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1. 对于抛物线$y=2(x-1)^2$，下列说法正确的有（
①开口向上；②顶点坐标为$(0,-1)$；③对称轴为直线$x=1$；④与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①开口向上；②顶点坐标为$(0,-1)$；③对称轴为直线$x=1$；④与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C 【点拨】抛物线$y=2(x-1)^2$开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$，与$x$轴的交点坐标即为它的顶点坐标$(1,0)$。故①③④正确。
2. 若点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2$（$a≠0$）上，则下列各点在抛物线$y=a(x+1)^2$上的是（
A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$
D
）A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$
答案
2.D 【点拨】
∵抛物线$y=a(x+1)^2$可看作是由抛物线$y=ax^2$向左平移1个单位长度得到的，
∴抛物线$y=ax^2$上的点$P(m,n)$向左平移1个单位长度后，会在抛物线$y=a(x+1)^2$上。
∴点$(m-1,n)$在抛物线$y=a(x+1)^2$上。故选D.
∵抛物线$y=a(x+1)^2$可看作是由抛物线$y=ax^2$向左平移1个单位长度得到的，
∴抛物线$y=ax^2$上的点$P(m,n)$向左平移1个单位长度后，会在抛物线$y=a(x+1)^2$上。
∴点$(m-1,n)$在抛物线$y=a(x+1)^2$上。故选D.
3. 新考法 假设分析法 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+c$和二次函数$y=a(x+c)^2$的图象可能是（
B
）答案
3.B 【点拨】A选项，由抛物线可得$a＜0$，由直线可得$a＞0$，矛盾，故错误；B选项，由抛物线可得$a＜0,c＞0$，由直线可得$a＜0,c＞0$，不矛盾，故正确；C选项，由抛物线可得$c＞0$，由直线可得$c＜0$，矛盾，故错误；D选项，由抛物线可得$a＞0$，由直线可得$a＜0$，矛盾，故错误。
4. [2026安庆期中] 已知点$A(-1,y_1),B(2,y_2),C(6,y_3)$在抛物线$y=(x-2)^2$上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是(用“＜”连接)
$y_2＜y_1＜y_3$
。答案
4.$y_2＜y_1＜y_3$ 【点拨】
∵抛物线$y=(x-2)^2$开口向上，有最小值，对称轴是直线$x=2$，
∴当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵$A(-1,y_1)$关于直线$x=2$的对称点为$(5,y_1)$，且$5＜6$，
∴$y_1＜y_3$。
∵$B(2,y_2)$是顶点，
∴$y_2$最小。
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
∵抛物线$y=(x-2)^2$开口向上，有最小值，对称轴是直线$x=2$，
∴当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵$A(-1,y_1)$关于直线$x=2$的对称点为$(5,y_1)$，且$5＜6$，
∴$y_1＜y_3$。
∵$B(2,y_2)$是顶点，
∴$y_2$最小。
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
5. 已知抛物线 $y=a(x-h)^2$，当 $x=2$ 时，函数有最大值，且抛物线过点$(1,-3)$。
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)当 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时，求 $x$ 的取值范围；
(3)当 $-1≤ x≤3$ 时，求 $y$ 的最小值。
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)当 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时，求 $x$ 的取值范围；
(3)当 $-1≤ x≤3$ 时，求 $y$ 的最小值。
答案
5.【解】(1)由已知可得 $y=a(x-2)^2$。
