4. 数学实验,能增加学习数学的乐趣,还能经历知识“再创造”的过程,更是培养动手能力,创新能力的一种手段.小强在学习《相似形》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图①)产
生了如下问题,请同学们帮他解决.
在△ABC中,D为边AB上一点,连接CD.
(1)【初步探究】如图②,若∠ACD=∠B,求证:
$AC^2=AD·AB$;
(2)【尝试应用】如图③,在(1)的条件下,若D为AB的中点,BC=4,求CD的长;
(3)【创新提升】如图④,E为CD的中点,连接BE,若∠CDB=∠CBD=30°,∠ACD=∠EBD,
$AC=2\sqrt{7}$,求BE的长.

模型5 双垂线型相似
【模型解读】
模型:射影型相似
条件:∠ACB=90°,CD⊥AB.
结论:
①$△ ACD ∽ △ ABC ∽ △ CBD$;
②$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC};\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{AC};\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD};$
③$AC^2=AD·AB;CB^2=BD·BA;CD^2=AD·DB.$

4. (1)【证明】
∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC.
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$,
即$AC^2=AD·AB$.
(2)【解】
∵D为AB的中点,
∴设AD=BD=m.
∵$AC^2=AD·AB$,
∴$AC^2=m·(m+m)=2m^2$,
∴$AC=\sqrt{2}m$.
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
由(1)知△ACD∽△ABC,
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵BC=4,
∴$CD=2\sqrt{2}$.
(3)【解】如图,过点C作CH//EB交AB的延长线于点H,过C作CG⊥AB于点G.
∵E为CD的中点,
∴设CE=DE=a.
∴CD=2a.
∵∠CDB=∠CBD=30°,
∴CB=CD=2a,∠DCB=120°.
在Rt△BCG中,$CG=\frac{1}{2}BC=a$,
∴$BG=\sqrt{3}a$.
∴易知$BD=2\sqrt{3}a$.
过点B作BF⊥EC交EC的延长线于点F.
易知∠FCB=60°,
∴∠CBF=30°.
∴$CF=\frac{1}{2}BC=a$.
∴$BF=\sqrt{3}a$,$EF=2a$,
∴$BE=\sqrt{7}a$.
∵CH//BE,E为CD的中点,
∴CH=2BE=2$\sqrt{7}$a,DH=2DB=4$\sqrt{3}$a,∠EBD=∠H.
又
∵∠ACD=∠EBD,
∴∠ACD=∠H. 又
∵∠A=∠A,
∴△ACD∽△AHC.
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AH}=\frac{CD}{CH}=\frac{2a}{2\sqrt{7}a}=\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$.
又
∵$AC=2\sqrt{7}$,
∴AD=2,AH=14.
∴DH=12,即$4\sqrt{3}a=12$,
∴$a=\sqrt{3}$.
∴$BE=\sqrt{21}$.