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1 关于二次函数$y=3x^2+6$的图象，下列结论不正确的是（
A.开口向上
B.$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.对称轴是$y$轴
D.抛物线过点$(0,-6)$
D
）A.开口向上
B.$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.对称轴是$y$轴
D.抛物线过点$(0,-6)$
答案
1. D 【解析】
∵ $y=3x^2+6$,
∴ 抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，与$y$轴的交点坐标为$(0,6)$. 综上，A、B、C选项均正确，D选项不正确. 故选 D.
∵ $y=3x^2+6$,
∴ 抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，与$y$轴的交点坐标为$(0,6)$. 综上，A、B、C选项均正确，D选项不正确. 故选 D.
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时可先从解析式中确定$a$、$k$的值，再依次结合开口方向、对称轴、增减性、函数图象上的点的坐标特征四个维度判断每个选项的正误，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=3x^2+6$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，A选项结论正确；
2. 该函数一次项系数为0，因此对称轴为$x=0$，即对称轴是$y$轴，C选项结论正确；
3. 抛物线开口向上、对称轴为$y$轴，因此在对称轴左侧即$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，B选项结论正确；
4. 把$x=0$代入解析式，得$y=3×0^2+6=6$，因此抛物线与$y$轴交点为$(0,6)$，不经过$(0,-6)$，D选项结论错误。
综上，本题要求选不正确的结论，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查对$y=ax^2+k$类二次函数核心性质的掌握，熟练记忆开口方向、对称轴、增减性的判断规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时可先从解析式中确定$a$、$k$的值，再依次结合开口方向、对称轴、增减性、函数图象上的点的坐标特征四个维度判断每个选项的正误，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=3x^2+6$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，A选项结论正确；
2. 该函数一次项系数为0，因此对称轴为$x=0$，即对称轴是$y$轴，C选项结论正确；
3. 抛物线开口向上、对称轴为$y$轴，因此在对称轴左侧即$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，B选项结论正确；
4. 把$x=0$代入解析式，得$y=3×0^2+6=6$，因此抛物线与$y$轴交点为$(0,6)$，不经过$(0,-6)$，D选项结论错误。
综上，本题要求选不正确的结论，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查对$y=ax^2+k$类二次函数核心性质的掌握，熟练记忆开口方向、对称轴、增减性的判断规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2 对于二次函数$y=2x^2 - 3$，当$-1 ≤ x ≤ 2$时，$y$的取值范围是 （
A.$-1 ≤ y ≤ 5$
B.$-5 ≤ y ≤ 5$
C.$-3 ≤ y ≤ 5$
D.$-2 ≤ y ≤ 5$
C
）A.$-1 ≤ y ≤ 5$
B.$-5 ≤ y ≤ 5$
C.$-3 ≤ y ≤ 5$
D.$-2 ≤ y ≤ 5$
答案
2. C 【解析】
∵ 二次函数的表达式为$y=2x^2-3$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$,
∴ 当$x=0$时，$y$取得最小值，为$-3$. 当$x=-1$时，$y=-1$，当$x=2$时，$y=5$,
∴ 当$-1 ≤ x ≤ 2$时，$y$的取值范围是$-3 ≤ y ≤ 5$. 故选 C.
∵ 二次函数的表达式为$y=2x^2-3$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$,
∴ 当$x=0$时，$y$取得最小值，为$-3$. 当$x=-1$时，$y=-1$，当$x=2$时，$y=5$,
∴ 当$-1 ≤ x ≤ 2$时，$y$的取值范围是$-3 ≤ y ≤ 5$. 故选 C.
