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1[中]如图,在同一个坐标系中,函数$y=ax^2+b$与$y=ax+b$的图象可能是（
B
）答案
1. B 【解析】A选项：$y=ax+b$中的$a＜0,b＞0$，$y=ax^2+b$中的$a＞0,b＞0$，不符合题意；B选项：$y=ax+b$中的$a＞0,b＜0$，$y=ax^2+b$中的$a＞0,b＜0$，符合题意；C选项：$y=ax+b$中的$a＜0,b＞0$，$y=ax^2+b$中的$a＜0,b＜0$，不符合题意；D选项：$y=ax+b$中的$a＞0,b＜0$，$y=ax^2+b$中的$a＜0,b＜0$，不符合题意. 故选 B.
解析
【分析】
这是同坐标系下一次函数与二次函数图象共存的判断类问题，解题思路如下：第一步，先明确两类函数的系数与图象特征的对应关系：①二次函数$y=ax^2+b$中，$a$的符号决定开口方向（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），$b$是图象与y轴交点的纵坐标；②一次函数$y=ax+b$中，$a$的符号决定直线倾斜方向（$a＞0$直线从左下向右上倾斜，$a＜0$直线从左上向右下倾斜），$b$是直线与y轴交点的纵坐标。第二步，由于两个函数表达式中$a$、$b$是同一个参数，所以两个函数对应的$a$符号、$b$符号都要分别一致，且两个图象都过点$(0,b)$，据此逐个排查选项即可得到答案。
【解析】
我们结合函数图象性质逐个分析选项：
1. 分析A选项：一次函数图象从左上向右下倾斜，可得$a＜0$，与y轴交于正半轴，可得$b＞0$；二次函数开口向上，可得$a＞0$，两个函数$a$的符号矛盾，不符合要求。
2. 分析B选项：一次函数图象从左下向右上倾斜，可得$a＞0$，与y轴交于负半轴，可得$b＜0$；二次函数开口向上，可得$a＞0$，与y轴交于负半轴，可得$b＜0$，$a$、$b$的符号均一致，符合要求。
3. 分析C选项：一次函数图象从左上向右下倾斜，可得$a＜0$，与y轴交于正半轴，可得$b＞0$；二次函数开口向下可得$a＜0$，但与y轴交于负半轴，可得$b＜0$，两个函数$b$的符号矛盾，不符合要求。
4. 分析D选项：一次函数图象从左下向右上倾斜，可得$a＞0$，与y轴交于负半轴，可得$b＜0$；二次函数开口向下可得$a＜0$，两个函数$a$的符号矛盾，不符合要求。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象类的基础常考题，核心考查函数表达式中系数对应的图象特征，解题时抓住“同个参数在不同函数中符号一致”这一关键点，逐个排除错误选项即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这是同坐标系下一次函数与二次函数图象共存的判断类问题，解题思路如下：第一步，先明确两类函数的系数与图象特征的对应关系：①二次函数$y=ax^2+b$中，$a$的符号决定开口方向（$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下），$b$是图象与y轴交点的纵坐标；②一次函数$y=ax+b$中，$a$的符号决定直线倾斜方向（$a＞0$直线从左下向右上倾斜，$a＜0$直线从左上向右下倾斜），$b$是直线与y轴交点的纵坐标。第二步，由于两个函数表达式中$a$、$b$是同一个参数，所以两个函数对应的$a$符号、$b$符号都要分别一致，且两个图象都过点$(0,b)$，据此逐个排查选项即可得到答案。
【解析】
我们结合函数图象性质逐个分析选项：
1. 分析A选项：一次函数图象从左上向右下倾斜，可得$a＜0$，与y轴交于正半轴，可得$b＞0$；二次函数开口向上，可得$a＞0$，两个函数$a$的符号矛盾，不符合要求。
2. 分析B选项：一次函数图象从左下向右上倾斜，可得$a＞0$，与y轴交于负半轴，可得$b＜0$；二次函数开口向上，可得$a＞0$，与y轴交于负半轴，可得$b＜0$，$a$、$b$的符号均一致，符合要求。
3. 分析C选项：一次函数图象从左上向右下倾斜，可得$a＜0$，与y轴交于正半轴，可得$b＞0$；二次函数开口向下可得$a＜0$，但与y轴交于负半轴，可得$b＜0$，两个函数$b$的符号矛盾，不符合要求。
4. 分析D选项：一次函数图象从左下向右上倾斜，可得$a＞0$，与y轴交于负半轴，可得$b＜0$；二次函数开口向下可得$a＜0$，两个函数$a$的符号矛盾，不符合要求。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，函数图象共存判断
【点评】
本题是函数图象类的基础常考题，核心考查函数表达式中系数对应的图象特征，解题时抓住“同个参数在不同函数中符号一致”这一关键点，逐个排除错误选项即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2[中]如图,两条抛物线$y_1=-\frac{1}{2}x^2+1$,$y_2=-\frac{1}{2}x^2-1$与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 (
A.4
B.6
C.8
D.10
C
)A.4
B.6
C.8
D.10
答案
2. C 【识图解题 抛物线平移产生的面积问题 图4】【解析】
∵ 两条抛物线的函数表达式的二次项系数相同,
∴ 两条抛物线的形状完全相同.
