1. 如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$∠ C=2∠ B$. 求证：$AC+CD=AB$.

1.【证明】如图，在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，过点 E作EG⊥BD于点G.易证△AED≌△ACD.
∴ED=CD,∠AED=∠C.
∵∠AED=∠B+∠EDB,
∴∠C=∠B+∠EDB.
又
∵∠C=2∠B,
∴∠B=∠EDB.
∵EG⊥BD,
∴∠EGB=∠EGD=90°.
∵EG=EG,
∴△EBG≌△EDG.
∴BE=DE.
∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.

2. 如图，点F，G是OA上两点，点M，N是OB上两点，且$FG=MN$，$△ PFG$和$△ PMN$的面积相等.试判断点P是否在$∠ AOB$的平分线上，并说明理由.

2.【解】点 P 在∠AOB 的平分线上.
理由如下:如图,作 PD⊥OA 于点 D,PE⊥OB 于点 E.
∵ $S_{△PFG} = \frac{1}{2} FG · PD, S_{△PMN} = \frac{1}{2}MN · PE,S_{△PFG}=S_{△PMN}$,
∴ $\frac{1}{2} FG · PD = \frac{1}{2} MN · PE$.
又
∵FG=MN,
∴PD=PE,
∴OP 平分∠AOB,即点 P 在∠AOB 的平分线上.
点方法 等线段证角平分线法就是利用角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上这一定理,通过证明角内部的点到角的两边距离相等从而得到点在角的平分线上,即距离相等→角平分线.

3. 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°. 求证：AE=AD+BE.

3.【证明】如图,过点 C 作 CF⊥AD,交 AD 的延长线于点 F.
∵AC 平分∠BAD,CE⊥AB,
∴CE=CF.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,
∴∠CDF=∠B.
在△CDF 和△CBE 中,$\begin{cases} ∠CDF=∠B, \\ ∠F=∠CEB=90°, \\ CF=CE, \end{cases}$
∴△CDF≌△CBE(AAS),
∴DF=BE.
在 Rt△ACF 和 Rt△ACE 中,$\begin{cases} AC=AC, \\ CF=CE, \end{cases}$
∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL),
∴AE=AF.
∵AF=AD+DF,
∴AE=AD+BE.

4. 如图，在$△ AOB$中，$AO=OB$，$∠ AOB=90°$，BD平分$∠ ABO$交AO于点D，$AE⊥ BD$交BD的延长线于点E. 求证:$BD=2AE$.

4.【证明】如图,延长 AE 交 BO 的延长线于点 F.
∵AE⊥BE,
∴∠AEB=∠FEB=90°.
∵BD 平分∠ABO,
∴∠ABE=∠FBE.
又
∵ BE = BE,
∴ △ABE ≌ △FBE(ASA).
∴AE=FE.
∴AF=2AE.
∵∠AOF=∠BEF=90°,
∴∠OAF+∠AFO=90°,
∠OBD+∠AFO=90°.
∴∠OAF=∠OBD.
又
∵OA=OB,∠AOF=∠BOD=90°,
∴△AOF≌△BOD(ASA).
∴AF=BD.
∴BD=2AE.