解析
【分析】
本题要求给定区间内二次函数的y的取值范围，解题思路如下：首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质，先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再确定对称轴；开口向上的抛物线顶点处函数值最小，接着判断顶点的横坐标是否在给定区间内，若在则顶点处为最小值，最后计算区间两个端点的函数值，比较得出最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
∵ 二次函数的表达式为$y=2x^2-3$，二次项系数$2＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，
∵ $x=0$属于$-1 ≤ x ≤ 2$的区间范围，
∴ 当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$2×0^2-3=-3$；
分别计算区间端点对应的函数值：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2-3=-1$；
当$x=2$时，$y=2×2^2-3=5$；
比较得区间内y的最大值为5，
因此当$-1 ≤ x ≤ 2$时，$y$的取值范围是$-3 ≤ y ≤ 5$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数最值求解；区间值域计算
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，解题关键是明确抛物线的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，判断最值的对应位置，注意不要直接代入区间端点计算取值范围，避免忽略顶点处的最值导致出错。
【难度系数】
0.8
本题要求给定区间内二次函数的y的取值范围，解题思路如下：首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质，先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再确定对称轴；开口向上的抛物线顶点处函数值最小，接着判断顶点的横坐标是否在给定区间内，若在则顶点处为最小值，最后计算区间两个端点的函数值，比较得出最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
∵ 二次函数的表达式为$y=2x^2-3$，二次项系数$2＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，
∵ $x=0$属于$-1 ≤ x ≤ 2$的区间范围，
∴ 当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$2×0^2-3=-3$；
分别计算区间端点对应的函数值：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2-3=-1$；
当$x=2$时，$y=2×2^2-3=5$；
比较得区间内y的最大值为5，
因此当$-1 ≤ x ≤ 2$时，$y$的取值范围是$-3 ≤ y ≤ 5$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数最值求解；区间值域计算
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，解题关键是明确抛物线的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，判断最值的对应位置，注意不要直接代入区间端点计算取值范围，避免忽略顶点处的最值导致出错。
【难度系数】
0.8
3 新考法 [2026北京丰台区质检]已知$mn＜0$，$\frac{m}{n+1}＞0$，则y关于x的二次函数$y=mx^2+n$的图象可能是（
A
B
C
D
B
）A
B
C
D
答案
3. B 【解析】
∵ $\frac{m}{n+1} ＞0$,
∴ $m$ 与 $n+1$ 同号.
∵ $mn＜0$,
∴ $m$ 与 $n$ 异号,
∴ $n$ 与 $n+1$ 异号.
∵ $n+1＞n$,
∴ $n+1＞0,n＜0$,
∴ $-1＜n＜0,m＞0$,
∴ $y=mx^2+n$ 的图象开口向上，与 $y$ 轴交点的纵坐标在 $0$ 到$-1$ 之间，观察四个选项，只有 B 选项的图象符合条件. 故选 B.
∵ $\frac{m}{n+1} ＞0$,
∴ $m$ 与 $n+1$ 同号.
∵ $mn＜0$,
∴ $m$ 与 $n$ 异号,
∴ $n$ 与 $n+1$ 异号.
∵ $n+1＞n$,
∴ $n+1＞0,n＜0$,
∴ $-1＜n＜0,m＞0$,
∴ $y=mx^2+n$ 的图象开口向上，与 $y$ 轴交点的纵坐标在 $0$ 到$-1$ 之间，观察四个选项，只有 B 选项的图象符合条件. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的不等关系推导二次函数系数$m$和常数项$n$的取值范围，再结合二次函数$y=ax^2+k$的图象性质逐一排除错误选项即可。推导过程中先利用“分式大于0时分子分母同号”得到$m$与$n+1$同号，再结合$mn＜0$得到$m$与$n$异号，进而推出$n$和$n+1$异号，最终确定$m$、$n$的符号和$n$的取值范围，再对应函数性质判断图象。
【解析】
∵ $\frac{m}{n+1} ＞0$,
∴ $m$ 与 $n+1$ 同号，
∵ $mn＜0$,
∴ $m$ 与 $n$ 异号，
由此可得$n$与$n+1$异号，
又
∵ $n+1＞n$，
∴ $n+1＞0$，$n＜0$，即$-1＜n＜0$，且$m＞0$。
对于二次函数$y=mx^2+n$：
由$m＞0$可知图象开口向上，排除开口向下的C、D选项；
由$-1＜n＜0$可知图象与$y$轴交点的纵坐标在$-1$到$0$之间，排除与$y$轴交于$(0,-1)$的A选项，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
不等式符号判断，二次函数$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题综合考查不等式符号判定和二次函数图象性质的应用，解题核心是准确推导系数的取值范围，是二次函数图象类的典型基础考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的不等关系推导二次函数系数$m$和常数项$n$的取值范围，再结合二次函数$y=ax^2+k$的图象性质逐一排除错误选项即可。推导过程中先利用“分式大于0时分子分母同号”得到$m$与$n+1$同号，再结合$mn＜0$得到$m$与$n$异号，进而推出$n$和$n+1$异号，最终确定$m$、$n$的符号和$n$的取值范围，再对应函数性质判断图象。