∵ $y_1-y_2=-\frac{1}{2}x^2+1-(-\frac{1}{2}x^2-1)=2$,
∴ $S_{阴影}=(y_1-y_2)×|2-(-2)|=2×4=8$,故选 C.
∵ 两条抛物线的函数表达式的二次项系数相同,
∴ 两条抛物线的形状完全相同.
∵ $y_1-y_2=-\frac{1}{2}x^2+1-(-\frac{1}{2}x^2-1)=2$,
∴ $S_{阴影}=(y_1-y_2)×|2-(-2)|=2×4=8$,故选 C.
解析
【分析】
首先观察两条抛物线的解析式，发现二者二次项系数相同，说明两条抛物线形状完全一致，其中一条可由另一条上下平移得到。要求两条平行于y轴的直线与抛物线围成的阴影面积时，对于不规则图形的面积优先考虑转化为规则图形计算：先计算同一x值下两条抛物线的纵坐标差值，若差值为定值，即可将阴影面积转化为长方形面积求解，长方形的长为两条竖线的水平距离，宽为两抛物线的垂直距离。
【解析】
解：
∵ 两条抛物线的函数表达式的二次项系数相同，
∴ 两条抛物线的形状完全相同，$y_1$可看作$y_2$向上平移2个单位得到。
计算同一横坐标下两个函数的纵坐标差值：
$y_1-y_2=(-\frac{1}{2}x^2+1)-(-\frac{1}{2}x^2-1)=2$，即两条抛物线之间的垂直距离恒为2。
已知两条平行于y轴的直线分别经过点$(-2,0)$和$(2,0)$，两条直线的水平距离为$|2-(-2)|=4$。
因此阴影部分的面积等价于长为4、宽为2的长方形的面积，即$S_{阴影}=2×4=8$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质，平移的性质，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题核心是结合二次函数的性质发现两抛物线的垂直距离为定值，将不规则阴影面积转化为规则的长方形面积求解，体现了转化思想在几何计算中的应用，解题时要注意观察图形特征，避免复杂运算。
【难度系数】
0.6
首先观察两条抛物线的解析式，发现二者二次项系数相同，说明两条抛物线形状完全一致，其中一条可由另一条上下平移得到。要求两条平行于y轴的直线与抛物线围成的阴影面积时，对于不规则图形的面积优先考虑转化为规则图形计算：先计算同一x值下两条抛物线的纵坐标差值，若差值为定值，即可将阴影面积转化为长方形面积求解，长方形的长为两条竖线的水平距离，宽为两抛物线的垂直距离。
【解析】
解：
∵ 两条抛物线的函数表达式的二次项系数相同，
∴ 两条抛物线的形状完全相同，$y_1$可看作$y_2$向上平移2个单位得到。
计算同一横坐标下两个函数的纵坐标差值：
$y_1-y_2=(-\frac{1}{2}x^2+1)-(-\frac{1}{2}x^2-1)=2$，即两条抛物线之间的垂直距离恒为2。
已知两条平行于y轴的直线分别经过点$(-2,0)$和$(2,0)$，两条直线的水平距离为$|2-(-2)|=4$。
因此阴影部分的面积等价于长为4、宽为2的长方形的面积，即$S_{阴影}=2×4=8$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质，平移的性质，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题核心是结合二次函数的性质发现两抛物线的垂直距离为定值，将不规则阴影面积转化为规则的长方形面积求解，体现了转化思想在几何计算中的应用，解题时要注意观察图形特征，避免复杂运算。
【难度系数】
0.6
3[2026安徽合肥质检,中]在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点叫做整点,记函数$y=-x^2+a(a＞0)$的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域(不含边界)为W.例如当$a=2$时,区域W内的整点个数为1,若区域W内恰有7个整点,则a的取值范围是(
A.$2＜a≤3$
B.$2≤a＜3$
C.$3＜a≤4$
D.$3≤a＜4$
C
)A.$2＜a≤3$
B.$2≤a＜3$
C.$3＜a≤4$
D.$3≤a＜4$
答案
3. C 【解析】二次函数$y=-x^2+a(a＞0)$图象的顶点坐标为$(0,a)$,开口向下,对称轴为$y$轴. 如图,当区域$W$内恰有7个整点时,这7个整点坐标分别为$(1,1),(1,2),(0,1),(0,2),(0,3),(-1,1),(-1,2)$,因此$a$的取值范围为$3＜a≤4$. 故选 C.
