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19. 甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同.春节期间,两家采摘园推出优惠方案,甲园的优惠方案是:游客进园需购买门票,采摘的草莓六折优惠;乙园的优惠方案是:游客进园不需购买门票,采摘的草莓超过一定数量后,超过部分打折优惠.优惠期间,某游客的草莓采摘量为$x(\mathrm{kg})$,在甲园所需总费用为$y_甲$(元),在乙园所需总费用为$y_乙$(元),$y_甲$、$y_乙$与$x$之间的函数关系如图所示,折线$OAB$表示$y_乙$与$x$之间的函数关系.
(1)甲采摘园的门票是
(2)当$x＞10$时,求$y_乙$与$x$之间的函数表达式.
(3)游客在春节期间采摘多少千克草莓时,甲、乙两家采摘园的总费用相同?
(1)甲采摘园的门票是
60
元,两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克30
元.(2)当$x＞10$时,求$y_乙$与$x$之间的函数表达式.
(3)游客在春节期间采摘多少千克草莓时,甲、乙两家采摘园的总费用相同?
答案
19.解:(1)60 30
(2)当 $x＞10$ 时,设 $y_乙$ 与 $x$ 的函数表达式是 $y_乙=kx+b$.
依题意,得$\begin{cases} 10k+b=300, \\ 25k+b=480, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=12, \\ b=180, \end{cases}$
即当 $x＞10$ 时,$y_乙$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_乙=12x+180$.
(3)由题意,得 $y_甲=60+30×0.6x=18x+60$,
当 $0＜x＜10$ 时,令 $18x+60=30x$,得 $x=5$;
当 $x＞10$ 时,令 $18x+60=12x+180$,得 $x=20$.
答:采摘 5 kg 或 20 kg 草莓时,甲、乙两家采摘园的总费用相同.
(2)当 $x＞10$ 时,设 $y_乙$ 与 $x$ 的函数表达式是 $y_乙=kx+b$.
依题意,得$\begin{cases} 10k+b=300, \\ 25k+b=480, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=12, \\ b=180, \end{cases}$
即当 $x＞10$ 时,$y_乙$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y_乙=12x+180$.
(3)由题意,得 $y_甲=60+30×0.6x=18x+60$,
当 $0＜x＜10$ 时,令 $18x+60=30x$,得 $x=5$;
当 $x＞10$ 时,令 $18x+60=12x+180$,得 $x=20$.
答:采摘 5 kg 或 20 kg 草莓时,甲、乙两家采摘园的总费用相同.
解析
【分析】
(1)甲园需购买门票，采摘量为0时的总费用就是门票价格，观察图像可得x=0时y_甲=60，即门票60元；乙园x≤10时无优惠，10kg总费用300元，用总费用除以质量即可得到优惠前的单价。
(2)当x＞10时，y_乙的图像是过点A(10,300)、B(25,480)的直线，因此可设一次函数解析式为y_乙=kx+b，将两个点的坐标代入解析式，解二元一次方程组即可求得k、b的值，得到函数表达式。
(3)先根据甲园的优惠方案写出y_甲的函数表达式，再分两种情况讨论：①0＜x≤10时，乙园总费用为原价计算的费用，令y_甲=y_乙列方程求解；②x＞10时，用(2)中得到的y_乙表达式，令y_甲=y_乙列方程求解，最终得到两个符合要求的解。
【解析】
(1)当x=0时，y_甲=60，即甲采摘园门票为60元；
乙园10kg草莓总费用300元，优惠前单价为$300÷10=30$(元/千克)。
(2)当 $x＞10$ 时，设 $y_乙$ 与 $x$ 的函数表达式是 $y_乙=kx+b$，
将$(10,300)$、$(25,480)$代入得：
$\begin{cases} 10k+b=300, \\ 25k+b=480, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=12, \\ b=180, \end{cases}$
即当 $x＞10$ 时，$y_乙=12x+180$。
(3)根据甲园优惠方案，$y_甲=60+30×0.6x=18x+60$，
分两种情况讨论：
①当 $0＜x≤10$ 时，$y_乙=30x$，令$18x+60=30x$，
解得$x=5$，符合取值范围；
②当 $x＞10$ 时，令$18x+60=12x+180$，
