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1[2026安徽淮南质检,中]关于函数$y=ax^2$和$y=ax+a(a≠0)$在同一坐标系中的图象,四位同学各画了一种,其中可能正确的图象是（
D
）答案
1.D 【解析】当a＞0时,抛物线$y=ax^2$开口向上,一次函数$y=ax+a$的图象经过第一、二、三象限;当a＜0时,抛物线$y=ax^2$开口向下,一次函数$y=ax+a$的图象经过第二、三、四象限.观察各选项可知,可能正确的是D选项.故选D.
解析
【分析】
本题属于同一坐标系下含相同参数的两个函数图象的判断问题，解题思路为：先对参数a的正负进行分类讨论，再分别结合二次函数$y=ax^2$、一次函数$y=ax+a$的图象性质，分析两种情况下两个函数的图象特征，最后逐一对比选项排除不符合的情况，即可得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$的斜率为正、y轴截距为正，图象经过第一、二、三象限。
此时观察选项：C选项的一次函数斜率为负，不符合该情况特征，排除C；D选项的抛物线开口向上，一次函数经过第一、二、三象限，符合该情况特征。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$的斜率为负、y轴截距为负，图象经过第二、三、四象限。
此时观察选项：A选项的一次函数过原点，截距为0，不符合特征，排除A；B选项的一次函数斜率为正，不符合特征，排除B。
综上，只有D选项的图象符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；一次函数图象性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，核心考查同参数下不同函数图象的一致性，解题时只要抓住参数的取值对两个函数图象的共同影响，通过分类讨论排除错误选项即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题属于同一坐标系下含相同参数的两个函数图象的判断问题，解题思路为：先对参数a的正负进行分类讨论，再分别结合二次函数$y=ax^2$、一次函数$y=ax+a$的图象性质，分析两种情况下两个函数的图象特征，最后逐一对比选项排除不符合的情况，即可得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$的斜率为正、y轴截距为正，图象经过第一、二、三象限。
此时观察选项：C选项的一次函数斜率为负，不符合该情况特征，排除C；D选项的抛物线开口向上，一次函数经过第一、二、三象限，符合该情况特征。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$的斜率为负、y轴截距为负，图象经过第二、三、四象限。
此时观察选项：A选项的一次函数过原点，截距为0，不符合特征，排除A；B选项的一次函数斜率为正，不符合特征，排除B。
综上，只有D选项的图象符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；一次函数图象性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，核心考查同参数下不同函数图象的一致性，解题时只要抓住参数的取值对两个函数图象的共同影响，通过分类讨论排除错误选项即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2 [2026 安徽合肥校级质检,中]如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线$x=t$截此三角形所得阴影部分的面积为$S$，则$S$与$t$之间的函数关系图象为下列选项中的 (
A
B
C D
D
)A
B
C D
答案
2.D 【解析】如图,设直线$x=t$与OA,OB分别交于点C,D.在Rt△AOB中,$AB⊥OB$,$AB=OB=3$,
∴$∠AOB=∠A=45°$.
∵$CD⊥OB$,
∴$CD//AB$.
∵$∠A=45°$,
∴$∠OCD=∠COD=45°$,
∴$OD=CD=t$,
∴$S_{△OCD}=\frac{1}{2}×OD×CD=\frac{1}{2}t^2(0≤t≤3)$,即$S=\frac{1}{2}t^2(0≤t≤3)$.故S与t之间的函数关系图象为开口向上的抛物线,且$0≤t≤3$.故选D.