解析
【分析】
解题首先要明确二次函数$y=-x^2+a$的基本性质：开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,a)$，区域W是图象在x轴上方、不含边界的部分，整点是横纵坐标均为整数的点。由于抛物线关于y轴对称，整点也呈对称分布，我们可以先从y轴及两侧的整数x值入手，逐一分析不同a取值下的整点个数：先判断x可能的取值范围，再对应判断每个x下符合要求的整数y的个数，汇总后得到总整点个数，找到恰好为7个时a的取值范围，注意区域不含边界，端点要单独验证是否符合要求。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=-x^2+a$的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,a)$，区域W为图象在x轴上方且不含边界的部分，
$\therefore$ 区域W内的点满足$0 ＜ y ＜ -x^2+a$，且整点横、纵坐标均为整数，同时整点关于y轴对称。
① 若$a＞4$：此时$x=\pm2$时，$y=-4+a＞0$，会出现$(\pm2,1)$等额外整点，整点总数多于7个，不符合要求；
② 若$3 ＜ a ≤ 4$：
y轴上（$x=0$）：$0 ＜ y ＜ a$，整数y可取1、2、3，对应整点$(0,1),(0,2),(0,3)$，共3个；
$x=\pm1$时：$y=-1+a$，$\because a＞3 \therefore -1+a＞2$，$\because a≤4 \therefore -1+a≤3$，即$0＜y＜-1+a$时整数y可取1、2，对应整点$(1,1),(1,2),(-1,1),(-1,2)$，共4个；
$x=\pm2$时：$y=-4+a≤0$，无符合要求的整点；
总整点个数为$3+4=7$，符合要求；
③ 若$a≤3$：此时顶点纵坐标$a≤3$，$(0,3)$在边界或区域外，且$x=\pm1$时$y=-1+a≤2$，$(1,2)$在边界或区域外，整点总数少于7个，不符合要求。
综上，a的取值范围是$3 ＜ a ≤ 4$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与性质；整点概念；函数与不等式
【点评】
本题结合“整点”的新定义考查二次函数的图象性质，解题时利用抛物线的对称性可简化分析过程，需要格外注意区域不含边界，端点值的取舍是本题的易错点。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确二次函数$y=-x^2+a$的基本性质：开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,a)$，区域W是图象在x轴上方、不含边界的部分，整点是横纵坐标均为整数的点。由于抛物线关于y轴对称，整点也呈对称分布，我们可以先从y轴及两侧的整数x值入手，逐一分析不同a取值下的整点个数：先判断x可能的取值范围，再对应判断每个x下符合要求的整数y的个数，汇总后得到总整点个数，找到恰好为7个时a的取值范围，注意区域不含边界，端点要单独验证是否符合要求。
【解析】
$\because$ 二次函数$y=-x^2+a$的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,a)$，区域W为图象在x轴上方且不含边界的部分，
$\therefore$ 区域W内的点满足$0 ＜ y ＜ -x^2+a$，且整点横、纵坐标均为整数，同时整点关于y轴对称。
① 若$a＞4$：此时$x=\pm2$时，$y=-4+a＞0$，会出现$(\pm2,1)$等额外整点，整点总数多于7个，不符合要求；
② 若$3 ＜ a ≤ 4$：
y轴上（$x=0$）：$0 ＜ y ＜ a$，整数y可取1、2、3，对应整点$(0,1),(0,2),(0,3)$，共3个；
$x=\pm1$时：$y=-1+a$，$\because a＞3 \therefore -1+a＞2$，$\because a≤4 \therefore -1+a≤3$，即$0＜y＜-1+a$时整数y可取1、2，对应整点$(1,1),(1,2),(-1,1),(-1,2)$，共4个；
$x=\pm2$时：$y=-4+a≤0$，无符合要求的整点；
总整点个数为$3+4=7$，符合要求；
③ 若$a≤3$：此时顶点纵坐标$a≤3$，$(0,3)$在边界或区域外，且$x=\pm1$时$y=-1+a≤2$，$(1,2)$在边界或区域外，整点总数少于7个，不符合要求。
综上，a的取值范围是$3 ＜ a ≤ 4$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与性质；整点概念；函数与不等式
【点评】
本题结合“整点”的新定义考查二次函数的图象性质，解题时利用抛物线的对称性可简化分析过程，需要格外注意区域不含边界，端点值的取舍是本题的易错点。
【难度系数】
0.6
4[2025安徽阜阳质检,中]已知抛物线$y=mx^2+\frac{2}{m}$交y轴于点A,点A关于x轴的对称点为点B.