解得$x=20$，符合取值范围。
【答案】
(1)60，30
(2)$y_乙=12x+180(x＞10)$
(3)采摘5kg或20kg草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，分类讨论思想
【点评】
本题结合实际消费场景考查一次函数的相关知识，需要学生从函数图像中提取有效信息，结合题意分段分析函数关系，既考查了学生的读图能力，也考查了分类讨论的数学思想，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1)甲园需购买门票，采摘量为0时的总费用就是门票价格，观察图像可得x=0时y_甲=60，即门票60元；乙园x≤10时无优惠，10kg总费用300元，用总费用除以质量即可得到优惠前的单价。
(2)当x＞10时，y_乙的图像是过点A(10,300)、B(25,480)的直线，因此可设一次函数解析式为y_乙=kx+b，将两个点的坐标代入解析式，解二元一次方程组即可求得k、b的值，得到函数表达式。
(3)先根据甲园的优惠方案写出y_甲的函数表达式，再分两种情况讨论：①0＜x≤10时，乙园总费用为原价计算的费用，令y_甲=y_乙列方程求解；②x＞10时，用(2)中得到的y_乙表达式，令y_甲=y_乙列方程求解，最终得到两个符合要求的解。
【解析】
(1)当x=0时，y_甲=60，即甲采摘园门票为60元；
乙园10kg草莓总费用300元，优惠前单价为$300÷10=30$(元/千克)。
(2)当 $x＞10$ 时，设 $y_乙$ 与 $x$ 的函数表达式是 $y_乙=kx+b$，
将$(10,300)$、$(25,480)$代入得：
$\begin{cases} 10k+b=300, \\ 25k+b=480, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=12, \\ b=180, \end{cases}$
即当 $x＞10$ 时，$y_乙=12x+180$。
(3)根据甲园优惠方案，$y_甲=60+30×0.6x=18x+60$，
分两种情况讨论：
①当 $0＜x≤10$ 时，$y_乙=30x$，令$18x+60=30x$，
解得$x=5$，符合取值范围；
②当 $x＞10$ 时，令$18x+60=12x+180$，
解得$x=20$，符合取值范围。
【答案】
(1)60，30
(2)$y_乙=12x+180(x＞10)$
(3)采摘5kg或20kg草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，分类讨论思想
【点评】
本题结合实际消费场景考查一次函数的相关知识，需要学生从函数图像中提取有效信息，结合题意分段分析函数关系，既考查了学生的读图能力，也考查了分类讨论的数学思想，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
20.如图,已知直线$AB:y=-x+4$与直线$AC$交于点$A$,与$x$轴交于点$B$,与$y$轴交于点$E$,且直线$AC$过点$C(-2,0)$和点$D(0,1)$,连接$BD$.
(1)求直线$AC$的函数表达式.
(2)求交点$A$的坐标,并求出$△ ADB$的面积.
(3)在$x$轴上是否存在一点$P$,使得$AP+DP$的值最小?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求直线$AC$的函数表达式.
(2)求交点$A$的坐标,并求出$△ ADB$的面积.
(3)在$x$轴上是否存在一点$P$,使得$AP+DP$的值最小?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
20.解:(1)设直线 $AC$ 的函数表达式为 $y=kx+b$.
根据题意,得$\begin{cases} 0=-2k+b, \\ 1=b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=\frac{1}{2}, \\ b=1, \end{cases}$
∴直线 $AC$ 的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x+1$.
(2)联立$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x+1, \\ y=-x+4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=2, \\ y=2, \end{cases}$
∴点 $A$ 的坐标为 $(2,2)$.
由已知可得点 $B(4,0)$,点 $E(0,4)$,
∴$OB=4$,$OE=4$.
∵$DO=1$,$\therefore DE=3$.
