1. 新题型 条件开放题 如图，$AC⊥ BC$，$BD⊥ BC$，$AC＞BC＞BD$，请你添加一个条件：，使$△ ABC ∽ △ CDB$。

1. $∠ BAC=∠ DCB$(答案不唯一)

2. [2026合肥五十中模拟] 如图，∠ACB=∠ADC=90°, $AC=\sqrt{6}$, $AD=2$. 当AB的长为时，$\mathrm{Rt}△ ACD$与$\mathrm{Rt}△ ABC$相似.

2. 3或$3\sqrt{2}$ 【点拨】$\because AC=\sqrt{6},AD=2,∠ ADC=90°,\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2}$. 要使 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 与 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 相似,有两种情况:①当$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$时,有 $\mathrm{Rt}△ ABC∽\mathrm{Rt}△ ACD,\therefore \frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{AB}{\sqrt{6}}. \therefore AB=3$. ②当$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{CA}$时,有 $\mathrm{Rt}△ ACB∽\mathrm{Rt}△ CDA$,$\therefore \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{AB}{\sqrt{6}}. \therefore AB=3\sqrt{2}$. 故当 $AB$ 的长为 3 或 $3\sqrt{2}$ 时,$\mathrm{Rt}△ ACD$ 与 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 相似.

3. 如图,在 $Rt△ ABC$ 和 $Rt△ A'B'C$ 中, $∠ ACB=∠ A'CB' = 90°$, 若添加一个条件, 使得 $Rt△ ABC ∽ Rt△ A'B'C$, 则下列条件中不符合要求的是 ()

A.$∠ A=∠ A'$
B.$\frac{BC}{B'C}=\frac{AC}{A'C}$
C.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C}$
D.$\frac{AB}{A'C}=\frac{AC}{B'C}$

3. D

4. [2026成都模拟] 如图，正方形ABCD的边长为$2\sqrt{5}$，E为AB的中点，$MN=\sqrt{5}$，线段MN的两端在BC，CD上滑动，当CM=时，$△ AED$与以M，N，C为顶点的三角形相似。

4. 1或2 【点拨】$\because$ 正方形 $ABCD$ 的边长为 $2\sqrt{5}$,$E$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{5},\therefore DE=5$.
设在 $\mathrm{Rt}△ MNC$ 中,$CM$ 的长为 $x$.
①当 $\mathrm{Rt}△ AED∽\mathrm{Rt}△ CMN$ 时,$\frac{AE}{CM}=\frac{DE}{NM}$,即$\frac{\sqrt{5}}{x}=\frac{5}{\sqrt{5}}$,解得$x=1$,经检验,$x=1$ 是该分式方程的解,$\therefore CM=1$.
②当 $\mathrm{Rt}△ AED∽\mathrm{Rt}△ CNM$ 时,$\frac{DE}{MN}=\frac{AD}{CM}$,即 $\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{x}$,解得 $x=2$,经检验,$x=2$ 是该分式方程的解,$\therefore CM=2$.
综上所述,当 $CM=1$ 或 2 时,$△ AED$ 与以 $M,N,C$ 为顶点的三角形相似.

5. 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=10,点E在BC边上,连接AE,DF⊥AE,交AE的延长线于点F.若DF=6,则EF=.

5. 3 【点拨】易知 $AD=BC=10$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中,$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.$\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形,$\therefore ∠ B=90°$,$AD// BC$. $\therefore ∠ FAD=∠ BEA$. 又 $\because ∠ F=∠ B=90°$.$\therefore △ ADF∽△ EAB. \therefore \frac{AF}{EB}=\frac{DF}{AB}$,即 $\frac{8}{BE}=\frac{6}{3}$, 解得 $BE=4$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.$\therefore EF=AF-AE=8-5=3$.

6. ★★★ 新趋势 学科内综合 (1)如图①,在矩形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE⊥DF,垂足为点G,求证:△ADE∽△DCF.
(2)如图②,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH,求证:∠ADF=∠H.
(3)如图③,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,则CF的长为.

6. (1)【证明】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore ∠ ADE=∠ C=90°. \therefore ∠ CDF+∠ DFC=90°$.
$\because AE⊥ DF,\therefore ∠ DGE=90°$.
$\therefore ∠ CDF+∠ AED=90°. \therefore ∠ AED=∠ DFC$.
$\therefore △ ADE∽△ DCF$.
(2)【证明】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AD=DC$,$AD// BC$,$∠ ADE=∠ DCF=90°$.
又$\because AE=DF$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ DCF. \therefore DE=CF$.
又$\because CH=DE,\therefore CF=CH$.
$\because$ 点 $H$ 在 $BC$ 的延长线上,$\therefore ∠ DCH=∠ DCF=90°$.
又$\because DC=DC$,$\therefore △ DCF≌△ DCH. \therefore ∠ DFC=∠ H$.
$\because AD// BC$,$\therefore ∠ ADF=∠ DFC. \therefore ∠ ADF=∠ H$.
(3)3 【点拨】如图,延长 $BC$ 至点 $G$,使 $CG=DE=8$,连接 $DG$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,
$\therefore AD=DC$,$AD// BC$.
$\therefore ∠ ADE=∠ DCG$.
$\therefore △ ADE≌△ DCG$.
$\therefore ∠ DGC=∠ AED=60°$,$AE=DG$.
$\because AE=DF$,$\therefore DG=DF$.
$\therefore △ DFG$ 是等边三角形. $\therefore FG=DF=11$.
$\therefore CF=FG-CG=11-8=3$.