(1)点B的坐标为
(2)若$C(2,\frac{2}{m}-1)$,$D(4,0)$,且线段CD与抛物线恰有一个公共点,则m的取值范围是
(1)点B的坐标为
$(0,-\frac{2}{m})$
;(2)若$C(2,\frac{2}{m}-1)$,$D(4,0)$,且线段CD与抛物线恰有一个公共点,则m的取值范围是
$-\frac{1}{4}≤m＜0$
.答案
4. (1)$\boldsymbol{(0,-\frac{2}{m})}$ (2)$\boldsymbol{-\frac{1}{4}≤m＜0}$ 【解析】(1)
∵ 抛物线$y=mx^2+\frac{2}{m}$与$y$轴交于点$A$,
∴ $A(0,\frac{2}{m})$.
∵ 点$A$关于$x$轴的对称点为点$B$,
∴ $B(0,-\frac{2}{m})$,故答案为$(0,-\frac{2}{m})$.
(2)
∵ $C(2,\frac{2}{m}-1)$,
∴ $C$在直线$l:x=2$上.
∵ $m≠0$,
∴ 当$m＞0$时,如图(1),若线段$CD$与抛物线恰有一个公共点,则$\frac{2}{m}-1 ≥ m·2^2+\frac{2}{m}$,解得$m ≤ -\frac{1}{4}$(舍去). 当$m＜0$时,如图(2),若线段$CD$与抛物线恰有一个公共点,则$\frac{2}{m}-1 ≤ m·2^2+\frac{2}{m}$,解得$m ≥ -\frac{1}{4}$,
∴ $-\frac{1}{4}≤m＜0$. 综上,$m$的取值范围是$-\frac{1}{4}≤m＜0$.
解析
【分析】
(1) 求点B坐标时，先利用y轴上点横坐标为0的特征，将x=0代入抛物线解析式得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的规律，即可求出点B的坐标。
(2) 解决线段CD与抛物线的交点问题，首先观察到点C横坐标恒为2，可知点C在直线x=2上；再结合二次函数定义可知m≠0，分m＞0（抛物线开口向上）和m＜0（抛物线开口向下）两种情况，将x=2代入抛物线得到对应y值，结合图像对比该值与点C纵坐标的大小关系列不等式求解，舍去不符合取值范围的结果，最终得到m的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=mx^2+\frac{2}{m}$与y轴交于点A，y轴上点的横坐标为0，
∴ 将x=0代入解析式，得$y=\frac{2}{m}$，即$A(0,\frac{2}{m})$。
∵ 点A关于x轴的对称点为点B，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴ 点B的坐标为$(0,-\frac{2}{m})$。
(2)
∵ 点$C(2,\frac{2}{m}-1)$，横坐标恒为2，
∴ 点C在直线$l:x=2$上，且抛物线为二次函数，故$m≠0$。
① 当$m＞0$时，抛物线开口向上（如图(1)），若线段CD与抛物线恰有一个公共点，则$\frac{2}{m}-1 ≥ m·2^2+\frac{2}{m}$，
化简得$-1≥4m$，解得$m ≤ -\frac{1}{4}$，与$m＞0$矛盾，故舍去。
② 当$m＜0$时，抛物线开口向下（如图(2)），若线段CD与抛物线恰有一个公共点，则$\frac{2}{m}-1 ≤ m·2^2+\frac{2}{m}$，
化简得$-1≤4m$，解得$m ≥ -\frac{1}{4}$，结合$m＜0$得$-\frac{1}{4}≤m＜0$。
综上，m的取值范围是$-\frac{1}{4}≤m＜0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,-\frac{2}{m})}$
(2) $\boldsymbol{-\frac{1}{4}≤m＜0}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，坐标对称的特征，函数交点问题
【点评】
本题考查数形结合思想和分类讨论思想的应用，第一问较为基础，第二问需根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再结合线段位置列不等式，解题时要注意端点值的取舍，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求点B坐标时，先利用y轴上点横坐标为0的特征，将x=0代入抛物线解析式得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的规律，即可求出点B的坐标。
