9. 如图，在$△ OAB$和$△ OCD$中，$OA=OB$，$OC=OD$，且$B$，$O$，$C$在一条直线上，$∠ AOB=∠ COD$，连接$AC$，$BD$交于点$M$，连接$OM$. 求证：点$O$在$∠ CMB$的平分线上.

9. 【解】
∵∠AOB = ∠COD,
∴∠AOB + ∠AOD = ∠COD+∠AOD,即∠AOC=∠BOD.
在△AOC和△BOD中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ OC=OD, \end{cases}$
∴∠OCA=∠ODB.
如图,过点O分别作OG⊥MC于点G,OH⊥MB于点H,则∠OGC=∠OHD=90°.
在△OCG和△ODH中,
$\begin{cases} ∠OCA=∠ODB, \\ ∠OGC=∠OHD, \\ OC=OD, \end{cases}$
∴△OCG≌△ODH(AAS),
∴OG=OH,
∴MO平分∠CMB,
∴点O在∠CMB的平分线上.

10. [2025 南通月考] 如图，$∠ B=∠ C=90°$，点E是BC的中点，DE平分$∠ ADC$。
(1)求证：AE是$∠ DAB$的平分线；
(2)已知$AE=4$，$DE=3$，求四边形ABCD的面积。

10. (1)【证明】如图,过点E作EF⊥AD于点F,
∵∠C=90°,DE平分∠ADC,
∴CE=EF.
∵点E是BC的中点,
∴BE=CE,
∴BE=EF.
又
∵∠B=90°,EF⊥AD,
∴AE平分∠DAB.

(2)【解】
∵CE=EF,ED=ED,∠EFD=∠C=90°,
∴Rt△EDF≌Rt△EDC(HL),
∴∠CED=∠FED=$\frac{1}{2}∠CEF$,$S_{△EDF}=S_{△EDC}$.
∵EF=EB,AE=AE,∠AFE=∠B=90°,
∴Rt△EAF≌Rt△EAB(HL),
∴∠AEB=∠AEF=$\frac{1}{2}∠BEF$,$S_{△EAF}=S_{△EAB}$,
∴∠AEF+∠FED=$\frac{1}{2}∠BEF+\frac{1}{2}∠CEF=90°$,即∠AED=90°.
∵$S_{△EDF}+S_{△EAF}=S_{△EAB}+S_{△EDC}$,
∴$S_{四边形ABCD}=2S_{△AED}=2×\frac{1}{2}DE·AE=2×\frac{1}{2}×3×4=12$.

11.【问题提出】
(1)如图①,点 N 在 BC 的延长线上,∠ABC 的平分线与∠ACN 的平分线交于点 D,求证:∠BAC=2∠D;
【拓展探究】
(2)如图②,点 N 在 BC 的延长线上,∠ABC 的平分线与∠ACN 的平分线交于点 D,过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E.连接 AD,求证:AD 平分∠CAM;
【学以致用】
(3)如图③,在四边形 ABCD 中,BD 平分∠ABC,2∠ACD+∠ACB=180°,若∠BDC=20°,求∠DAC 的度数.

11. (1)【证明】
∵∠ABC的平分线与∠ACN的平分线交于点D,
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}∠ABC$,∠ACD=∠DCN=$\frac{1}{2}∠ACN$.
∵∠ACN=∠BAC+∠ABC,∠DCN=∠D+∠CBD,
∴∠BAC+∠ABC=2∠D+2∠CBD,
∴∠BAC=2∠D.
(2)【证明】如图①,过点D作DP⊥BM于点P,DQ⊥AC于点Q,
∵DE⊥BC,BD平分∠ABC,CD平分∠ACN,
∴DP=DE,DQ=DE,
∴DP=DQ,
∴AD平分∠CAM.

(3)【解】如图②,过点D分别作DP⊥BA交BA的延长线于点P,DQ⊥AC于点Q,DE⊥BC交BC的延长线于点E.
∵2∠ACD+∠ACB=180°,∠ACB+∠ACE=180°,
∴∠ACE = 2∠ACD,
∴CD 平分∠ACE.
又
∵BD平分∠ABC,
∴由(1)得∠BAC=2∠BDC=40°.
∴∠CAP=180°−∠BAC=140°.
由(2)得AD平分∠CAP,
∴∠CAD=$\frac{1}{2}∠CAP=70°$.