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17.已知直线$y=\frac{1}{2}x+3$与$y$轴交于点$A$，直线$y=x-2$与$x$轴交于点$B$.求：
(1)直线$AB$的函数表达式；
(2)$S_{△ AOB}$的面积.
(1)直线$AB$的函数表达式；
(2)$S_{△ AOB}$的面积.
答案
17.解:(1)
∵直线 $y=\frac{1}{2}x+3$ 与 $y$ 轴交于点 $A$,直线$y=x-2$ 与 $x$ 轴交于点 $B$,
∴$A(0,3),B(2,0)$.
设直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=kx+3$,且过点 $B$,
∴$0=2k+3$,解得 $k=-\frac{3}{2}$,
∴直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=-\frac{3}{2}x+3$.
(2)$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AO· BO=\frac{1}{2}×3×2=3$,
即$△ AOB$ 的面积为 3.
∵直线 $y=\frac{1}{2}x+3$ 与 $y$ 轴交于点 $A$,直线$y=x-2$ 与 $x$ 轴交于点 $B$,
∴$A(0,3),B(2,0)$.
设直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=kx+3$,且过点 $B$,
∴$0=2k+3$,解得 $k=-\frac{3}{2}$,
∴直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=-\frac{3}{2}x+3$.
(2)$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AO· BO=\frac{1}{2}×3×2=3$,
即$△ AOB$ 的面积为 3.
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 求直线AB的解析式首先需确定A、B两点的坐标：点A是直线$y=\frac{1}{2}x+3$与y轴的交点，y轴上的点横坐标为0，代入直线方程即可求出A的坐标；点B是直线$y=x-2$与x轴的交点，x轴上的点纵坐标为0，代入直线方程可求出B的坐标。得到两点坐标后，使用待定系数法设直线AB的解析式，代入坐标求解参数即可，因点A在y轴上，可直接得到解析式的常数项，简化计算。
(2) 求$△ AOB$的面积时，观察可知$△ AOB$是以原点O为直角顶点的直角三角形，OA是点A到原点的距离，即A点纵坐标的绝对值，OB是点B到原点的距离，即B点横坐标的绝对值，代入直角三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
∵ 直线$y=\frac{1}{2}x+3$与y轴交于点A，将$x=0$代入直线方程，得$y=3$，
∴ $A(0,3)$；
∵ 直线$y=x-2$与x轴交于点B，将$y=0$代入直线方程，得$x=2$，
∴ $B(2,0)$。
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(0,3)$代入得$b=3$，即解析式为$y=kx+3$；
将$B(2,0)$代入$y=kx+3$，得$0=2k+3$，解得$k=-\frac{3}{2}$；
∴ 直线AB的函数表达式为$y=-\frac{3}{2}x+3$。
(2) 计算$△ AOB$的面积：
由坐标可知$AO=3$，$BO=2$，$∠ AOB=90°$，
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}·AO·BO=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
(1) 直线AB的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{2}x+3}$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
一次函数点坐标特征；待定系数法求解析式；坐标系面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考察基础知识点的应用，解题关键是正确求解一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和几何面积计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：
(1) 求直线AB的解析式首先需确定A、B两点的坐标：点A是直线$y=\frac{1}{2}x+3$与y轴的交点，y轴上的点横坐标为0，代入直线方程即可求出A的坐标；点B是直线$y=x-2$与x轴的交点，x轴上的点纵坐标为0，代入直线方程可求出B的坐标。得到两点坐标后，使用待定系数法设直线AB的解析式，代入坐标求解参数即可，因点A在y轴上，可直接得到解析式的常数项，简化计算。
(2) 求$△ AOB$的面积时，观察可知$△ AOB$是以原点O为直角顶点的直角三角形，OA是点A到原点的距离，即A点纵坐标的绝对值，OB是点B到原点的距离，即B点横坐标的绝对值，代入直角三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
∵ 直线$y=\frac{1}{2}x+3$与y轴交于点A，将$x=0$代入直线方程，得$y=3$，
∴ $A(0,3)$；
∵ 直线$y=x-2$与x轴交于点B，将$y=0$代入直线方程，得$x=2$，
∴ $B(2,0)$。
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(0,3)$代入得$b=3$，即解析式为$y=kx+3$；
将$B(2,0)$代入$y=kx+3$，得$0=2k+3$，解得$k=-\frac{3}{2}$；
∴ 直线AB的函数表达式为$y=-\frac{3}{2}x+3$。
(2) 计算$△ AOB$的面积：
由坐标可知$AO=3$，$BO=2$，$∠ AOB=90°$，
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}·AO·BO=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
(1) 直线AB的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{2}x+3}$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
一次函数点坐标特征；待定系数法求解析式；坐标系面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考察基础知识点的应用，解题关键是正确求解一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和几何面积计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
18.一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动.快车离乙地的距离$y_1$(km)与行驶的时间$x$(h)之间的函数关系，如图中线段AB所示；慢车离乙地的距离$y_2$(km)与行驶的时间$x$(h)之间的函数关系，如图中线段OC所示.