(2) 解决线段CD与抛物线的交点问题，首先观察到点C横坐标恒为2，可知点C在直线x=2上；再结合二次函数定义可知m≠0，分m＞0（抛物线开口向上）和m＜0（抛物线开口向下）两种情况，将x=2代入抛物线得到对应y值，结合图像对比该值与点C纵坐标的大小关系列不等式求解，舍去不符合取值范围的结果，最终得到m的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=mx^2+\frac{2}{m}$与y轴交于点A，y轴上点的横坐标为0，
∴ 将x=0代入解析式，得$y=\frac{2}{m}$，即$A(0,\frac{2}{m})$。
∵ 点A关于x轴的对称点为点B，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴ 点B的坐标为$(0,-\frac{2}{m})$。
(2)
∵ 点$C(2,\frac{2}{m}-1)$，横坐标恒为2，
∴ 点C在直线$l:x=2$上，且抛物线为二次函数，故$m≠0$。
① 当$m＞0$时，抛物线开口向上（如图(1)），若线段CD与抛物线恰有一个公共点，则$\frac{2}{m}-1 ≥ m·2^2+\frac{2}{m}$，
化简得$-1≥4m$，解得$m ≤ -\frac{1}{4}$，与$m＞0$矛盾，故舍去。
② 当$m＜0$时，抛物线开口向下（如图(2)），若线段CD与抛物线恰有一个公共点，则$\frac{2}{m}-1 ≤ m·2^2+\frac{2}{m}$，
化简得$-1≤4m$，解得$m ≥ -\frac{1}{4}$，结合$m＜0$得$-\frac{1}{4}≤m＜0$。
综上，m的取值范围是$-\frac{1}{4}≤m＜0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,-\frac{2}{m})}$
(2) $\boldsymbol{-\frac{1}{4}≤m＜0}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，坐标对称的特征，函数交点问题
【点评】
本题考查数形结合思想和分类讨论思想的应用，第一问较为基础，第二问需根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再结合线段位置列不等式，解题时要注意端点值的取舍，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5[中]若抛物线$y=ax^2 + c$与$x$轴交于点$A(m,0),B(n,0)$,与$y$轴交于点$C(0,c)$,则称$△ ABC$为“抛物三角形”.特别地,当$mnc＜0$时,称$△ ABC$为“正抛物三角形”;当$mnc＞0$时,称$△ ABC$为“倒抛物三角形”.那么,当$△ ABC$为“倒抛物三角形”时,$a,c$应分别满足条件
刷素养 走向重高
$a＞0,c＜0$
.刷素养 走向重高
答案
5.$\boldsymbol{a＞0,c＜0}$ 【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的对称轴是$y$轴,
∴ $A(m,0),B(n,0)$关于$y$轴对称,
∴ $mn＜0$. 又
∵ $mnc＞0$,
∴ $c＜0$,即抛物线与$y$轴的负半轴相交. 又
∵ 抛物线$y=ax^2+c$与$x$轴交于点$A(m,0),B(n,0)$,
∴ 函数图象开口向上,
∴ $a＞0$. 故答案为$a＞0,c＜0$.
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的对称轴是$y$轴,
∴ $A(m,0),B(n,0)$关于$y$轴对称,
∴ $mn＜0$. 又
∵ $mnc＞0$,
∴ $c＜0$,即抛物线与$y$轴的负半轴相交. 又
∵ 抛物线$y=ax^2+c$与$x$轴交于点$A(m,0),B(n,0)$,
∴ 函数图象开口向上,
∴ $a＞0$. 故答案为$a＞0,c＜0$.
