1. [2026邵阳期末] 如图，在$□ ABCD$中，连接对角线AC，延长AB至点E，使$BE=AB$，连接DE，分别交BC，AC于点F，G。
(1)求证:$BF=CF$；
(2)若$BC=6,DG=4$，求FG的长。

(1)【证明】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC.
∴△EBF∽△EAD.
∴$\frac{BF}{AD}=\frac{EB}{EA}$.
∵BE=AB,
∴EA=2EB.
∴$\frac{BF}{AD}=\frac{1}{2}. ∴BF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC. ∴BF=CF.$
(2)【解】由(1)知AD//BC,
∴△FGC∽△DGA.
∴$\frac{FG}{DG}=\frac{FC}{AD}$.
∵AD=BC=6,$FC=\frac{1}{2}BC=3,DG=4$,
∴$\frac{FG}{4}=\frac{3}{6}$,解得$FG=2$.

2. 2025·山西 新考法·构造法 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AB=8,BC=4,点E在边AB上,AE=3,连接CE,且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上,连接DF.若DF=DC,则线段CF的长为.

模型3 燕尾型相似
【模型解读】
模型:燕尾型相似
条件:若∠1=∠2或∠3=∠4.
结论:①$△ AED ∽ △ BEC$;
②$△ ACO ∽ △ BDO$.

2. $\frac{18}{5}$ 【点拨】如图，延长CE交DA的延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°.
∵DF=DC,
∴CH=FH=$\frac{1}{2}$CF.
∵AD//BC,
∴△AEG∽△BEC,∠B+∠BAD=180°,
∴$\frac{AG}{BC}=\frac{AE}{BE}$.
∵∠B=90°,
∴∠B=∠BAD=∠BHD=90°,
∴四边形ABHD是矩形,
∴DH=AB=8,AD=BH.
∵AE=3,
∴BE=5,
∴$\frac{AG}{4}=\frac{3}{5}$,
∴AG=$\frac{12}{5}$.
∵AD//BC,
∴∠G=∠BCE.
∵∠DCE=∠BCE,
∴∠DCE=∠G,
∴CD=GD.设CH=FH=x,则AD=BH=4+x,
∴CD=GD=4+x+$\frac{12}{5}$=x+$\frac{32}{5}$. 由勾股定理,得$CD^2=CH^2+DH^2$,
∴$(x+\frac{32}{5})^2=x^2+8^2$,解得$x=\frac{9}{5}$,
即$CH=\frac{9}{5}$,
∴$CF=2CH=\frac{18}{5}$.

3. ★★★ 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在$△ ABC$中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，CE的延长线交AB于点F，试判断AF与BF的数量关系。
小明探究发现，过点D作$DG // AB$，交CF于点G，先证$△ AEF ≌ △ DEG$，再证$△ CGD ∽ △ CFB$，从而将问题解决。
(1)请回答：AF与BF的数量关系是________；
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图②，在$△ BDE$中，点C在EB上，$DE=DC$，点A在DB上，连接AC并延长交DE的延长线于点F，$∠ CDB=∠ F$，若$\frac{DE}{EF}=\frac{3}{4}$，$BC=\sqrt{3}$，则CE的长为________；
(3)如图③，在$△ BDE$中，点C在EB的延长线上，$DE=DC$，点A在DB的延长线上，连接AC并延长交ED的延长线于点F，$∠ CDB=∠ F$，若$\frac{DE}{EF}=k$，求BC和EB的关系(用含k的式子表示)。

3.【解】(1)$BF=2AF$
(2)$\frac{4}{3}\sqrt{3}$ 【点拨】过点E作EH//AF,交AD于点H，
∴∠DHE=∠CAD,∠F=∠DEH.
∵∠F=∠CDB,
∴∠DEH=∠CDB.
又
∵DE=DC,
∴△DEH≌△CDA.
∴DH=AC.
∵EH//AC,
∴∠ACB=∠HEB.
∵DE=DC,
∴∠DEC=∠DCE,
∵∠DEC=∠DEH+∠HEB,∠DCE=∠CDA+∠B,
∴∠B=∠HEB.
∴∠B=∠ACB.
∴AC=AB.
∴DH=AB.
∵EH//AF,
∴$\frac{DH}{AH}=\frac{DE}{EF}=\frac{3}{4}$.
∴$\frac{AB}{AH}=\frac{3}{4}$.
∵EH//AC,
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{AB}{AH}=\frac{3}{4}$.
∵$BC=\sqrt{3}$,
∴$CE=\frac{4}{3}\sqrt{3}$.
(3)如图,过点E作EH//AF,交AD的延长线于点H，
∴∠A=∠H,∠F=∠DEH.
∵∠F=∠CDB,
∴∠CDA=∠DEH.
又
∵DC=DE,
∴△CDA≌△DEH.
∴AC=DH.
∵EH//AF,
∴$\frac{DH}{AH}=\frac{DE}{EF}=k$.
∴$\frac{AC}{AH}=k$.
∵EH//AF,
∴∠HEC=∠ACB.
∵DC=DE,
∴∠DEC=∠DCE.
∵∠HEB=∠DEH+∠DEC,∠DBE=∠CDA+∠DCE,
∴∠HEB=∠HBE.
∵∠HBE=∠ABC,
∴易得∠ABC=∠ACB.
∴AC=AB.
∴$\frac{AB}{AH}=k$.
∴AB=kAH.
∴AB=k(AB+BH).
∴AB=kAB+kBH.
∴(1−k)AB=kBH.
∴$\frac{AB}{BH}=\frac{k}{1−k}$.
∵AC//EH,
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{AB}{BH}=\frac{k}{1−k}$.

点方法 本题还有其他多种解法,添加辅助线的思路举例如下：
1. 如图①,过点F作FG//EC,交AD的延长线于点G；
2. 如图②,过点F作FG//DA,交EC的延长线于点G；
3. 如图③,过点C作CG//DA,交EF于点G.
同理,还可以过点D,B,A作平行线.