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10 跨学科 推导气压公式（2025·福建福州长乐区期末）当气温不变时，气球内气体的气压$p$（单位：kPa）是气体体积$V$（单位：$\mathrm{m}^3$）的函数，表中记录了一组实验数据.$p$与$V$的函数表达式可能是（
A.$p=96V$
B.$p=-16V+112$
C.$p=\frac{96}{V}$
D.$p=V^2-24V+112$
C
）.A.$p=96V$
B.$p=-16V+112$
C.$p=\frac{96}{V}$
D.$p=V^2-24V+112$
答案
10.C
11 新情境 构建函数模型解决实际问题 某校为了推进校园劳动课程的建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为28 m²，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为x m，另一边长为y m的矩形（如图所示），依题意可得y关于x的函数表达式为
$y=\dfrac{7}{x}$
.（不必写明自变量x的取值范围）答案
$y=\dfrac{7}{x}$
12 新考法 方案设计 如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6 m的墙，用篱笆围一个面积为$30\ \mathrm{m}^2$的矩形科技园ABCD，设AB的长为x m，BC的长为y m。边AB和BC的长都是整数，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20 m，求出满足条件的所有围建方案。
答案
由题意，得$xy=30$，$\therefore y=\dfrac{30}{x}$.$\because$ 墙长为6 m，$\therefore 0＜\dfrac{30}{x}≤6$，
$\therefore x≥5$. 故 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{30}{x}(x≥5)$.
$\because x,y$ 均为整数，$x≥5$，且 $y=\dfrac{30}{x}$，
$\therefore x$ 可以为5,6,10,15,30.
又 $2x+y≤20$，即 $2x+\dfrac{30}{x}≤20$，
$\therefore x$ 可以为5,6，$\therefore$ 共有2种围建方案，
方案1:AB的长为5 m，BC的长为6 m；
方案2:AB的长为6 m，BC的长为5 m.
$\therefore x≥5$. 故 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{30}{x}(x≥5)$.
$\because x,y$ 均为整数，$x≥5$，且 $y=\dfrac{30}{x}$，
$\therefore x$ 可以为5,6,10,15,30.
又 $2x+y≤20$，即 $2x+\dfrac{30}{x}≤20$，
$\therefore x$ 可以为5,6，$\therefore$ 共有2种围建方案，
方案1:AB的长为5 m，BC的长为6 m；
方案2:AB的长为6 m，BC的长为5 m.
13 已知函数$y=(5m-3)x^{2-n}+(n+m)$.
(1)当$m,n$为何值时，为一次函数？
(2)当$m,n$为何值时，为正比例函数？
(3)当$m,n$为何值时，为反比例函数？
(1)当$m,n$为何值时，为一次函数？
(2)当$m,n$为何值时，为正比例函数？
(3)当$m,n$为何值时，为反比例函数？
答案
(1)当函数$y=(5m-3)x^{2-n}+(n+m)$是一次函数时，$2-n=1$，且$5m-3≠0$，解得$n=1$且$m≠\dfrac{3}{5}$.
(2)当函数$y=(5m-3)x^{2-n}+(n+m)$是正比例函数时，
$\begin{cases}2-n=1,\\m+n=0,\\5m-3≠0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}n=1,\\m=-1.\end{cases}$
(3)当函数$y=(5m-3)x^{2-n}+(n+m)$是反比例函数时，
$\begin{cases}2-n=-1,\\m+n=0,\\5m-3≠0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}n=3,\\m=-3.\end{cases}$
(2)当函数$y=(5m-3)x^{2-n}+(n+m)$是正比例函数时，
$\begin{cases}2-n=1,\\m+n=0,\\5m-3≠0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}n=1,\\m=-1.\end{cases}$
(3)当函数$y=(5m-3)x^{2-n}+(n+m)$是反比例函数时，
$\begin{cases}2-n=-1,\\m+n=0,\\5m-3≠0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}n=3,\\m=-3.\end{cases}$
14 转化思想 甲、乙两地相距 400 千米,小超开车从甲地匀速行驶到乙地,设小汽车的行驶时间为 t 小时,行驶速度为 v 千米/小时,且全程限速,速度不超过 100 千米/小时.
(1)写出 v 关于 t 的函数表达式.
(2)如果小超开车的速度不超过每小时 80 千米,那么他从甲地匀速行驶到乙地至少要多长时间?
(3)若小超上午7点开车从甲地出发,他能否在10点40分之前到达乙地?请说明理由.
(1)写出 v 关于 t 的函数表达式.
(2)如果小超开车的速度不超过每小时 80 千米,那么他从甲地匀速行驶到乙地至少要多长时间?
(3)若小超上午7点开车从甲地出发,他能否在10点40分之前到达乙地?请说明理由.
答案
(1)由题意，得$vt=400$，则$v$关于$t$的函数表达式为$v=\dfrac{400}{t}$.
(2)由题意，得$v≤80$，则$\dfrac{400}{t}≤80$，解得$t≥5$，
$\therefore$ 小超从甲地匀速行驶到乙地至少要5小时.
(3)不能. 理由如下：
$\because v≤100$，$\therefore \dfrac{400}{t}≤100$，解得$t≥4$，$\therefore$ 小超从甲地出发最少用4小时才能到达乙地.$\because$7点至10点40分，是$3\dfrac{2}{3}$小时，$\therefore$ 他不能在10点40分之前到达乙地.
(2)由题意，得$v≤80$，则$\dfrac{400}{t}≤80$，解得$t≥5$，
$\therefore$ 小超从甲地匀速行驶到乙地至少要5小时.
(3)不能. 理由如下：
$\because v≤100$，$\therefore \dfrac{400}{t}≤100$，解得$t≥4$，$\therefore$ 小超从甲地出发最少用4小时才能到达乙地.$\because$7点至10点40分，是$3\dfrac{2}{3}$小时，$\therefore$ 他不能在10点40分之前到达乙地.