解析
【分析】
解题时首先结合抛物线$y=ax^2+c$的结构特征，回忆其对称轴为y轴，因此与x轴的两个交点A、B关于y轴对称，可得m和n互为相反数，即$mn＜0$；再结合“倒抛物三角形”满足$mnc＞0$的条件，可推导得到c的符号；最后根据抛物线与x轴有两个交点，结合c的符号即可判断抛物线的开口方向，得到a的取值。
【解析】
∵抛物线$y=ax^2 + c$的对称轴是y轴，
∴点$A(m,0)$、$B(n,0)$关于y轴对称，即$m=-n$，
∴$mn=-n^2＜0$，
又
∵△ABC为“倒抛物三角形”，满足$mnc＞0$，
∴$c＜0$，即抛物线与y轴交于负半轴，顶点$(0,c)$在y轴负半轴上，
∵抛物线与x轴有两个交点，顶点在x轴下方时只有抛物线开口向上才能与x轴相交，
∴$a＞0$。
【答案】
$a＞0,c＜0$
【知识点】
二次函数对称性；二次函数图象性质；新定义理解
【点评】
本题结合自定义的“抛物三角形”概念，考查二次函数的基础性质，解题的核心是先利用抛物线的对称性确定m、n的乘积符号，再结合新定义条件和抛物线与坐标轴交点的特征推导参数符号，能有效检验学生对基础知识的掌握程度和对新定义的阅读理解能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合抛物线$y=ax^2+c$的结构特征，回忆其对称轴为y轴，因此与x轴的两个交点A、B关于y轴对称，可得m和n互为相反数，即$mn＜0$；再结合“倒抛物三角形”满足$mnc＞0$的条件，可推导得到c的符号；最后根据抛物线与x轴有两个交点，结合c的符号即可判断抛物线的开口方向，得到a的取值。
【解析】
∵抛物线$y=ax^2 + c$的对称轴是y轴，
∴点$A(m,0)$、$B(n,0)$关于y轴对称，即$m=-n$，
∴$mn=-n^2＜0$，
又
∵△ABC为“倒抛物三角形”，满足$mnc＞0$，
∴$c＜0$，即抛物线与y轴交于负半轴，顶点$(0,c)$在y轴负半轴上，
∵抛物线与x轴有两个交点，顶点在x轴下方时只有抛物线开口向上才能与x轴相交，
∴$a＞0$。
【答案】
$a＞0,c＜0$
【知识点】
二次函数对称性；二次函数图象性质；新定义理解
【点评】
本题结合自定义的“抛物三角形”概念，考查二次函数的基础性质，解题的核心是先利用抛物线的对称性确定m、n的乘积符号，再结合新定义条件和抛物线与坐标轴交点的特征推导参数符号，能有效检验学生对基础知识的掌握程度和对新定义的阅读理解能力。
【难度系数】
0.6
6 思想方法数形结合[较难]如图(1),$P(m,n)$是抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 -1$上任意一点,连接$OP$.$l$是过点$(0,-2)$且与$x$轴平行的直线,过点$P$作直线$PH ⊥ l$,垂足为$H$.
【探究】(1)填空:当$m=0$时,$OP=$
【猜想】(2)对任意$m,n$,猜想$OP$与$PH$的大小关系,并证明你的猜想.
【应用】(3)如图(2),已知点$A(-3,4)$,点$P$在抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 -1$上运动,求当$△ AOP$的周长最小时点$P$的坐标.
【探究】(1)填空:当$m=0$时,$OP=$
1
,$PH=$1
;当$m=4$时,$OP=$5
,$PH=$5
.【猜想】(2)对任意$m,n$,猜想$OP$与$PH$的大小关系,并证明你的猜想.
【应用】(3)如图(2),已知点$A(-3,4)$,点$P$在抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 -1$上运动,求当$△ AOP$的周长最小时点$P$的坐标.
答案
6. (1) 1 1 5 5
【解】(2)猜想:$OP=PH$.
证明:如图(1),设$PH$交$x$轴于点$Q$.
∵ $PH ⊥ l,l// x$轴,
∴ $PH ⊥ x$轴.
∵ 点$P$在抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 -1$ 上，
∴ $P(m,\frac{1}{4}m^2 -1)$,则$PQ=\left|\frac{1}{4}m^2 -1\right|$,$OQ=|m|$.
∵ $△OPQ$ 为直角三角形,
∴ $OP=\sqrt{PQ^2+OQ^2} = \sqrt{(\frac{1}{4}m^2 -1 )^2 +m^2 } = \sqrt{(\frac{1}{4}m^2 +1 )^2 } = \frac{1}{4}m^2 +1$.
∵ $PH=y_p - (-2) = (\frac{1}{4}m^2 -1 ) - (-2) = \frac{1}{4}m^2 +1$,
∴ $OP=PH$.
(3)如图(2),过点 $P$ 作 $PB ⊥ l$,垂足为 $B$. 由(2)可知 $PB = PO$, 则 $C_{△AOP} = AO + PA + PO = AO + PA + PB$. 又
∵ $OA$ 为定值,
∴ 当 $PA+PB$ 的值最小时,$△AOP$ 的周长最小. 当 $A,P,B$ 三点共线时,$PA+PB$ 的值最小,此时 $PA+PB=AB$,点 $P$ 的横坐标为$-3$. 当 $x=-3$ 时,$y=\frac{1}{4}×(-3)^2 -1 = \frac{5}{4}$,
∴ $P(-3,\frac{5}{4})$.