解析
【分析】
解题时首先分析已知Rt△AOB的性质：由AB⊥OB、AB=OB=3可判断△AOB是等腰直角三角形，得到∠AOB=45°；再看直线x=t截三角形得到的阴影部分是△OCD，CD垂直x轴，可推出△OCD也是等腰直角三角形，两条直角边长度都等于t；接着根据三角形面积公式推导S和t的函数关系式，最后结合函数类型、自变量的取值范围判断对应的函数图象即可。
【解析】
设直线$x=t$与OA、OB分别交于点C、D。
在Rt△AOB中，$AB⊥OB$，$AB=OB=3$，
∴$∠ AOB=∠ A=45°$。
∵$CD⊥OB$，
∴$CD// AB$，
∴$∠ OCD=∠ A=45°$，
∴$∠ OCD=∠ COD=45°$，
∴$OD=CD=t$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OD× CD=\frac{1}{2}t^2$，其中$0≤ t≤3$，
即$S=\frac{1}{2}t^2(0≤ t≤3)$，该函数是开口向上的二次函数，且自变量取值范围为0到3，对应图象为开口向上的抛物线的一段。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形的性质、二次函数的图象、动点面积计算
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，将几何动点的面积计算和二次函数图象的判定结合起来，解题核心是先推导得到面积与动点参数的函数关系式，再结合函数性质和自变量范围判断对应图象，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先分析已知Rt△AOB的性质：由AB⊥OB、AB=OB=3可判断△AOB是等腰直角三角形，得到∠AOB=45°；再看直线x=t截三角形得到的阴影部分是△OCD，CD垂直x轴，可推出△OCD也是等腰直角三角形，两条直角边长度都等于t；接着根据三角形面积公式推导S和t的函数关系式，最后结合函数类型、自变量的取值范围判断对应的函数图象即可。
【解析】
设直线$x=t$与OA、OB分别交于点C、D。
在Rt△AOB中，$AB⊥OB$，$AB=OB=3$，
∴$∠ AOB=∠ A=45°$。
∵$CD⊥OB$，
∴$CD// AB$，
∴$∠ OCD=∠ A=45°$，
∴$∠ OCD=∠ COD=45°$，
∴$OD=CD=t$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OD× CD=\frac{1}{2}t^2$，其中$0≤ t≤3$，
即$S=\frac{1}{2}t^2(0≤ t≤3)$，该函数是开口向上的二次函数，且自变量取值范围为0到3，对应图象为开口向上的抛物线的一段。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形的性质、二次函数的图象、动点面积计算
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，将几何动点的面积计算和二次函数图象的判定结合起来，解题核心是先推导得到面积与动点参数的函数关系式，再结合函数性质和自变量范围判断对应图象，能有效考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
3[中]已知点$A(1,1),B(3,1),C(4,2),D(2,2)$，若抛物线$y=ax^2(a＞0)$与四边形$ABCD$的边没有交点，则$a$的取值范围为 (
A.$\frac{1}{8}＜a＜1$
B.$\frac{1}{9}＜a＜1$
C.$a＞1$或$0＜a＜\frac{1}{8}$
D.$a＞1$或$0＜a＜\frac{1}{9}$
D
)A.$\frac{1}{8}＜a＜1$
B.$\frac{1}{9}＜a＜1$
C.$a＞1$或$0＜a＜\frac{1}{8}$
D.$a＞1$或$0＜a＜\frac{1}{9}$
答案
3.D 【解析】分别画出当抛物线$y=ax^2(a＞0)$过四边形ABCD的四个顶点时的图象,如图所示.当$|a|$越大时,抛物线开口越小,离y轴越近;当$|a|$越小时,抛物线开口越大,离y轴越远,
∴若抛物线$y=ax^2(a＞0)$与四边形ABCD的边没有交点,则a的取值范围为$a＞1$或$0＜a＜\frac{1}{9}$.故选D.
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2(a＞0)$的性质：$a$越大，抛物线开口越小；$a$越小，抛物线开口越大。要确定抛物线与四边形$ABCD$无交点的$a$的范围，需先找到抛物线刚好与四边形有交点的临界情况：即抛物线分别经过四边形与抛物线可能相交的边界点$A$、$B$时的$a$值，再根据开口大小的变化判断无交点时的取值范围。
【解析】
步骤1：计算抛物线过点$A(1,1)$时的$a$值
将$A(1,1)$代入$y=ax^2$，得$1=a×1^2$，解得$a=1$。
当$a＞1$时，抛物线开口比$a=1$时更小，在$x≥1$的区域内，相同$x$对应的$y$值大于过$A$点时的$y$值，抛物线位于四边形左侧上方，与四边形的边无交点。
步骤2：计算抛物线过点$B(3,1)$时的$a$值