【解析】
∵ $\frac{m}{n+1} ＞0$,
∴ $m$ 与 $n+1$ 同号，
∵ $mn＜0$,
∴ $m$ 与 $n$ 异号，
由此可得$n$与$n+1$异号，
又
∵ $n+1＞n$，
∴ $n+1＞0$，$n＜0$，即$-1＜n＜0$，且$m＞0$。
对于二次函数$y=mx^2+n$：
由$m＞0$可知图象开口向上，排除开口向下的C、D选项；
由$-1＜n＜0$可知图象与$y$轴交点的纵坐标在$-1$到$0$之间，排除与$y$轴交于$(0,-1)$的A选项，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
不等式符号判断，二次函数$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题综合考查不等式符号判定和二次函数图象性质的应用，解题核心是准确推导系数的取值范围，是二次函数图象类的典型基础考题。
【难度系数】
0.7
4[2025安徽合肥期末]已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$均在抛物线$y=x^2 -1$上，下列说法正确的是（
A.若$x_1=-x_2$，则$y_1=-y_2$
B.若$y_1=y_2$，则$x_1=x_2$
C.若$x_1＜x_2＜0$，则$y_1＜y_2$
D.若$0＜x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$
D
）A.若$x_1=-x_2$，则$y_1=-y_2$
B.若$y_1=y_2$，则$x_1=x_2$
C.若$x_1＜x_2＜0$，则$y_1＜y_2$
D.若$0＜x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$
答案
4. D 【解析】A选项，若$x_1=-x_2$，则$y_1=y_2$，故本选项不符合题意；B选项，若$y_1=y_2$，则$|x_1|=|x_2|$，故本选项不符合题意；C选项，若$x_1＜x_2＜0$，则$y_1＞y_2$，故本选项不符合题意；D选项，若$0＜x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$，故本选项符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
首先明确抛物线$y=x^2-1$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），关于y轴对称；当$x＜0$时，y随x的增大而减小，当$x＞0$时，y随x的增大而增大。解题时逐一将选项的条件代入抛物线性质或函数表达式验证，即可判断各选项对错。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$x_1=-x_2$，代入函数得$y_1=x_1^2-1$，$y_2=x_2^2-1=(-x_1)^2-1=x_1^2-1$，因此$y_1=y_2$，该选项不符合题意；
B选项：若$y_1=y_2$，则$x_1^2-1=x_2^2-1$，整理得$x_1^2=x_2^2$，即$|x_1|=|x_2|$，可能$x_1=-x_2$，不一定$x_1=x_2$，该选项不符合题意；
C选项：若$x_1＜x_2＜0$，两点都在对称轴左侧，此时y随x的增大而减小，x越小函数值越大，因此$y_1＞y_2$，该选项不符合题意；
D选项：若$0＜x_1＜x_2$，两点都在对称轴右侧，此时y随x的增大而增大，x越小函数值越小，因此$y_1＜y_2$，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数基本性质的应用，解题关键是明确抛物线的开口方向、对称轴，分区间判断函数的增减性，结合对称性判断函数值与自变量的对应关系，属于二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
首先明确抛物线$y=x^2-1$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），关于y轴对称；当$x＜0$时，y随x的增大而减小，当$x＞0$时，y随x的增大而增大。解题时逐一将选项的条件代入抛物线性质或函数表达式验证，即可判断各选项对错。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$x_1=-x_2$，代入函数得$y_1=x_1^2-1$，$y_2=x_2^2-1=(-x_1)^2-1=x_1^2-1$，因此$y_1=y_2$，该选项不符合题意；
B选项：若$y_1=y_2$，则$x_1^2-1=x_2^2-1$，整理得$x_1^2=x_2^2$，即$|x_1|=|x_2|$，可能$x_1=-x_2$，不一定$x_1=x_2$，该选项不符合题意；
C选项：若$x_1＜x_2＜0$，两点都在对称轴左侧，此时y随x的增大而减小，x越小函数值越大，因此$y_1＞y_2$，该选项不符合题意；
D选项：若$0＜x_1＜x_2$，两点都在对称轴右侧，此时y随x的增大而增大，x越小函数值越小，因此$y_1＜y_2$，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数基本性质的应用，解题关键是明确抛物线的开口方向、对称轴，分区间判断函数的增减性，结合对称性判断函数值与自变量的对应关系，属于二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
5[2026安徽滁州校级期中]若关于x的二次函数$y=mx^2+m^2-3$的最大值为1，则$m=$
-2
.答案
5. -2 【解析】
$y=mx^2+m^2-3$的最大值为1 → $m^2-3=1$ → $m=±2$，$m＜0$ → $m=-2$.解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质：该类函数的顶点坐标为$(0,k)$，当$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值$k$；当$a＜0$时抛物线开口向下，函数有最大值$k$。本题中函数有最大值，首先可判断二次项系数$m＜0$，再根据最大值为1，可得顶点纵坐标$m^2-3=1$，解方程后结合$m＜0$的条件取舍即可得到结果。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=mx^2+m^2-3$的最大值为1，
$\therefore$ 抛物线开口向下，即$m＜0$，且函数的最大值为顶点的纵坐标$m^2-3$，