解析
【分析】
(1) 第一小问先将给定的m值代入抛物线解析式求出对应n值，得到点P的坐标，再用勾股定理计算OP的长度，根据直线l的解析式为y=-2，PH是点P到l的垂线段长度，即两点纵坐标差的绝对值即可求出PH。
(2) 第二小问先根据第一问的特殊值结果猜想OP=PH，再设点P坐标为$(m,\frac{1}{4}m^2-1)$，用勾股定理表示出OP的长度并化简，再计算点P到直线l的距离PH，对比两者即可证明结论。
(3) 第三小问$△ AOP$的周长为$AO+AP+OP$，其中AO长度是定值，因此只需使$AP+OP$最小即可。根据第二问的结论$OP=PH$（本题中为PB），可将$AP+OP$转化为$AP+PB$，根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时$AP+PB$最小，此时点P横坐标与点A相同，代入抛物线解析式即可求出点P坐标。
【解析】
(1) 当$m=0$时，代入$y=\frac{1}{4}x^2-1$得$n=-1$，即$P(0,-1)$，$OP=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1$，$PH=|-1-(-2)|=1$；当$m=4$时，代入得$n=\frac{1}{4}×4^2-1=3$，即$P(4,3)$，$OP=\sqrt{4^2+3^2}=5$，$PH=|3-(-2)|=5$。
(2) 猜想$OP=PH$，证明如下：设$PH$交$x$轴于点$Q$，因为$PH ⊥ l$，$l // x$轴，所以$PH ⊥ x$轴。点$P$在抛物线上，坐标为$(m,\frac{1}{4}m^2-1)$，则$PQ=|\frac{1}{4}m^2-1|$，$OQ=|m|$。在$Rt△ OPQ$中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{PQ^2+OQ^2}=\sqrt{(\frac{1}{4}m^2-1)^2+m^2}=\sqrt{(\frac{1}{4}m^2+1)^2}=\frac{1}{4}m^2+1$，
$PH$是点$P$到直线$l:y=-2$的距离，即$PH=(\frac{1}{4}m^2-1)-(-2)=\frac{1}{4}m^2+1$，因此$OP=PH$。
(3) 过点$P$作$PB ⊥ l$，垂足为$B$，由(2)可知$PB=PO$，则$△ AOP$的周长$C_{△ AOP}=AO+PA+PO=AO+PA+PB$。因为$OA$为定值，所以当$PA+PB$最小时，$△ AOP$周长最小。根据两点之间线段最短，当$A、P、B$三点共线时$PA+PB$最小，此时点$P$横坐标与点$A(-3,4)$横坐标相同，为$-3$，代入抛物线解析式得$y=\frac{1}{4}×(-3)^2-1=\frac{5}{4}$，即点$P$坐标为$(-3,\frac{5}{4})$。
【答案】
6. (1) 1 1 5 5
【解】(2)猜想:$OP=PH$.
证明:如图(1),设$PH$交$x$轴于点$Q$.
∵ $PH ⊥ l,l// x$轴,
∴ $PH ⊥ x$轴.
∵ 点$P$在抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 -1$ 上，
∴ $P(m,\frac{1}{4}m^2 -1)$,则$PQ=\left|\frac{1}{4}m^2 -1\right|$,$OQ=|m|$.
∵ $△OPQ$ 为直角三角形,
∴ $OP=\sqrt{PQ^2+OQ^2} = \sqrt{(\frac{1}{4}m^2 -1 )^2 +m^2 } = \sqrt{(\frac{1}{4}m^2 +1 )^2 } = \frac{1}{4}m^2 +1$.
∵ $PH=y_p - (-2) = (\frac{1}{4}m^2 -1 ) - (-2) = \frac{1}{4}m^2 +1$,
∴ $OP=PH$.
(3)如图(2),过点 $P$ 作 $PB ⊥ l$,垂足为 $B$. 由(2)可知 $PB = PO$, 则 $C_{△AOP} = AO + PA + PO = AO + PA + PB$. 又
∵ $OA$ 为定值,
∴ 当 $PA+PB$ 的值最小时,$△AOP$ 的周长最小. 当 $A,P,B$ 三点共线时,$PA+PB$ 的值最小,此时 $PA+PB=AB$,点 $P$ 的横坐标为$-3$. 当 $x=-3$ 时,$y=\frac{1}{4}×(-3)^2 -1 = \frac{5}{4}$,
∴ $P(-3,\frac{5}{4})$.