将$B(3,1)$代入$y=ax^2$，得$1=a×3^2$，解得$a=\frac{1}{9}$。
当$0＜a＜\frac{1}{9}$时，抛物线开口比$a=\frac{1}{9}$时更大，在$x≤3$的区域内，相同$x$对应的$y$值小于过$B$点时的$y$值，且$x=4$时$y=16a＜\frac{16}{9}＜2$，抛物线位于四边形下方，与四边形的边无交点。
步骤3：判断中间范围的交点情况
当$\frac{1}{9}＜a＜1$时，抛物线会与四边形的$AB$边或$CD$边相交，不符合要求。
综上，$a$的取值范围是$a＞1$或$0＜a＜\frac{1}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，函数交点计算，参数范围求解
【点评】
本题结合图象考查二次函数开口大小与参数$a$的关系，解题的关键是找到抛物线与四边形相交的临界$a$值，结合数形结合思想能更快速判断取值范围，是二次函数性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.6
首先回忆二次函数$y=ax^2(a＞0)$的性质：$a$越大，抛物线开口越小；$a$越小，抛物线开口越大。要确定抛物线与四边形$ABCD$无交点的$a$的范围，需先找到抛物线刚好与四边形有交点的临界情况：即抛物线分别经过四边形与抛物线可能相交的边界点$A$、$B$时的$a$值，再根据开口大小的变化判断无交点时的取值范围。
【解析】
步骤1：计算抛物线过点$A(1,1)$时的$a$值
将$A(1,1)$代入$y=ax^2$，得$1=a×1^2$，解得$a=1$。
当$a＞1$时，抛物线开口比$a=1$时更小，在$x≥1$的区域内，相同$x$对应的$y$值大于过$A$点时的$y$值，抛物线位于四边形左侧上方，与四边形的边无交点。
步骤2：计算抛物线过点$B(3,1)$时的$a$值
将$B(3,1)$代入$y=ax^2$，得$1=a×3^2$，解得$a=\frac{1}{9}$。
当$0＜a＜\frac{1}{9}$时，抛物线开口比$a=\frac{1}{9}$时更大，在$x≤3$的区域内，相同$x$对应的$y$值小于过$B$点时的$y$值，且$x=4$时$y=16a＜\frac{16}{9}＜2$，抛物线位于四边形下方，与四边形的边无交点。
步骤3：判断中间范围的交点情况
当$\frac{1}{9}＜a＜1$时，抛物线会与四边形的$AB$边或$CD$边相交，不符合要求。
综上，$a$的取值范围是$a＞1$或$0＜a＜\frac{1}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质，函数交点计算，参数范围求解
【点评】
本题结合图象考查二次函数开口大小与参数$a$的关系，解题的关键是找到抛物线与四边形相交的临界$a$值，结合数形结合思想能更快速判断取值范围，是二次函数性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.6
4[2026黑龙江大庆质检,中]已知点M在抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$上运动,点$A(2,4)$,$B(0,1)$,则$AM+BM$的最小值为
5
.答案
4.5 【解析】根据题意,设点$M(m,\frac{1}{4}m^2)$,则点M到x轴的距离为$\frac{1}{4}m^2$,$BM=\sqrt{(m-0)^2+(\frac{1}{4}m^2-1)^2}=\frac{1}{4}m^2+1$,
∴点M到点B的距离与点M到直线$y=-1$的距离相等.
∵点A的横坐标为2,
∴点M为直线x=2与抛物线的交点时,$AM+BM$取得最小值.如图,设直线x=2与直线$y=-1$的交点为$B'$,则$B'(2,-1)$,
∴$AB'$的长为$AM+BM$的最小值,$AB'=4-(-1)=5$,故答案为5.
解析
【分析】
本题要求抛物线上动点M到两定点A、B的距离和的最小值，解题思路如下：首先先表示出动点M的坐标，通过计算化简BM的长度，发现BM与点M到直线y=-1的距离相等，将AM+BM转化为AM加上点M到直线y=-1的距离；再根据垂线段最短的性质，过点A作直线y=-1的垂线，垂线段的长度即为所求的最小值。
【解析】
设点M的坐标为$(m,\frac{1}{4}m^2)$，
根据两点间距离公式计算BM的长度：
$\begin{aligned}BM&=\sqrt{(m-0)^2+(\frac{1}{4}m^2-1)^2}\\&=\sqrt{m^2+\frac{1}{16}m^4-\frac{1}{2}m^2+1}\\&=\sqrt{\frac{1}{16}m^4+\frac{1}{2}m^2+1}\\&=\sqrt{(\frac{1}{4}m^2+1)^2}\\&=\frac{1}{4}m^2+1\end{aligned}$
点M到直线$y=-1$的距离为$\frac{1}{4}m^2 - (-1)=\frac{1}{4}m^2+1$，因此$BM$等于点M到直线$y=-1$的距离。
则$AM+BM=AM+$点M到直线$y=-1$的距离，根据垂线段最短，过点A作直线$y=-1$的垂线，与抛物线的交点即为使$AM+BM$取最小值的点M，垂线与直线$y=-1$的交点为$B'(2,-1)$，