$\therefore$ 列方程得：$m^2-3=1$，
解得$m=\pm 2$，
又$\because m＜0$，
$\therefore$ 舍去$m=2$，即$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数最值；二次函数$y=ax^2+k$的性质；一元二次方程求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题的关键是先根据函数存在最大值判断二次项系数的符号，再结合最值列方程求解，避免忽略开口方向的限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的性质：该类函数的顶点坐标为$(0,k)$，当$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值$k$；当$a＜0$时抛物线开口向下，函数有最大值$k$。本题中函数有最大值，首先可判断二次项系数$m＜0$，再根据最大值为1，可得顶点纵坐标$m^2-3=1$，解方程后结合$m＜0$的条件取舍即可得到结果。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=mx^2+m^2-3$的最大值为1，
$\therefore$ 抛物线开口向下，即$m＜0$，且函数的最大值为顶点的纵坐标$m^2-3$，
$\therefore$ 列方程得：$m^2-3=1$，
解得$m=\pm 2$，
又$\because m＜0$，
$\therefore$ 舍去$m=2$，即$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数最值；二次函数$y=ax^2+k$的性质；一元二次方程求解
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题的关键是先根据函数存在最大值判断二次项系数的符号，再结合最值列方程求解，避免忽略开口方向的限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
6 对于二次函数$y=ax^2+3(a≠0)$，当x分别取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时，函数值相等，则当x取$x_1+x_2$时，函数值为
3
。答案
6. 3 【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+3(a≠0)$图象的对称轴为$y$轴，而当$x$分别取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时，函数值相等，
∴ $x_1=-x_2$,
∴ 当$x=x_1+x_2=0$时，$y=ax^2+3=3$. 故答案为 3.
∵ 二次函数$y=ax^2+3(a≠0)$图象的对称轴为$y$轴，而当$x$分别取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时，函数值相等，
∴ $x_1=-x_2$,
∴ 当$x=x_1+x_2=0$时，$y=ax^2+3=3$. 故答案为 3.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的图象性质：这类二次函数的对称轴是y轴（即直线$x=0$）。题目中给出x取不同的$x_1$、$x_2$时函数值相等，说明这两个x对应的点在二次函数图象上关于对称轴对称，根据对称轴是y轴，可推出$x_1$和$x_2$互为相反数，即$x_1+x_2=0$，最后将$x=0$代入函数式即可求出对应的函数值。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+3(a≠0)$的图象对称轴是y轴（直线$x=0$），
又
∵ 当x分别取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时，函数值相等，
∴ 点$(x_1,y)$和$(x_2,y)$关于y轴对称，即$x_1=-x_2$，
∴ $x_1+x_2=0$，
将$x=0$代入$y=ax^2+3$，得$y=a×0^2+3=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数的对称性
3. 函数值求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的对称性应用，解题的关键是牢记$y=ax^2+k$类二次函数的对称轴为y轴，理解函数值相等的两个点关于对称轴对称的特点，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的图象性质：这类二次函数的对称轴是y轴（即直线$x=0$）。题目中给出x取不同的$x_1$、$x_2$时函数值相等，说明这两个x对应的点在二次函数图象上关于对称轴对称，根据对称轴是y轴，可推出$x_1$和$x_2$互为相反数，即$x_1+x_2=0$，最后将$x=0$代入函数式即可求出对应的函数值。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+3(a≠0)$的图象对称轴是y轴（直线$x=0$），
又
∵ 当x分别取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时，函数值相等，
∴ 点$(x_1,y)$和$(x_2,y)$关于y轴对称，即$x_1=-x_2$，
∴ $x_1+x_2=0$，
将$x=0$代入$y=ax^2+3$，得$y=a×0^2+3=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数的对称性
3. 函数值求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的对称性应用，解题的关键是牢记$y=ax^2+k$类二次函数的对称轴为y轴，理解函数值相等的两个点关于对称轴对称的特点，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7 将抛物线$y=-3x^2$平移后得到抛物线$y=-3x^2 -2$,对此平移叙述正确的是 （
A.向上平移2个单位
B.向下平移2个单位
C.向左平移2个单位
D.向右平移2个单位
B
）A.向上平移2个单位
B.向下平移2个单位
C.向左平移2个单位
D.向右平移2个单位
答案
7. B 【关键点拨 抛物线的平移规律 $y=ax^2 \xrightarrow[平移|k|个单位长度]{向上(h＞0)或向下(h＜0)} y=ax^2+k$】【解析】将抛物线$y=-3x^2$向下平移2个单位后得到抛物线$y=-3x^2-2$,故选 B.