∵$S_{△ ADB}=S_{△ BDE}-S_{△ ADE}=\frac{1}{2}DE·(x_B-x_A)=3$.
(3)存在.理由如下:
作点 $D$ 关于 $x$ 轴的对称点 $D'(0,-1)$,则 $AP+DP=AP+D'P$,当 $A,P,D'$ 三点共线时,$AP+DP$ 的值最小.
设直线 $AD'$ 的函数表达式为 $y=mx+n$.
把 $A(2,2)$,$D'(0,-1)$ 代入,
得$\begin{cases} n=-1, \\ 2=2m+n, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=\frac{3}{2}, \\ n=-1, \end{cases}$
∴直线 $AD'$ 的函数表达式为 $y=\frac{3}{2}x-1$.
∵当 $y=0$ 时,$x=\frac{2}{3}$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(\frac{2}{3},0)$.
根据题意,得$\begin{cases} 0=-2k+b, \\ 1=b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=\frac{1}{2}, \\ b=1, \end{cases}$
∴直线 $AC$ 的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x+1$.
(2)联立$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x+1, \\ y=-x+4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=2, \\ y=2, \end{cases}$
∴点 $A$ 的坐标为 $(2,2)$.
由已知可得点 $B(4,0)$,点 $E(0,4)$,
∴$OB=4$,$OE=4$.
∵$DO=1$,$\therefore DE=3$.
∵$S_{△ ADB}=S_{△ BDE}-S_{△ ADE}=\frac{1}{2}DE·(x_B-x_A)=3$.
(3)存在.理由如下:
作点 $D$ 关于 $x$ 轴的对称点 $D'(0,-1)$,则 $AP+DP=AP+D'P$,当 $A,P,D'$ 三点共线时,$AP+DP$ 的值最小.
设直线 $AD'$ 的函数表达式为 $y=mx+n$.
把 $A(2,2)$,$D'(0,-1)$ 代入,
得$\begin{cases} n=-1, \\ 2=2m+n, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=\frac{3}{2}, \\ n=-1, \end{cases}$
∴直线 $AD'$ 的函数表达式为 $y=\frac{3}{2}x-1$.
∵当 $y=0$ 时,$x=\frac{2}{3}$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(\frac{2}{3},0)$.
解析
【分析】
(1) 已知直线经过两个确定的点，采用待定系数法求解解析式：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将C、D两点坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到k、b的值，进而得到直线AC的表达式。
(2) 两条直线的交点坐标是两个直线解析式联立组成的方程组的解，因此联立AC和AB的解析式，解方程组即可得到A点坐标。求△ADB的面积采用割补法：先找到直线AB与y轴的交点E，用△BDE的面积减去△ADE的面积，即可得到△ADB的面积，利用两点水平坐标差计算更简便。
(3) 本题属于“将军饮马”最短路径问题：根据轴对称的性质，作D关于x轴的对称点$D'$，则$DP=D'P$，因此$AP+DP=AP+D'P$，当A、P、$D'$三点共线时，$AP+D'P$的长度最小（两点之间线段最短），此时P是直线$AD'$与x轴的交点，求出直线$AD'$的解析式后令$y=0$即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 设直线AC的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$C(-2,0)$、$D(0,1)$代入表达式，得：
$\begin{cases} 0=-2k+b \\ 1=b \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2} \\ b=1 \end{cases}$
∴直线AC的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+1$。
(2) 联立直线AC和AB的解析式，得：
$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x+1 \\ y=-x+4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$
∴点A的坐标为$(2,2)$。
对于直线$AB:y=-x+4$，令$y=0$，得$x=4$，即$B(4,0)$；令$x=0$，得$y=4$，即$E(0,4)$。
∴$DE=OE-OD=4-1=3$，
$S_{△ ADB}=S_{△ BDE}-S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× DE×(x_B - x_A)=\frac{1}{2}×3×(4-2)=3$。
(3) 存在，理由如下：
作点D关于x轴的对称点$D'(0,-1)$，根据轴对称性质，$DP=D'P$，因此$AP+DP=AP+D'P$，当A、P、$D'$三点共线时，$AP+D'P$最小，即$AP+DP$最小。