(1)求甲、乙两地之间的距离；
(2)求线段AB和线段OC对应的函数表达式；
(3)设快、慢车之间的距离为$y$(km)，画出函数的大致图象.
(1)求甲、乙两地之间的距离；
(2)求线段AB和线段OC对应的函数表达式；
(3)设快、慢车之间的距离为$y$(km)，画出函数的大致图象.
答案
18.解:(1)由图象可得,甲、乙两地之间的距离为 450 km.
(2)设线段 $AB$ 对应的函数表达式为 $y_1=kx+b$.
依题意,得$\begin{cases} b=450, \\ 3k+b=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-150, \\ b=450, \end{cases}$
即线段 $AB$ 对应的函数表达式为 $y_1=-150x+450$$(0≤x≤3)$.
设线段 $OC$ 对应的函数表达式为 $y_2=ax$,$450=6a$,解得 $a=75$,即线段 $OC$ 对应的函数表达式为 $y_2=75x(0≤x≤6)$.
(3)甲车的速度为 $450÷3=150(\mathrm{km/h})$,乙车的速度为$450÷6=75(\mathrm{km/h})$,故甲、乙两车相遇的时间为$450÷(150+75)=2(\mathrm{h})$.
设快、慢车之间的距离为 $y(\mathrm{km})$,这个函数的大致图象如
所示.解析
【分析】
1. 第一问：观察线段AB的起点坐标，x=0时快车未出发，此时快车离乙地的距离就是甲乙两地的总距离，直接从图象读取数值即可。
2. 第二问：用待定系数法求一次函数解析式，线段AB过(0,450)和(3,0)两个点，代入一次函数一般式$y=kx+b$即可求出系数；线段OC是过原点的正比例函数，过点(6,450)，代入$y=ax$即可求出a的值，同时要标注自变量的取值范围。
3. 第三问：先计算两车的行驶速度，再求出两车相遇的时间，分三个阶段分析两车距离的变化：①出发到相遇（0≤x≤2），两车距离随时间增大减小到0；②相遇后到快车到达乙地（2＜x≤3），两车距离随时间增大而增大；③快车到达乙地后到慢车到达甲地（3＜x≤6），两车距离随慢车行驶继续增大，根据各阶段的关键点坐标即可画出大致图象。
【解析】
(1) 由图象可知，x=0时快车还未出发，此时快车离乙地的距离为450km，因此甲、乙两地之间的距离为450km。
(2) 求线段AB对应的函数表达式：
设线段AB的函数表达式为$y_1=kx+b\ (k≠0)$，
已知AB过点$(0,450)$和$(3,0)$，代入得：
$\begin{cases} b=450 \\ 3k+b=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-150 \\ b=450 \end{cases}$
即线段AB对应的函数表达式为$y_1=-150x+450\quad(0≤ x≤3)$。
求线段OC对应的函数表达式：
设线段OC的函数表达式为$y_2=ax\ (a≠0)$，
已知OC过点$(6,450)$，代入得：
$450=6a$，解得$a=75$
即线段OC对应的函数表达式为$y_2=75x\quad(0≤ x≤6)$。
(3) 先计算两车速度：快车速度为$450÷3=150(\mathrm{km/h})$，慢车速度为$450÷6=75(\mathrm{km/h})$，
两车相遇时间为$450÷(150+75)=2(\mathrm{h})$，
根据两车行驶的阶段特征，得到关键点坐标为$(0,450)$、$(2,0)$、$(3,225)$、$(6,450)$，连接各点即可得到函数大致图象。
【答案】
(1) 甲、乙两地之间的距离为$\boxed{450\mathrm{km}}$；
