1. [2025无锡月考] 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，点$D$在边$AC$上，且$AD=6\ \mathrm{cm}$，过点$A$作射线$AE⊥ AC$($AE$与$BC$在$AC$同侧)，若动点$P$从点$A$出发，沿射线$AE$匀速运动，运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，设点$P$的运动时间为$t\ \mathrm{s}$.连接$PD$，$BD$.
(1) 如图①，求证：当$PD⊥ BD$时，$△ PDA≌△ DBC$；
(2) 如图②，当$PD⊥ AB$，求此时$t$的值.

(1)【证明】$\because ∠C=90°,AE⊥AC,PD⊥BD,$
$\therefore ∠PAD=∠PDB=∠C=90°,$
$\therefore ∠ADP+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°,$
$\therefore ∠ADP=∠CBD.$
$\because BC=6\ \mathrm{cm},AD=6\ \mathrm{cm},\therefore AD=BC.$
在$△ PDA$和$△ DBC$中,$\begin{cases}∠PAD=∠C,\\DA=BC,\\∠ADP=∠CBD,\end{cases}$
$\therefore △ PDA≌△ DBC(\mathrm{ASA}).$
(2)【解】$\because PD⊥AB,∠PAD=90°,$
$\therefore ∠PAB+∠APD=∠PAB+∠CAB=90°,$
$\therefore ∠APD=∠CAB.$
在$△ APD$和$△ CAB$中,$\begin{cases}∠PAD=∠C=90°,\\∠APD=∠CAB,\\AD=BC,\end{cases}$
$\therefore △ APD≌△ CAB(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AP=AC=8\ \mathrm{cm},\therefore t=8÷1=8.$

2. 如图，AE与BD相交于点C，AB//DE，AC=EC，AB=12 cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3 cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s.
(1)求证：BC=DC；
(2)请直接写出线段AP的长(用含t的式子表示)；
(3)连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值.

(1)【证明】$\because AB// DE,\therefore ∠A=∠E,∠B=∠D.$
又$\because AC=EC,\therefore △ ABC≌△ EDC(\mathrm{AAS}),$
$\therefore BC=DC.$
(2)【解】当$0≤ t≤ 4$时,$AP=3t\ \mathrm{cm}$;当$4＜ t≤ 8$时,$AP=(24-3t)\ \mathrm{cm}.$
【点拨】$\because AB=12\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发,沿$A→B→A$方向以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,$\therefore$当点$P$运动到点$B$时所用的时间为$12÷3=4(\mathrm{s}),\therefore$当$0≤ t≤ 4$时,$AP=3t\ \mathrm{cm}$;当$4＜ t≤ 8$时,$AP=(24-3t)\ \mathrm{cm}.$
(3)【解】由题知$DQ=t\ \mathrm{cm}$.如图,由(1)得$∠A=∠E$,$△ ABC≌△ EDC$,
$\therefore ED=AB=12\ \mathrm{cm}.$
$\therefore EQ=DE-DQ=(12-t)\ \mathrm{cm}.$
在$△ ACP$和$△ ECQ$中,
$\begin{cases}∠A=∠E,\\AC=EC,\\∠ACP=∠ECQ,\end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ ECQ(\mathrm{ASA}),\therefore AP=EQ.$
当$0≤ t≤ 4$时,$3t=12-t$,解得$t=3$;
当$4＜ t≤ 8$时,$24-3t=12-t$,解得$t=6.$
综上所述,当线段$PQ$经过点$C$时,$t$的值为$3$或$6.$