【知识点】
二次函数的点坐标特征，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题将二次函数、勾股定理和最短路径问题相结合，考查了数形结合与转化的数学思想，先通过特殊值猜想结论，再进行一般化证明，最后应用结论解决最值问题，对知识迁移能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
(1) 第一小问先将给定的m值代入抛物线解析式求出对应n值，得到点P的坐标，再用勾股定理计算OP的长度，根据直线l的解析式为y=-2，PH是点P到l的垂线段长度，即两点纵坐标差的绝对值即可求出PH。
(2) 第二小问先根据第一问的特殊值结果猜想OP=PH，再设点P坐标为$(m,\frac{1}{4}m^2-1)$，用勾股定理表示出OP的长度并化简，再计算点P到直线l的距离PH，对比两者即可证明结论。
(3) 第三小问$△ AOP$的周长为$AO+AP+OP$，其中AO长度是定值，因此只需使$AP+OP$最小即可。根据第二问的结论$OP=PH$（本题中为PB），可将$AP+OP$转化为$AP+PB$，根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时$AP+PB$最小，此时点P横坐标与点A相同，代入抛物线解析式即可求出点P坐标。
【解析】
(1) 当$m=0$时，代入$y=\frac{1}{4}x^2-1$得$n=-1$，即$P(0,-1)$，$OP=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1$，$PH=|-1-(-2)|=1$；当$m=4$时，代入得$n=\frac{1}{4}×4^2-1=3$，即$P(4,3)$，$OP=\sqrt{4^2+3^2}=5$，$PH=|3-(-2)|=5$。
(2) 猜想$OP=PH$，证明如下：设$PH$交$x$轴于点$Q$，因为$PH ⊥ l$，$l // x$轴，所以$PH ⊥ x$轴。点$P$在抛物线上，坐标为$(m,\frac{1}{4}m^2-1)$，则$PQ=|\frac{1}{4}m^2-1|$，$OQ=|m|$。在$Rt△ OPQ$中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{PQ^2+OQ^2}=\sqrt{(\frac{1}{4}m^2-1)^2+m^2}=\sqrt{(\frac{1}{4}m^2+1)^2}=\frac{1}{4}m^2+1$，
$PH$是点$P$到直线$l:y=-2$的距离，即$PH=(\frac{1}{4}m^2-1)-(-2)=\frac{1}{4}m^2+1$，因此$OP=PH$。
(3) 过点$P$作$PB ⊥ l$，垂足为$B$，由(2)可知$PB=PO$，则$△ AOP$的周长$C_{△ AOP}=AO+PA+PO=AO+PA+PB$。因为$OA$为定值，所以当$PA+PB$最小时，$△ AOP$周长最小。根据两点之间线段最短，当$A、P、B$三点共线时$PA+PB$最小，此时点$P$横坐标与点$A(-3,4)$横坐标相同，为$-3$，代入抛物线解析式得$y=\frac{1}{4}×(-3)^2-1=\frac{5}{4}$，即点$P$坐标为$(-3,\frac{5}{4})$。
【答案】
6. (1) 1 1 5 5
【解】(2)猜想:$OP=PH$.
证明:如图(1),设$PH$交$x$轴于点$Q$.
∵ $PH ⊥ l,l// x$轴,
∴ $PH ⊥ x$轴.
∵ 点$P$在抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 -1$ 上，
∴ $P(m,\frac{1}{4}m^2 -1)$,则$PQ=\left|\frac{1}{4}m^2 -1\right|$,$OQ=|m|$.
∵ $△OPQ$ 为直角三角形,
∴ $OP=\sqrt{PQ^2+OQ^2} = \sqrt{(\frac{1}{4}m^2 -1 )^2 +m^2 } = \sqrt{(\frac{1}{4}m^2 +1 )^2 } = \frac{1}{4}m^2 +1$.
∵ $PH=y_p - (-2) = (\frac{1}{4}m^2 -1 ) - (-2) = \frac{1}{4}m^2 +1$,
∴ $OP=PH$.
(3)如图(2),过点 $P$ 作 $PB ⊥ l$,垂足为 $B$. 由(2)可知 $PB = PO$, 则 $C_{△AOP} = AO + PA + PO = AO + PA + PB$. 又
∵ $OA$ 为定值,
∴ 当 $PA+PB$ 的值最小时,$△AOP$ 的周长最小. 当 $A,P,B$ 三点共线时,$PA+PB$ 的值最小,此时 $PA+PB=AB$,点 $P$ 的横坐标为$-3$. 当 $x=-3$ 时,$y=\frac{1}{4}×(-3)^2 -1 = \frac{5}{4}$,
∴ $P(-3,\frac{5}{4})$.
【知识点】
二次函数的点坐标特征，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题将二次函数、勾股定理和最短路径问题相结合，考查了数形结合与转化的数学思想，先通过特殊值猜想结论，再进行一般化证明，最后应用结论解决最值问题，对知识迁移能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