此时$AM+BM$的最小值等于线段$AB'$的长度，$AB'=4-(-1)=5$。
【答案】
5
【知识点】
1.二次函数的图象与性质 2.两点间距离计算 3.最短路径问题
【点评】
本题将二次函数性质与最短路径问题结合，核心是通过代数运算将BM转化为点M到定直线的距离，再利用垂线段最短求解，考查了转化思想和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题要求抛物线上动点M到两定点A、B的距离和的最小值，解题思路如下：首先先表示出动点M的坐标，通过计算化简BM的长度，发现BM与点M到直线y=-1的距离相等，将AM+BM转化为AM加上点M到直线y=-1的距离；再根据垂线段最短的性质，过点A作直线y=-1的垂线，垂线段的长度即为所求的最小值。
【解析】
设点M的坐标为$(m,\frac{1}{4}m^2)$，
根据两点间距离公式计算BM的长度：
$\begin{aligned}BM&=\sqrt{(m-0)^2+(\frac{1}{4}m^2-1)^2}\\&=\sqrt{m^2+\frac{1}{16}m^4-\frac{1}{2}m^2+1}\\&=\sqrt{\frac{1}{16}m^4+\frac{1}{2}m^2+1}\\&=\sqrt{(\frac{1}{4}m^2+1)^2}\\&=\frac{1}{4}m^2+1\end{aligned}$
点M到直线$y=-1$的距离为$\frac{1}{4}m^2 - (-1)=\frac{1}{4}m^2+1$，因此$BM$等于点M到直线$y=-1$的距离。
则$AM+BM=AM+$点M到直线$y=-1$的距离，根据垂线段最短，过点A作直线$y=-1$的垂线，与抛物线的交点即为使$AM+BM$取最小值的点M，垂线与直线$y=-1$的交点为$B'(2,-1)$，
此时$AM+BM$的最小值等于线段$AB'$的长度，$AB'=4-(-1)=5$。
【答案】
5
【知识点】
1.二次函数的图象与性质 2.两点间距离计算 3.最短路径问题
【点评】
本题将二次函数性质与最短路径问题结合，核心是通过代数运算将BM转化为点M到定直线的距离，再利用垂线段最短求解，考查了转化思想和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5 [2025 安徽亳州质检，中]如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线$y=x^2$上点A的坐标为$(1,1)$，过点A作$AA_1// x$轴交抛物线于点$A_1$，过点$A_1$作$A_1A_2// OA$交抛物线于点$A_2$，过点$A_2$作$A_2A_3// x$轴交抛物线于点$A_3$，过点$A_3$作$A_3A_4// OA$交抛物线于点
$A_4,···$,依此规律进行下去,则点$A_3$的坐标为
刷素养 ▶走向重高
$A_4,···$,依此规律进行下去,则点$A_3$的坐标为$(-2,4)$
，点$A_{2024}$的坐标为$(1\ 013,1\ 013^2)$
。刷素养 ▶走向重高
答案
5.$(-2,4)$ $(1\ 013,1\ 013^2)$ 【解析】设直线OA的表达式为$y=kx(k≠0)$,将点$A(1,1)$代入,得$k=1$,
∴直线OA的表达式为$y=x$.
∵$A(1,1)$,$AA_1//x$轴交抛物线于点$A_1$,
∴$A_1(-1,1)$.
∵$A_1A_2//OA$,
∴设直线$A_1A_2$的表达式为$y=x+n$.将$A_1(-1,1)$代入得$n=2$,
∴$y=x+2$.联立得$\begin{cases}y=x+2, \\ y=x^2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1, \\ y=1\end{cases}$或$\begin{cases}x=2, \\ y=4,\end{cases}$
∴$A_2(2,4)$,
∴$A_3(-2,4)$.同理可得,$A_4(3,9)$,$A_5(-3,9),…$,
∴$A_{2n}(n+1,(n+1)^2)$,$A_{2n+1}(-(n+1),(n+1)^2)$,
∴$A_{2024}(1\ 013,1\ 013^2)$.故答案为$(-2,4),(1\ 013,1\ 013^2)$.
∴直线OA的表达式为$y=x$.
∵$A(1,1)$,$AA_1//x$轴交抛物线于点$A_1$,
∴$A_1(-1,1)$.
∵$A_1A_2//OA$,
∴设直线$A_1A_2$的表达式为$y=x+n$.将$A_1(-1,1)$代入得$n=2$,
∴$y=x+2$.联立得$\begin{cases}y=x+2, \\ y=x^2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1, \\ y=1\end{cases}$或$\begin{cases}x=2, \\ y=4,\end{cases}$
∴$A_2(2,4)$,
∴$A_3(-2,4)$.同理可得,$A_4(3,9)$,$A_5(-3,9),…$,
∴$A_{2n}(n+1,(n+1)^2)$,$A_{2n+1}(-(n+1),(n+1)^2)$,
∴$A_{2024}(1\ 013,1\ 013^2)$.故答案为$(-2,4),(1\ 013,1\ 013^2)$.