设直线$AD'$的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$，将$A(2,2)$、$D'(0,-1)$代入得：
$\begin{cases} n=-1 \\ 2=2m+n \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\frac{3}{2} \\ n=-1 \end{cases}$
∴直线$AD'$的解析式为$y=\frac{3}{2}x-1$。
令$y=0$，得$0=\frac{3}{2}x-1$，解得$x=\frac{2}{3}$，
∴点P的坐标为$(\frac{2}{3},0)$。
【答案】
(1) 直线AC的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+1}$；
(2) 点A的坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$，$△ ADB$的面积为$\boldsymbol{3}$；
(3) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(\frac{2}{3},0)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点计算，轴对称最短路径
【点评】
本题是一次函数与几何结合的综合题，涵盖了一次函数解析式求解、交点坐标计算、图形面积计算以及最短路径模型的应用，侧重考察对一次函数基础知识的掌握和几何模型的灵活运用，是初中函数部分的常见经典考法。
【难度系数】
0.65
(1) 已知直线经过两个确定的点，采用待定系数法求解解析式：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，将C、D两点坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到k、b的值，进而得到直线AC的表达式。
(2) 两条直线的交点坐标是两个直线解析式联立组成的方程组的解，因此联立AC和AB的解析式，解方程组即可得到A点坐标。求△ADB的面积采用割补法：先找到直线AB与y轴的交点E，用△BDE的面积减去△ADE的面积，即可得到△ADB的面积，利用两点水平坐标差计算更简便。
(3) 本题属于“将军饮马”最短路径问题：根据轴对称的性质，作D关于x轴的对称点$D'$，则$DP=D'P$，因此$AP+DP=AP+D'P$，当A、P、$D'$三点共线时，$AP+D'P$的长度最小（两点之间线段最短），此时P是直线$AD'$与x轴的交点，求出直线$AD'$的解析式后令$y=0$即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 设直线AC的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$C(-2,0)$、$D(0,1)$代入表达式，得：
$\begin{cases} 0=-2k+b \\ 1=b \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2} \\ b=1 \end{cases}$
∴直线AC的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+1$。
(2) 联立直线AC和AB的解析式，得：
$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x+1 \\ y=-x+4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$
∴点A的坐标为$(2,2)$。
对于直线$AB:y=-x+4$，令$y=0$，得$x=4$，即$B(4,0)$；令$x=0$，得$y=4$，即$E(0,4)$。
∴$DE=OE-OD=4-1=3$，
$S_{△ ADB}=S_{△ BDE}-S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× DE×(x_B - x_A)=\frac{1}{2}×3×(4-2)=3$。
(3) 存在，理由如下：
作点D关于x轴的对称点$D'(0,-1)$，根据轴对称性质，$DP=D'P$，因此$AP+DP=AP+D'P$，当A、P、$D'$三点共线时，$AP+D'P$最小，即$AP+DP$最小。
设直线$AD'$的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$，将$A(2,2)$、$D'(0,-1)$代入得：
$\begin{cases} n=-1 \\ 2=2m+n \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\frac{3}{2} \\ n=-1 \end{cases}$
∴直线$AD'$的解析式为$y=\frac{3}{2}x-1$。
令$y=0$，得$0=\frac{3}{2}x-1$，解得$x=\frac{2}{3}$，
∴点P的坐标为$(\frac{2}{3},0)$。
【答案】
(1) 直线AC的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+1}$；
(2) 点A的坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$，$△ ADB$的面积为$\boldsymbol{3}$；
(3) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(\frac{2}{3},0)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点计算，轴对称最短路径
【点评】
本题是一次函数与几何结合的综合题，涵盖了一次函数解析式求解、交点坐标计算、图形面积计算以及最短路径模型的应用，侧重考察对一次函数基础知识的掌握和几何模型的灵活运用，是初中函数部分的常见经典考法。
【难度系数】
0.65
