12. 如图,已知抛物线$y=-x^2+2$,将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作$C_1$,将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作$C_2$,$C_1$和$C_2$构成的图形记作$C_3$,关于图形$C_3$,给出如下四个结论:①图形$C_3$关于y轴对称;②图形$C_3$有最低点,且最低点的纵坐标为0;③当$x＞0$时,图形$C_3$的函数值都是随着x的增大而增大的;④当$-2≤x≤2$时,图形$C_3$恰好经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点),其中所有正确结论的序号是.

12.①②④ 【点拨】如图所示,①图形 $C_3$ 关于 $y$ 轴对称,故正确;②图形 $C_3$ 有最低点,且最低点的纵坐标为 0,故正确;③当 $x＞0$ 时,图形 $C_3$ 与 $x$ 轴交点的左侧的函数值都是随着 $x$ 的增大而减小的,图形 $C_3$ 与 $x$ 轴交点的右侧的函数值都是随着 $x$ 的增大而增大的,故错误;④当 $-2≤x≤2$时,图形 $C_3$ 恰好经过 5 个整点(即横、纵坐标均为整数的点),故正确;故答案为①②④.

13. 新考法 特殊位置法 已知抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 +1$具有如下性质:抛物线上任意一点到定点$F(0,2)$的距离与到$x$轴的距离相等,如图,点$M$的坐标为$(\sqrt{3},3)$,$P$是抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 +1$上一动点.
(1)当$△ POF$的面积为4时,求点$P$的坐标;
(2)求$△ PMF$周长的最小值.

13.【解】(1)设点 $P$ 的坐标为 $(x,\frac{1}{4}x^2+1)$.$\because$ 点 $F$ 的坐标为 $(0,2)$,$\therefore OF=2$.$\therefore$ 当$△ POF$ 的面积为 4 时,$\frac{1}{2}×2×|x|=4$, 解得 $x=\pm4$.$\therefore \frac{1}{4}x^2+1=\frac{1}{4}×(\pm4)^2+1=5$.$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-4,5)$或$(4,5)$.(2)如图,过点 $M$ 作 $ME⊥ x$ 轴于点 $E$,交抛物线 $y=\frac{1}{4}x^2+1$ 于点 $P$, 此时$△ PMF$ 的周长最小.$\because F(0,2)$,$M(\sqrt{3},3)$,$\therefore ME=3$,$FM=\sqrt{(\sqrt{3}-0)^2+(3-2)^2}=2$.$\therefore$ 易得$△ PMF$ 周长的最小值为 $ME+FM=3+2=5$.

14. ※※※ 已知二次函数 $y=-x^2 + c$ 的图象经过点 $A(-2,5)$，点 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ 是此二次函数图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图①，此二次函数的图象与 $x$ 轴的正半轴交于点 $B$，点 $P$ 在直线 $AB$ 的上方，过点 $P$ 作 $PC ⊥ x$ 轴于点 $C$，交 $AB$ 于点 $D$，连接 $AC,DQ,PQ$. 若 $x_2=x_1+3$，求证：$\frac{S_{△ PDQ}}{S_{△ ADC}}$ 的值为定值；
(3)如图②，点 $P$ 在第二象限，$x_2=-2x_1$，若点 $M$ 在直线 $PQ$ 上，且横坐标为 $x_1-1$，过点 $M$ 作 $MN ⊥ x$ 轴于点 $N$，求线段 $MN$ 长度的最大值.

14.(1)【解】$\because$ 二次函数 $y=-x^2 + c$ 的图象经过点 $A(-2,5)$,$\therefore 5=-4+c$.$\therefore c=9$.$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=-x^2+9$.(2)【证明】当 $y=0$ 时,$0=-x^2+9$,$\therefore x_1=-3$,$x_2=3$.$\therefore B(3,0)$.设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b$,$\therefore \begin{cases}-2k+b=5,\\3k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=3.\end{cases}$$\therefore$ 直线 $AB$ 的表达式为 $y=-x+3$.由题意可得 $P(x_1,-x_1^2+9)$,$Q(x_1+3,-(x_1+3)^2+9)$,$D(x_1,-x_1+3)$,$\therefore PD=-x_1^2+9 - (-x_1+3)=-x_1^2+x_1+6=(x_1+2)(-x_1+3)$,$CD=-x_1+3$.$\therefore$ 易得 $\frac{S_{△ PDQ}}{S_{△ ADC}}=\frac{(x_1+2)(-x_1+3)(x_1+3-x_1)}{(-x_1+3)(x_1+2)}=3$.$\therefore \frac{S_{△ PDQ}}{S_{△ ADC}}$ 的值为定值.(3)【解】由题意可得 $P(x_1,-x_1^2+9)$,$Q(-2x_1,-4x_1^2+9)$,设直线 $PQ$ 的表达式为 $y=mx+n$,$\therefore \begin{cases}mx_1+n=-x_1^2+9,\\-2mx_1+n=-4x_1^2+9.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=x_1,\\n=-2x_1^2+9.\end{cases}$$\therefore$ 直线 $PQ$ 的表达式为 $y=x_1x-2x_1^2+9$. 当 $x=x_1-1$ 时,$y=x_1(x_1-1)-2x_1^2+9=-(x_1+\frac{1}{2})^2+\frac{37}{4}$.$\therefore$ 易知当 $x_1=-\frac{1}{2}$ 时,线段 $MN$ 的长度有最大值,为 $\frac{37}{4}$.