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10. [2026 池州期末]设函数 $y_1 = -(x - m)^2$, $y_2 = -(x - n)^2$, 直线 $x=1$ 分别与函数 $y_1, y_2$ 的图象交于 $A(1,a_1), B(1,a_2)$, 下列结论正确的是 (
A.若 $1 ＜ m ＜ n$, 则 $a_1 ＜ a_2$
B.若 $m ＜ 1 ＜ n$, 则 $a_1 ＜ a_2$
C.若 $m ＜ n ＜ 1$, 则 $a_1 ＜ a_2$
D.若 $m ＜ n ＜ 1$, 则 $a_2 ＜ a_1$
C
)A.若 $1 ＜ m ＜ n$, 则 $a_1 ＜ a_2$
B.若 $m ＜ 1 ＜ n$, 则 $a_1 ＜ a_2$
C.若 $m ＜ n ＜ 1$, 则 $a_1 ＜ a_2$
D.若 $m ＜ n ＜ 1$, 则 $a_2 ＜ a_1$
答案
10.C 【点拨】
如图①所示，若 $1＜m＜n$，则 $a_1＞a_2$，故 A 选项错误；如图②所示，满足 $m＜1＜n$，但 $a_1＞a_2$，故 B 选项错误；如图③所示，若 $m＜n＜1$，则 $a_1＜a_2$，故 C 选项正确，D 选项错误。故选 C.11. ★★ 新考法 数形结合法 已知函数$y=\begin{cases}(x-1)^2 & (x＜2), \\ -x+3 & (x≥2),\end{cases}$
在自变量$x≤ m$的范围内，相应的函数最小值为0，则$m$的取值范围是
在自变量$x≤ m$的范围内，相应的函数最小值为0，则$m$的取值范围是
$1≤m≤3$
。答案
11.$1≤m≤3$ 【点拨】画出函数$y=\begin{cases}(x-1)^2 & (x＜2), \\ -x+3 & (x≥2),\end{cases}$的图象如图
。在自变量 $x≤m$ 的范围内，相应的函数最小值为 0，由图象可知 $m$ 的取值范围是 $1≤m≤3$。12. ★★★★ 在平面直角坐标系中有线段AB,已知A(10,9),B(20,1),若抛物线$y=(x-m)^2$与线段AB有交点,则m的取值范围为
$7≤m≤21$
.答案
12.$7≤m≤21$ 【点拨】由 $y=(x-m)^2$ 可得抛物线的对称轴为直线 $x=m$，顶点坐标为 $(m,0)$。当对称轴在点 A 左侧时，$m＜10$，把 $A(10,9)$ 的坐标代入 $y=(x-m)^2$，得 $9=(10-m)^2$，解得 $m=7$ 或 $m=13$(舍去)；当对称轴在点 B 右侧时，$m＞20$，把 $B(20,1)$ 的坐标代入 $y=(x-m)^2$，得 $1=(20-m)^2$，解得 $m=21$ 或 $m=19$(舍去)，故 $m$ 的取值范围为 $7≤m≤21$。
13. 新题型 存在性探究题 如图,已知二次函数$y=(x+2)^2$的图象与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$.