解析
【分析】
解题时先求出直线OA的解析式，利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等、抛物线$y=x^2$关于y轴对称的特点，先得到$A_1$的坐标；再根据两直线平行斜率相等，求出直线$A_1A_2$的解析式，和抛物线解析式联立得到$A_2$的坐标，同理得到$A_3$的坐标；依次求出前几个点的坐标后，总结出偶数下标、奇数下标的点的坐标规律，最后将2024代入规律即可求出$A_{2024}$的坐标。
【解析】
1. 求直线OA的解析式：
设直线OA的表达式为$y=kx(k≠0)$，将$A(1,1)$代入得$1=k×1$，解得$k=1$，故直线OA的解析式为$y=x$。
2. 求$A_1$的坐标：
∵$AA_1// x$轴，$A(1,1)$，抛物线$y=x^2$关于y轴对称，
∴$A_1$与A关于y轴对称，即$A_1(-1,1)$。
3. 求$A_2$的坐标：
∵$A_1A_2// OA$，
∴直线$A_1A_2$的斜率为1，设其解析式为$y=x+n$，
将$A_1(-1,1)$代入得$1=-1+n$，解得$n=2$，即直线$A_1A_2$解析式为$y=x+2$。
联立$\begin{cases}y=x+2 \\ y=x^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1 \\ y=1\end{cases}$（为点$A_1$，舍去）或$\begin{cases}x=2 \\ y=4\end{cases}$，故$A_2(2,4)$。
4. 求$A_3$的坐标：
∵$A_2A_3// x$轴，结合抛物线对称性，$A_3$与$A_2$关于y轴对称，故$A_3(-2,4)$。
5. 找规律求$A_{2024}$：
同理计算可得$A_4(3,9)$，$A_5(-3,9)$……，总结规律：下标为偶数的点$A_{2n}$的坐标为$(n+1,(n+1)^2)$。
令$2n=2024$，解得$n=1012$，则$A_{2024}$的横坐标为$1012+1=1013$，纵坐标为$1013^2$，即$A_{2024}(1013,1013^2)$。
【答案】
$(-2,4)$；$(1013,1013^2)$
【知识点】
二次函数的图象性质；一次函数解析式求解；规律探究
【点评】
本题将二次函数的对称性、一次函数的平行性质与规律探究相结合，解题核心是先求出前几个点的坐标，从中归纳出坐标和下标的对应规律，再代入求解，考查了数形结合和归纳推理的能力。
【难度系数】
0.6
解题时先求出直线OA的解析式，利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等、抛物线$y=x^2$关于y轴对称的特点，先得到$A_1$的坐标；再根据两直线平行斜率相等，求出直线$A_1A_2$的解析式，和抛物线解析式联立得到$A_2$的坐标，同理得到$A_3$的坐标；依次求出前几个点的坐标后，总结出偶数下标、奇数下标的点的坐标规律，最后将2024代入规律即可求出$A_{2024}$的坐标。
【解析】
1. 求直线OA的解析式：
设直线OA的表达式为$y=kx(k≠0)$，将$A(1,1)$代入得$1=k×1$，解得$k=1$，故直线OA的解析式为$y=x$。
2. 求$A_1$的坐标：
∵$AA_1// x$轴，$A(1,1)$，抛物线$y=x^2$关于y轴对称，
∴$A_1$与A关于y轴对称，即$A_1(-1,1)$。
3. 求$A_2$的坐标：
∵$A_1A_2// OA$，
∴直线$A_1A_2$的斜率为1，设其解析式为$y=x+n$，
将$A_1(-1,1)$代入得$1=-1+n$，解得$n=2$，即直线$A_1A_2$解析式为$y=x+2$。
联立$\begin{cases}y=x+2 \\ y=x^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1 \\ y=1\end{cases}$（为点$A_1$，舍去）或$\begin{cases}x=2 \\ y=4\end{cases}$，故$A_2(2,4)$。
4. 求$A_3$的坐标：
∵$A_2A_3// x$轴，结合抛物线对称性，$A_3$与$A_2$关于y轴对称，故$A_3(-2,4)$。
5. 找规律求$A_{2024}$：
同理计算可得$A_4(3,9)$，$A_5(-3,9)$……，总结规律：下标为偶数的点$A_{2n}$的坐标为$(n+1,(n+1)^2)$。
令$2n=2024$，解得$n=1012$，则$A_{2024}$的横坐标为$1012+1=1013$，纵坐标为$1013^2$，即$A_{2024}(1013,1013^2)$。
【答案】
$(-2,4)$；$(1013,1013^2)$
【知识点】
二次函数的图象性质；一次函数解析式求解；规律探究
【点评】
本题将二次函数的对称性、一次函数的平行性质与规律探究相结合，解题核心是先求出前几个点的坐标，从中归纳出坐标和下标的对应规律，再代入求解，考查了数形结合和归纳推理的能力。
【难度系数】
0.6
6 思想方法分类讨论[难]如图,抛物线$y=ax^2$与直线$y=2x$在第一象限内交于点$A(2,t)$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$,使$△ OAP$是以$OA$为腰的等腰三角形?若存在,请你求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)过$A$点作线段$AB$平行于$x$轴且交抛物线$y=ax^2$于点$B$,在$x$轴的正半轴上找一点$C$,使得$OC=AB$,连接$BC$交$y$轴于点$D$,连接$OB$,$AC$,直线$AD$上是否存在一点$Q$,使得$△ CAQ$的面积与$△ CAB$的面积相等?若存在,请求出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的表达式.