(2) 线段AB对应的函数表达式为$\boxed{y_1=-150x+450\ (0≤ x≤3)}$，线段OC对应的函数表达式为$\boxed{y_2=75x\ (0≤ x≤6)}$；
(3) 函数大致图象如下：
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，行程问题建模
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，需要学生掌握从图象中提取有效信息的能力，既能用待定系数法求解函数解析式，也能结合行程规律分阶段分析变量的变化关系，对读图能力和逻辑分析能力有一定锻炼价值。
【难度系数】
0.6
1. 第一问：观察线段AB的起点坐标，x=0时快车未出发，此时快车离乙地的距离就是甲乙两地的总距离，直接从图象读取数值即可。
2. 第二问：用待定系数法求一次函数解析式，线段AB过(0,450)和(3,0)两个点，代入一次函数一般式$y=kx+b$即可求出系数；线段OC是过原点的正比例函数，过点(6,450)，代入$y=ax$即可求出a的值，同时要标注自变量的取值范围。
3. 第三问：先计算两车的行驶速度，再求出两车相遇的时间，分三个阶段分析两车距离的变化：①出发到相遇（0≤x≤2），两车距离随时间增大减小到0；②相遇后到快车到达乙地（2＜x≤3），两车距离随时间增大而增大；③快车到达乙地后到慢车到达甲地（3＜x≤6），两车距离随慢车行驶继续增大，根据各阶段的关键点坐标即可画出大致图象。
【解析】
(1) 由图象可知，x=0时快车还未出发，此时快车离乙地的距离为450km，因此甲、乙两地之间的距离为450km。
(2) 求线段AB对应的函数表达式：
设线段AB的函数表达式为$y_1=kx+b\ (k≠0)$，
已知AB过点$(0,450)$和$(3,0)$，代入得：
$\begin{cases} b=450 \\ 3k+b=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-150 \\ b=450 \end{cases}$
即线段AB对应的函数表达式为$y_1=-150x+450\quad(0≤ x≤3)$。
求线段OC对应的函数表达式：
设线段OC的函数表达式为$y_2=ax\ (a≠0)$，
已知OC过点$(6,450)$，代入得：
$450=6a$，解得$a=75$
即线段OC对应的函数表达式为$y_2=75x\quad(0≤ x≤6)$。
(3) 先计算两车速度：快车速度为$450÷3=150(\mathrm{km/h})$，慢车速度为$450÷6=75(\mathrm{km/h})$，
两车相遇时间为$450÷(150+75)=2(\mathrm{h})$，
根据两车行驶的阶段特征，得到关键点坐标为$(0,450)$、$(2,0)$、$(3,225)$、$(6,450)$，连接各点即可得到函数大致图象。
【答案】
(1) 甲、乙两地之间的距离为$\boxed{450\mathrm{km}}$；
(2) 线段AB对应的函数表达式为$\boxed{y_1=-150x+450\ (0≤ x≤3)}$，线段OC对应的函数表达式为$\boxed{y_2=75x\ (0≤ x≤6)}$；
(3) 函数大致图象如下：
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，行程问题建模
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，需要学生掌握从图象中提取有效信息的能力，既能用待定系数法求解函数解析式，也能结合行程规律分阶段分析变量的变化关系，对读图能力和逻辑分析能力有一定锻炼价值。
【难度系数】
0.6