(1)求点$A,B$的坐标;
(2)求$S_{△ AOB}$;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点$P$,使以$P,A,O,B$为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求点$A,B$的坐标;
(2)求$S_{△ AOB}$;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点$P$,使以$P,A,O,B$为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
13.【解】(1)在 $y=(x+2)^2$ 中，令 $y=0$，得 $x_1=x_2=-2$；令 $x=0$，得 $y=4$，
∴点 A，B 的坐标分别为 $(-2,0)$，$(0,4)$。
(2)
∵点 A，B 的坐标分别为 $(-2,0)$，$(0,4)$，
∴$OA=2$，$OB=4$。
∴$S_{△AOB}=\frac{1}{2}OA·OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
(3)存在。
①以 OA 和 OB 为邻边可作平行四边形 PAOB，易求得 $P(-2,4)$；
②以 AB 和 OB 为邻边可作平行四边形 PABO，易求得 $P(-2,-4)$。
综上，点 P 的坐标为 $(-2,4)$ 或 $(-2,-4)$。
∴点 A，B 的坐标分别为 $(-2,0)$，$(0,4)$。
(2)
∵点 A，B 的坐标分别为 $(-2,0)$，$(0,4)$，
∴$OA=2$，$OB=4$。
∴$S_{△AOB}=\frac{1}{2}OA·OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
(3)存在。
①以 OA 和 OB 为邻边可作平行四边形 PAOB，易求得 $P(-2,4)$；
②以 AB 和 OB 为邻边可作平行四边形 PABO，易求得 $P(-2,-4)$。
综上，点 P 的坐标为 $(-2,4)$ 或 $(-2,-4)$。
14. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y_1=(x-1)^2$与直线$y=\frac{1}{2}x$相交于点$A_1,A_2$,将抛物线$y_1$向右平移后得到抛物线$y_2$,抛物线$y_2$与直线$y=\frac{1}{2}x$交于点$A_2,A_3$,再将抛物线$y_2$继续向右平移得到抛物线$y_3$,抛物线$y_3$与直线$y=\frac{1}{2}x$交于点$A_3,A_4,···$,依次类推,请回答以下问题:
(1)求点$A_1,A_2$的坐标;
(2)求抛物线$y_2$的表达式;
(3)求$A_nA_{n+1}$的长(用含$n$的代数式表示).
(1)求点$A_1,A_2$的坐标;
(2)求抛物线$y_2$的表达式;
(3)求$A_nA_{n+1}$的长(用含$n$的代数式表示).
答案
14.【解】(1)由$\begin{cases}y=(x-1)^2, \\ y=\frac{1}{2}x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\frac{1}{2}, \\ y=\frac{1}{4}\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=2, \\ y=1,\end{cases}$
∴点 $A_1$ 的坐标为 $(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$，点 $A_2$ 的坐标为 $(2,1)$。
(2)
∵$y_1=(x-1)^2$，
∴设抛物线 $y_2$ 的表达式为 $y_2=(x-1-m)^2$。把 $A_2(2,1)$ 的坐标代入，得 $1=(2-1-m)^2$，解得 $m=2$ 或 $m=0$(不合题意，舍去)。
∴抛物线 $y_2$ 的表达式为 $y_2=(x-3)^2$。
(3)
∵$A_1(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$，$A_2(2,1)$，
∴$A_1A_2=\frac{3\sqrt{5}}{4}$。
由$\begin{cases}y=(x-3)^2, \\ y=\frac{1}{2}x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=\frac{9}{2}, \\ y=\frac{9}{4}.\end{cases}$
∴$A_3(\frac{9}{2},\frac{9}{4})$。
∴易得抛物线 $y_3$ 的表达式为 $y_3=(x-6)^2$，$A_2A_3=\frac{5\sqrt{5}}{4}$。
∴易得 $A_4(8,4)$，
∴$A_3A_4=\frac{7\sqrt{5}}{4}$，…，
∴$A_nA_{n+1}=\frac{(2n+1)\sqrt{5}}{4}$（$n$ 为正整数）。
∴点 $A_1$ 的坐标为 $(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$，点 $A_2$ 的坐标为 $(2,1)$。
(2)
∵$y_1=(x-1)^2$，
∴设抛物线 $y_2$ 的表达式为 $y_2=(x-1-m)^2$。把 $A_2(2,1)$ 的坐标代入，得 $1=(2-1-m)^2$，解得 $m=2$ 或 $m=0$(不合题意，舍去)。
∴抛物线 $y_2$ 的表达式为 $y_2=(x-3)^2$。
(3)
∵$A_1(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$，$A_2(2,1)$，
∴$A_1A_2=\frac{3\sqrt{5}}{4}$。
由$\begin{cases}y=(x-3)^2, \\ y=\frac{1}{2}x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=\frac{9}{2}, \\ y=\frac{9}{4}.\end{cases}$
∴$A_3(\frac{9}{2},\frac{9}{4})$。
∴易得抛物线 $y_3$ 的表达式为 $y_3=(x-6)^2$，$A_2A_3=\frac{5\sqrt{5}}{4}$。
∴易得 $A_4(8,4)$，
∴$A_3A_4=\frac{7\sqrt{5}}{4}$，…，
∴$A_nA_{n+1}=\frac{(2n+1)\sqrt{5}}{4}$（$n$ 为正整数）。