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$,使$△ OAP$是以$OA$为腰的等腰三角形?若存在,请你求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)过$A$点作线段$AB$平行于$x$轴且交抛物线$y=ax^2$于点$B$,在$x$轴的正半轴上找一点$C$,使得$OC=AB$,连接$BC$交$y$轴于点$D$,连接$OB$,$AC$,直线$AD$上是否存在一点$Q$,使得$△ CAQ$的面积与$△ CAB$的面积相等?若存在,请求出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
6.【解】(1)把$A(2,t)$代入$y=2x$中,得$t=4$,
∴$A(2,4)$.把$A(2,4)$代入$y=ax^2$中,得$a=1$,
∴抛物线的表达式为$y=x^2$.
(2)存在.设P点的坐标为$(m,0)$.当$OA=OP$时,有$2^2+4^2=m^2$,解得$m=2\sqrt{5}$或$m=-2\sqrt{5}$,
∴P点的坐标为$(-2\sqrt{5},0)$或$(2\sqrt{5},0)$;当$OA=PA$时,有$2^2+4^2=(m-2)^2+4^2$,解得$m=0$(舍去)或$m=4$,
∴P点的坐标为$(4,0)$.
(3)如图,当点Q与点B在直线AC两侧时,延长BA到E,使得$AE=AB=4$,
∴$E(6,4)$,$△CAE$的面积与$△CAB$的面积相等.过E作$EQ'//AC$,与直线AD交于点$Q'$.
∵$△CAQ$的面积与$△CAB$的面积相等,
∴$△CAQ$的面积和$△CAE$的面积相等,
∴$EQ//AC$,此时Q与$Q'$重合.设直线$EQ'$的表达式为$y=-2x+n$,把$E(6,4)$代入$y=-2x+n$,得$n=16$,
∴直线$EQ'$的表达式为$y=-2x+16$.联立两表达式得$\begin{cases}y=-2x+16, \\ y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5, \\ y=6,\end{cases}$
∴$Q'(5,6)$.综上,直线AD上存在一点Q,使得$△CAQ$的面积与$△CAB$的面积相等,Q点坐标为$(-1,2)$或$(5,6)$.
∴$A(2,4)$.把$A(2,4)$代入$y=ax^2$中,得$a=1$,
∴抛物线的表达式为$y=x^2$.
(2)存在.设P点的坐标为$(m,0)$.当$OA=OP$时,有$2^2+4^2=m^2$,解得$m=2\sqrt{5}$或$m=-2\sqrt{5}$,
∴P点的坐标为$(-2\sqrt{5},0)$或$(2\sqrt{5},0)$;当$OA=PA$时,有$2^2+4^2=(m-2)^2+4^2$,解得$m=0$(舍去)或$m=4$,
∴P点的坐标为$(4,0)$.
(3)如图,当点Q与点B在直线AC两侧时,延长BA到E,使得$AE=AB=4$,
∴$E(6,4)$,$△CAE$的面积与$△CAB$的面积相等.过E作$EQ'//AC$,与直线AD交于点$Q'$.
∵$△CAQ$的面积与$△CAB$的面积相等,
∴$△CAQ$的面积和$△CAE$的面积相等,
∴$EQ//AC$,此时Q与$Q'$重合.设直线$EQ'$的表达式为$y=-2x+n$,把$E(6,4)$代入$y=-2x+n$,得$n=16$,
∴直线$EQ'$的表达式为$y=-2x+16$.联立两表达式得$\begin{cases}y=-2x+16, \\ y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5, \\ y=6,\end{cases}$
∴$Q'(5,6)$.综上,直线AD上存在一点Q,使得$△CAQ$的面积与$△CAB$的面积相等,Q点坐标为$(-1,2)$或$(5,6)$.