∵抛物线过点$(1,-3)$，
∴$-3=a(1-2)^2$，解得 $a=-3$。
∴此抛物线对应的函数表达式为 $y=-3(x-2)^2$。
(2)易知抛物线的对称轴为直线 $x=2$，且抛物线开口向下，
∴当 $x＜2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
(3)当$x=-1$时，$y=-27$；当 $x=3$ 时，$y=-3$。
∵$-27＜-3$，
∴当$-1≤x≤3$时，$y$ 的最小值为 $-27$。
∵抛物线过点$(1,-3)$，
∴$-3=a(1-2)^2$，解得 $a=-3$。
∴此抛物线对应的函数表达式为 $y=-3(x-2)^2$。
(2)易知抛物线的对称轴为直线 $x=2$，且抛物线开口向下，
∴当 $x＜2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
(3)当$x=-1$时，$y=-27$；当 $x=3$ 时，$y=-3$。
∵$-27＜-3$，
∴当$-1≤x≤3$时，$y$ 的最小值为 $-27$。
6. [2026西安铁一中期中] 把抛物线$y=x^2$平移得到抛物线$y=(x+2)^2$，则这个平移过程正确的是(
A.向左平移2个单位长度
B.向右平移2个单位长度
C.向上平移2个单位长度
D.向下平移2个单位长度
A
)A.向左平移2个单位长度
B.向右平移2个单位长度
C.向上平移2个单位长度
D.向下平移2个单位长度
答案
6.A
7. 将抛物线 $ y=-7x^2 $ 向右平移4个单位长度所得到的抛物线的表达式为 （
A.$ y=-7(x+4)^2 $
B.$ y=-7(x-4)^2 $
C.$ y=-7x^2+4 $
D.$ y=-7x^2-4 $
B
）A.$ y=-7(x+4)^2 $
B.$ y=-7(x-4)^2 $
C.$ y=-7x^2+4 $
D.$ y=-7x^2-4 $
答案
7.B
8. 已知二次函数 $ y_1 = -3x^2 $，$ y_2 = -3(x+2)^2 $ 和 $ y_3 = -3(x-2)^2 $。
(1) 在如图的平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2) 分别写出三个函数图象的顶点坐标；
(3) 试说明分别通过怎样的平移，可以由函数 $ y_1 = -3x^2 $ 的图象得到函数 $ y_2 = -3(x+2)^2 $ 和函数 $ y_3 = -3(x-2)^2 $ 的图象；
(4) 根据图象回答：
① 当 $ x=1 $ 时，$ y_1 $
当 $ x=-1 $ 时，$ y_1 $
② 若 $ y_2 ＞ y_1 $，求 $ x $ 的取值范围。
(1) 在如图的平面直角坐标系中画出它们的图象；
(2) 分别写出三个函数图象的顶点坐标；
(3) 试说明分别通过怎样的平移，可以由函数 $ y_1 = -3x^2 $ 的图象得到函数 $ y_2 = -3(x+2)^2 $ 和函数 $ y_3 = -3(x-2)^2 $ 的图象；
(4) 根据图象回答：
① 当 $ x=1 $ 时，$ y_1 $
=
$ y_3 $；当 $ x=-1 $ 时，$ y_1 $
=
$ y_2 $ ＞
$ y_3 $。（填“＞”“＜”或“=”）② 若 $ y_2 ＞ y_1 $，求 $ x $ 的取值范围。
答案
8.【解】(1)画图略。
(2)函数 $y_1=-3x^2$，$y_2=-3(x+2)^2$，$y_3=-3(x-2)^2$ 图象的顶点坐标分别为$(0,0)$，$(-2,0)$，$(2,0)$。
(3)函数 $y_2=-3(x+2)^2$ 的图象由函数 $y_1=-3x^2$ 的图象向左平移2个单位长度得到，函数 $y_3=-3(x-2)^2$ 的图象由函数 $y_1=-3x^2$ 的图象向右平移2个单位长度得到。
(4)①$=$；$=$；$＞$ ②由图象易知 $x＜-1$。
(2)函数 $y_1=-3x^2$，$y_2=-3(x+2)^2$，$y_3=-3(x-2)^2$ 图象的顶点坐标分别为$(0,0)$，$(-2,0)$，$(2,0)$。
(3)函数 $y_2=-3(x+2)^2$ 的图象由函数 $y_1=-3x^2$ 的图象向左平移2个单位长度得到，函数 $y_3=-3(x-2)^2$ 的图象由函数 $y_1=-3x^2$ 的图象向右平移2个单位长度得到。
(4)①$=$；$=$；$＞$ ②由图象易知 $x＜-1$。
9. 新考法 逆向思维法 已知抛物线 $ y=-2x^2 $，若抛物线不动，把y轴向左平移3个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的表达式为
$y=-2(x-3)^2$
。答案
9.$y=-2(x-3)^2$ 【点拨】由题意，可把 $y$ 轴向左平移3个单位长度看作坐标轴不动，抛物线向右平移3个单位长度，然后利用平移规律求解即可。