解析
【分析】
首先明确抛物线平移的基本规律：上下平移仅改变常数项，遵循“上加下减”的规则；左右平移仅改变自变量，遵循“左加右减”的规则。本题对比平移前后两个二次函数的解析式，二次项部分完全相同，仅常数项发生变化，因此只需根据常数项的变化判断上下平移的方向和距离即可。
【解析】
根据抛物线平移的“上加下减常数项，左加右减自变量”规律解题：
1. 对比原抛物线$y=-3x^2$和平移后的抛物线$y=-3x^2-2$，二者自变量部分完全一致，仅常数项不同，说明属于上下平移；
2. 平移后解析式的常数项比原解析式少2，即变化量为$-2＜0$，对应向下平移2个单位。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
抛物线平移规律、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心考查平移规律的应用，牢记平移口诀即可快速判断平移方式。
【难度系数】
0.9
首先明确抛物线平移的基本规律：上下平移仅改变常数项，遵循“上加下减”的规则；左右平移仅改变自变量，遵循“左加右减”的规则。本题对比平移前后两个二次函数的解析式，二次项部分完全相同，仅常数项发生变化，因此只需根据常数项的变化判断上下平移的方向和距离即可。
【解析】
根据抛物线平移的“上加下减常数项，左加右减自变量”规律解题：
1. 对比原抛物线$y=-3x^2$和平移后的抛物线$y=-3x^2-2$，二者自变量部分完全一致，仅常数项不同，说明属于上下平移；
2. 平移后解析式的常数项比原解析式少2，即变化量为$-2＜0$，对应向下平移2个单位。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
抛物线平移规律、二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心考查平移规律的应用，牢记平移口诀即可快速判断平移方式。
【难度系数】
0.9
8 能否通过适当地上下平移二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象，使得到的新图象过点$(3,-3)$？若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由。
刷易错 ................................小心有坑~
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答案
8.【解】能. 设平移后的图象对应的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x^2+k$. 把$(3,-3)$代入，得$-3=\frac{1}{3}×3^2+k$,解得$k=-6$,
∴ 把二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位,得到的新图象过点$(3,-3)$.
∴ 把二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位,得到的新图象过点$(3,-3)$.
解析
【分析】
要判断能否通过平移$y=\frac{1}{3}x^2$的图象得到过点$(3,-3)$的新图象，首先回忆二次函数上下平移的解析式变化规律：上下平移时二次项系数不变，仅常数项变化，平移后的解析式可设为$y=\frac{1}{3}x^2+k$（$k＞0$时向上平移，$k＜0$时向下平移，$|k|$为平移距离）。接下来将点$(3,-3)$代入设出的解析式，若能求出符合要求的$k$值则可以平移，再根据$k$的符号和绝对值确定平移方向和距离即可。
【解析】
能。设平移后的图象对应的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x^2+k$。
把点$(3,-3)$代入解析式，得：
$-3=\frac{1}{3}×3^2+k$
计算得$-3=3+k$，解得$k=-6$。
因为$k=-6＜0$，所以是向下平移，平移距离为$|k|=6$个单位。
【答案】
能，将二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位，得到的新图象过点$(3,-3)$。
【知识点】
二次函数图象平移规律；待定系数法求解析式
【点评】
本题核心考查二次函数上下平移的“上加下减”原则，解题时先设出平移后的解析式，代入已知点坐标求解参数即可，需注意$k$的正负对应平移方向，避免混淆上下平移的符号规则。
【难度系数】
0.8
要判断能否通过平移$y=\frac{1}{3}x^2$的图象得到过点$(3,-3)$的新图象，首先回忆二次函数上下平移的解析式变化规律：上下平移时二次项系数不变，仅常数项变化，平移后的解析式可设为$y=\frac{1}{3}x^2+k$（$k＞0$时向上平移，$k＜0$时向下平移，$|k|$为平移距离）。接下来将点$(3,-3)$代入设出的解析式，若能求出符合要求的$k$值则可以平移，再根据$k$的符号和绝对值确定平移方向和距离即可。
【解析】
能。设平移后的图象对应的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x^2+k$。
把点$(3,-3)$代入解析式，得：
$-3=\frac{1}{3}×3^2+k$
计算得$-3=3+k$，解得$k=-6$。
因为$k=-6＜0$，所以是向下平移，平移距离为$|k|=6$个单位。
【答案】
能，将二次函数$y=\frac{1}{3}x^2$的图象向下平移6个单位，得到的新图象过点$(3,-3)$。
【知识点】
二次函数图象平移规律；待定系数法求解析式
【点评】
本题核心考查二次函数上下平移的“上加下减”原则，解题时先设出平移后的解析式，代入已知点坐标求解参数即可，需注意$k$的正负对应平移方向，避免混淆上下平移的符号规则。
【难度系数】
0.8
9 已知抛物线$y=ax^2+4$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同，求$a$的值.