解析
【分析】
(1) 先利用点A在直线y=2x上，代入横坐标求出点A的纵坐标，得到A点完整坐标，再将A点坐标代入抛物线$y=ax^2$中求出a的值，即可得到抛物线表达式。
(2) 等腰三角形以OA为腰，需分两种情况讨论：①$OA=OP$，此时OP长度等于OA的长度，利用勾股定理求出OA长，即可得到P点坐标；②$OA=PA$，利用两点间距离公式列方程求解，注意舍去与原点重合的无效解。
(3) 首先根据AB平行x轴求出B点坐标，得到AB长度后确定C点坐标，再依次求出直线BC、AD的解析式；$△ CAQ$和$△ CAB$面积相等且共底AC，说明点B、Q到直线AC的距离相等，因此Q在过点B或过点E（E为BA延长线上且$AE=AB$的点）且与AC平行的直线上，求出这两条平行线与直线AD的交点即为Q点坐标。
【解析】
(1)
∵点$A(2,t)$在直线$y=2x$上，将$x=2$代入得：$t=2×2=4$，
∴$A(2,4)$。
将$A(2,4)$代入抛物线$y=ax^2$得：$4=a×2^2$，解得$a=1$，
∴抛物线的表达式为$y=x^2$。
(2) 存在，设点P坐标为$(m,0)$。
先计算OA的长度：$OA=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
① 当$OA=OP$时，$|m|=2\sqrt{5}$，解得$m=2\sqrt{5}$或$m=-2\sqrt{5}$，
此时P点坐标为$(2\sqrt{5},0)$或$(-2\sqrt{5},0)$；
② 当$OA=PA$时，$PA=\sqrt{(m-2)^2+(0-4)^2}=2\sqrt{5}$，
平方得：$(m-2)^2+16=20$，化简得$(m-2)^2=4$，解得$m=4$或$m=0$（$m=0$时与原点重合，不能构成三角形，舍去），
此时P点坐标为$(4,0)$。
综上，符合条件的P点坐标为$(2\sqrt{5},0)$、$(-2\sqrt{5},0)$、$(4,0)$。
(3) 存在。
∵AB平行于x轴，$A(2,4)$，
∴B点纵坐标为4，代入$y=x^2$得$4=x^2$，解得$x=2$或$x=-2$，
∴$B(-2,4)$，
∴$AB=2-(-2)=4$，
∴$OC=AB=4$，C在x轴正半轴，
∴$C(4,0)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+b$，代入$B(-2,4)$、$C(4,0)$得：
$\begin{cases}4=-2k+b \\ 0=4k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3} \\ b=\frac{8}{3}\end{cases}$，
∴直线BC的解析式为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$，交y轴于D，令$x=0$得$y=\frac{8}{3}$，
∴$D(0,\frac{8}{3})$。
设直线AD的解析式为$y=px+q$，代入$A(2,4)$、$D(0,\frac{8}{3})$得：
$\begin{cases}4=2p+q \\ q=\frac{8}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=\frac{2}{3} \\ q=\frac{8}{3}\end{cases}$，
∴直线AD的解析式为$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$。
直线AC的斜率$k_{AC}=\frac{0-4}{4-2}=-2$：
① 当Q与B在AC同侧时：过B作AC的平行线，解析式为$y=-2x+c$，代入$B(-2,4)$得$4=4+c$，$c=0$，即$y=-2x$，
联立$y=-2x$和$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$，解得$\begin{cases}x=-1 \\ y=2\end{cases}$，即$Q(-1,2)$；
② 当Q与B在AC两侧时：延长BA到E，使$AE=AB=4$，得$E(6,4)$，过E作AC的平行线，解析式为$y=-2x+n$，代入$E(6,4)$得$4=-12+n$，$n=16$，即$y=-2x+16$，
联立$y=-2x+16$和$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$，解得$\begin{cases}x=5 \\ y=6\end{cases}$，即$Q(5,6)$。
综上，符合条件的Q点坐标为$(-1,2)$或$(5,6)$。
【答案】
(1) $y=x^2$
(2) 存在，点$P$的坐标为$(2\sqrt{5},0)$、$(-2\sqrt{5},0)$、$(4,0)$
(3) 存在，点$Q$的坐标为$(-1,2)$或$(5,6)$
【知识点】
待定系数法求解析式，等腰三角形分类讨论，函数与几何综合
【点评】
本题围绕二次函数与一次函数的综合应用展开，覆盖了解析式求解、等腰三角形存在性、等面积问题等核心考点，解题过程中需注意分类讨论思想的应用，避免漏解，将等面积问题转化为平行线间距离相等是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.3
