x＜1.1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数基础综合题，围绕一次函数核心知识点设置问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，灵活运用一次函数增减性，能完成函数值范围和自变量范围的转化，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
(1) 求一次函数表达式可使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将已知的两个点坐标代入表达式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可确定函数表达式。
(2) 比较函数值大小可利用一次函数的增减性：一次函数中$k$的符号决定$y$随$x$的变化规律，若$k＞0$，$y$随$x$的增大而增大，只需比较两个点横坐标的大小，就能快速判断对应函数值的大小，比直接代入计算更简便。
(3) 求指定$y$的范围内$x$的取值范围，只需将$y$替换为所求的一次函数表达式，得到关于$x$的连不等式，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 设该一次函数的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$。
将$(0,-8),(1,2)$代入 $y=kx+b$，
得$\begin{cases} b=-8, \\ k+b=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=10, \\ b=-8, \end{cases}$
∴该一次函数的表达式为 $y=10x-8$。
(2)
∵在一次函数 $y=10x-8$ 中，$k=10＞0$，
∴$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
∵$-2＜2$，$\therefore y_1＜y_2$。
(3) 当$-3＜y＜3$时，有 $-3＜10x-8＜3$，
不等式各部分同时加8得：$5＜10x＜11$，
不等式各部分同时除以10得：$0.5＜x＜1.1$，
∴当$-3＜y＜3$时，$x$ 的取值范围为 $0.5＜x＜1.1$。
【答案】
(1) $y=10x-8$；(2) $y_1＜y_2$；(3) $0.5＜x＜1.1$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数基础综合题，围绕一次函数核心知识点设置问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，灵活运用一次函数增减性，能完成函数值范围和自变量范围的转化，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
