12. (2024·四川德阳)若一个多项式加上$y^2 + 3xy - 4$，结果是$3xy + 2y^2 -5$，则这个多项式为。

12. $y^2-1$ 解析:由题意，得这个多项式为$3xy+2y^2-5-(y^2+3xy-4)=3xy+2y^2-5-y^2-3xy+4=y^2-1$。

13. (2026·江苏扬州期末)对于任意有理数$a$，$b,c,d$，定义一种新的运算：$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，则$\begin{vmatrix} 1&2 \\ 1-x&4 \end{vmatrix}=$ ______ 。

13. $2x+2$ 解析:$\begin{vmatrix} 1&2 \\ 1-x&4 \end{vmatrix}=1×4-2×(1-x)=4-2+2x=2x+2$。

14. 若当$x=1$时，代数式$ax^2+bx+1$的值为3，
则$2(3a-b)-(5a-3b)=$。

14. 2 解析:当$x=1$时，$ax^2+bx+1=a+b+1=3$，所以$a+b=2$，所以$2(3a-b)-(5a-3b)=6a-2b-5a+3b=a+b=2$。

15. 新素养 运算能力 先化简,再求值:$\frac{1}{4}(4x^2 + 2x - 8) - (x^2 + 2x - 1)$,其中$x = \frac{1}{2}$.

15. 原式$=x^2+\frac{1}{2}x-2-x^2-2x+1=-\frac{3}{2}x-1$。当$x=\frac{1}{2}$时，原式$=-\frac{3}{2}×\frac{1}{2}-1=-\frac{7}{4}$。

16. 已知多项式$3x^2 + my -8$与多项式$-nx^2 +2y +7$的差中不含有$x,y$，求$n^m + mn$的值.

16. $(3x^2+my-8)-(-nx^2+2y+7)=3x^2+my-8+nx^2-2y-7=(3+n)x^2+(m-2)y-15$。因为这两个多项式的差中不含有$x,y$，所以$3+n=0,m-2=0$，所以$n=-3,m=2$，所以$n^m+mn=(-3)^2+2×(-3)=9-6=3$。

17. 如图,两个正方形的面积分别为16,9,两阴影部分的面积分别为$a,b(a＞b)$,则$a-b$等于 ()


A.7
B.6
C.5
D.4

17. A 解析:设空白部分的面积为$c$，则$a-b=(a+c)-(b+c)=16-9=7$。

18. 将一张边长为a的正方形纸片(如图①)剪去两个小长方形，得到一个“”的图案(如图②)，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形(如图③)，则新长方形的周长为.(用含a，b的代数式表示)

18. $4a-8b$ 解析:新长方形的周长为$2[(a-b)+(a-3b)]=4a-8b$。

19. 亮点原创·当$a=1013$，$b=\frac{1}{1013}$时，求代数式$a+(a+b)-(a+2b)+(a+3b)-(a+4b)+\dots-(a+2026b)$的值。

19. 原式$=a+(a-a+a-a+\dots+a-a)+(b-2b+3b-4b+\dots+2025b-2026b)=a+(b-2b)+(3b-4b)+\dots+(2025b-2026b)=a-1013b$。当$a=1013,b=\frac{1}{1013}$时，原式$=1013-1013×\frac{1}{1013}=1012$。

20. 新素养 应用意识 某公园对一个边长为$ a $ m$(a＞1)$的正方形花坛进行改造，因占地需要，该花坛南北方向需要缩短1 m，使其形状成为长方形. 为了使花坛面积不变，公园决定将花坛向东侧扩展.
（1）小明说：“把正方形花坛南北方向减少1 m，东侧增加1 m，则得到的长方形花坛的周长和面积与原来正方形花坛的周长和面积都相等.”小明的说法对吗？请说明理由；
（2）若原来正方形花坛的边长为5 m，则在只保证面积不变的情况下，改造后向东侧扩展了多少米？
（3）如果正方形花坛的边长为$ a $ m，在只保证面积不变的情况下，请你用含$ a $的代数式表示出改造后长方形花坛的长.

20. (1)小明的说法不对.理由如下:因为正方形花坛的边长为$a$ m，所以正方形花坛的周长为$4a$ m，面积为$a^2\ \mathrm{m}^2$.把正方形花坛南北方向减少1 m，东侧增加1 m后所得长方形花坛的周长为$2(a-1)+2(a+1)=2a-2+2a+2=4a(\mathrm{m})$.先把正方形花坛南北方向减少1 m，则减少的面积为$a\ \mathrm{m}^2$，此时长方形花坛的面积为$(a^2-a)\ \mathrm{m}^2$，再把花坛东侧增加1 m，则增加的面积为$(a-1)\ \mathrm{m}^2$，此时长方形花坛的面积为$(a^2-a)+(a-1)=(a^2-1)\ \mathrm{m}^2$.故得到的长方形花坛与原来的正方形花坛相比，周长不变，面积变小了。
(2)因为正方形花坛的边长为5 m，所以它的面积为$25\ \mathrm{m}^2$，南北方向缩短1 m后，花坛减少的面积为$5\ \mathrm{m}^2$，南北方向的边长为$5-1=4(\mathrm{m})$，则在保证面积不变的情况下，改造后向东侧扩展$5÷4=1.25(\mathrm{m})$。
(3)因为改造后长方形花坛的面积为$a^2\ \mathrm{m}^2$，宽为$(a-1)\mathrm{m}$，所以改造后长方形花坛的长为$\frac{a^2}{a-1}\ \mathrm{m}$。