(1) 先利用点A在直线y=2x上，代入横坐标求出点A的纵坐标，得到A点完整坐标，再将A点坐标代入抛物线$y=ax^2$中求出a的值，即可得到抛物线表达式。
(2) 等腰三角形以OA为腰，需分两种情况讨论：①$OA=OP$，此时OP长度等于OA的长度，利用勾股定理求出OA长，即可得到P点坐标；②$OA=PA$，利用两点间距离公式列方程求解，注意舍去与原点重合的无效解。
(3) 首先根据AB平行x轴求出B点坐标，得到AB长度后确定C点坐标，再依次求出直线BC、AD的解析式；$△ CAQ$和$△ CAB$面积相等且共底AC，说明点B、Q到直线AC的距离相等，因此Q在过点B或过点E（E为BA延长线上且$AE=AB$的点）且与AC平行的直线上，求出这两条平行线与直线AD的交点即为Q点坐标。
【解析】
(1)
∵点$A(2,t)$在直线$y=2x$上，将$x=2$代入得：$t=2×2=4$，
∴$A(2,4)$。
将$A(2,4)$代入抛物线$y=ax^2$得：$4=a×2^2$，解得$a=1$，
∴抛物线的表达式为$y=x^2$。
(2) 存在，设点P坐标为$(m,0)$。
先计算OA的长度：$OA=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
① 当$OA=OP$时，$|m|=2\sqrt{5}$，解得$m=2\sqrt{5}$或$m=-2\sqrt{5}$，
此时P点坐标为$(2\sqrt{5},0)$或$(-2\sqrt{5},0)$；
② 当$OA=PA$时，$PA=\sqrt{(m-2)^2+(0-4)^2}=2\sqrt{5}$，
平方得：$(m-2)^2+16=20$，化简得$(m-2)^2=4$，解得$m=4$或$m=0$（$m=0$时与原点重合，不能构成三角形，舍去），
此时P点坐标为$(4,0)$。
综上，符合条件的P点坐标为$(2\sqrt{5},0)$、$(-2\sqrt{5},0)$、$(4,0)$。
(3) 存在。
∵AB平行于x轴，$A(2,4)$，
∴B点纵坐标为4，代入$y=x^2$得$4=x^2$，解得$x=2$或$x=-2$，
∴$B(-2,4)$，
∴$AB=2-(-2)=4$，
∴$OC=AB=4$，C在x轴正半轴，
∴$C(4,0)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+b$，代入$B(-2,4)$、$C(4,0)$得：
$\begin{cases}4=-2k+b \\ 0=4k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3} \\ b=\frac{8}{3}\end{cases}$，
∴直线BC的解析式为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$，交y轴于D，令$x=0$得$y=\frac{8}{3}$，
∴$D(0,\frac{8}{3})$。
设直线AD的解析式为$y=px+q$，代入$A(2,4)$、$D(0,\frac{8}{3})$得：
$\begin{cases}4=2p+q \\ q=\frac{8}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=\frac{2}{3} \\ q=\frac{8}{3}\end{cases}$，
∴直线AD的解析式为$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$。
直线AC的斜率$k_{AC}=\frac{0-4}{4-2}=-2$：
① 当Q与B在AC同侧时：过B作AC的平行线，解析式为$y=-2x+c$，代入$B(-2,4)$得$4=4+c$，$c=0$，即$y=-2x$，
联立$y=-2x$和$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$，解得$\begin{cases}x=-1 \\ y=2\end{cases}$，即$Q(-1,2)$；
② 当Q与B在AC两侧时：延长BA到E，使$AE=AB=4$，得$E(6,4)$，过E作AC的平行线，解析式为$y=-2x+n$，代入$E(6,4)$得$4=-12+n$，$n=16$，即$y=-2x+16$，
联立$y=-2x+16$和$y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$，解得$\begin{cases}x=5 \\ y=6\end{cases}$，即$Q(5,6)$。
综上，符合条件的Q点坐标为$(-1,2)$或$(5,6)$。
【答案】
(1) $y=x^2$
(2) 存在，点$P$的坐标为$(2\sqrt{5},0)$、$(-2\sqrt{5},0)$、$(4,0)$
(3) 存在，点$Q$的坐标为$(-1,2)$或$(5,6)$
【知识点】
待定系数法求解析式，等腰三角形分类讨论，函数与几何综合
【点评】
本题围绕二次函数与一次函数的综合应用展开，覆盖了解析式求解、等腰三角形存在性、等面积问题等核心考点，解题过程中需注意分类讨论思想的应用，避免漏解，将等面积问题转化为平行线间距离相等是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.3