嘉佳和晓莉的解法如下：
判断嘉佳和晓莉谁的解法不正确，并说明理由.
嘉佳和晓莉的解法如下：
判断嘉佳和晓莉谁的解法不正确，并说明理由.
答案
9.【解】嘉佳的解法不正确，晓莉的解法正确. 理由:抛物线$y=ax^2+4$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同,但开口方向可能不同,所以$|a|=|-2|$,所以$a=-2$或$2$.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的图象性质：抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，二次项系数的符号仅决定开口方向，不影响形状。两个抛物线形状相同，说明它们的二次项系数绝对值相等，和开口方向无关。接下来对比两人的解法：嘉佳仅考虑了开口方向和已知抛物线相同的情况，遗漏了开口方向相反的可能；晓莉考虑到了绝对值相等的情况，覆盖了所有可能，因此可判断两人解法的正误。
【解析】
首先判断解法正误：嘉佳的解法不正确，晓莉的解法正确。
理由如下：
对于二次函数$y=ax^2+k$，抛物线的形状仅由$|a|$决定，$a$的符号仅决定抛物线的开口方向，不影响形状。
已知抛物线$y=ax^2+4$与$y=-2x^2$形状相同，因此二者二次项系数的绝对值相等，即$|a|=|-2|$，解得$a=2$或$a=-2$。
嘉佳仅考虑了两个抛物线开口方向相同的情况，遗漏了开口方向相反的可能，因此解法错误。
【答案】
嘉佳的解法不正确，晓莉的解法正确. 理由:抛物线$y=ax^2+4$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同,但开口方向可能不同,所以$|a|=|-2|$,所以$a=-2$或$2$.
【知识点】
1.二次函数图象性质 2.绝对值的运算
【点评】
本题是二次函数的基础易错题，重点考查抛物线形状与二次项系数的关系，解题时要注意形状相同仅要求二次项系数的绝对值相等，不需要符号也一致，避免因考虑不全面出现漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆二次函数的图象性质：抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，二次项系数的符号仅决定开口方向，不影响形状。两个抛物线形状相同，说明它们的二次项系数绝对值相等，和开口方向无关。接下来对比两人的解法：嘉佳仅考虑了开口方向和已知抛物线相同的情况，遗漏了开口方向相反的可能；晓莉考虑到了绝对值相等的情况，覆盖了所有可能，因此可判断两人解法的正误。
【解析】
首先判断解法正误：嘉佳的解法不正确，晓莉的解法正确。
理由如下：
对于二次函数$y=ax^2+k$，抛物线的形状仅由$|a|$决定，$a$的符号仅决定抛物线的开口方向，不影响形状。
已知抛物线$y=ax^2+4$与$y=-2x^2$形状相同，因此二者二次项系数的绝对值相等，即$|a|=|-2|$，解得$a=2$或$a=-2$。
嘉佳仅考虑了两个抛物线开口方向相同的情况，遗漏了开口方向相反的可能，因此解法错误。
【答案】
嘉佳的解法不正确，晓莉的解法正确. 理由:抛物线$y=ax^2+4$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同,但开口方向可能不同,所以$|a|=|-2|$,所以$a=-2$或$2$.
【知识点】
1.二次函数图象性质 2.绝对值的运算
【点评】
本题是二次函数的基础易错题，重点考查抛物线形状与二次项系数的关系，解题时要注意形状相同仅要求二次项系数的绝对值相等，不需要符号也一致，避免因考虑不全面出现漏解。
【难度系数】
0.6
