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13.已知α,β为锐角,有以下结论:
①若α+β=90°,则$\sinα=\cosβ$;
②若α+β=90°,则$\cosα=\sinβ$;
③若α+β=90°,则$\tanα·\tanβ=1$;
④若α+β=90°,则$\tanα=\tanβ$.
其中正确的结论是
①若α+β=90°,则$\sinα=\cosβ$;
②若α+β=90°,则$\cosα=\sinβ$;
③若α+β=90°,则$\tanα·\tanβ=1$;
④若α+β=90°,则$\tanα=\tanβ$.
其中正确的结论是
①②③
.(填序号)答案
13.①②③
14.在$△ ABC$中，$∠ A$为锐角，已知$\cos(90° - ∠ A)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan(90° - ∠ B)=\sqrt{3}$，请判断$△ ABC$的形状。
答案
14.解:
∵$\cos(90° - ∠ A)=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$∠ A = 60°$.
∵$\tan(90° - ∠ B)=\sqrt{3}$,
∴$90° - ∠ B = 60°$,
∴$∠ B = 30°$,
∴$∠C=180°-(30°+60°)=90°$,
∴$△ABC$是直角三角形.
∵$\cos(90° - ∠ A)=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$∠ A = 60°$.
∵$\tan(90° - ∠ B)=\sqrt{3}$,
∴$90° - ∠ B = 60°$,
∴$∠ B = 30°$,
∴$∠C=180°-(30°+60°)=90°$,
∴$△ABC$是直角三角形.
15.已知$\sin 30°=\cos[5(α-9°)]$，且$0°＜5(α-9°)＜90°$，求$α$的度数.
答案
15.解:
∵$90°-30°=60°$,
∴$\sin 30°=\cos 60°$.
∵$\sin 30°=\cos[5(α-9°)]$,$0°＜5(α-9°)＜90°$,
∴$60°=5(α-9°)$,
∴$α=21°$.
∵$90°-30°=60°$,
∴$\sin 30°=\cos 60°$.
∵$\sin 30°=\cos[5(α-9°)]$,$0°＜5(α-9°)＜90°$,
∴$60°=5(α-9°)$,
∴$α=21°$.
16.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，设$x=\sin A+\cos A$，$y=\sin B+\cos B$，试判断$x$，$y$之间的大小关系。
答案
16.解:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,
∴$∠ A+∠ B=90°$,
∴$\sin A=\cos B$,$\sin B=\cos A$.由等式的性质可知,$\sin A+\cos A=\cos B+\sin B$.又
∵$x=\sin A+\cos A$,$y=\sin B+\cos B$,
∴$x=y$.
∴$∠ A+∠ B=90°$,
∴$\sin A=\cos B$,$\sin B=\cos A$.由等式的性质可知,$\sin A+\cos A=\cos B+\sin B$.又
∵$x=\sin A+\cos A$,$y=\sin B+\cos B$,
∴$x=y$.
17.[推理能力]如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题.
$\sin^2 A_1 + \sin^2 B_1 =$
$\sin^2 A_2 + \sin^2 B_2 =$
$\sin^2 A_3 + \sin^2 B_3 =$
(1)观察上述等式,猜想:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,都有$\sin^2 A + \sin^2 B =$
(2)如图④,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$的对边分别是$a$,$b$,$c$,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想;
(3)已知$∠ A + ∠ B = 90°$,且$\sin A = \frac{5}{13}$,求$\sin B$的值.
$\sin^2 A_1 + \sin^2 B_1 =$
1
;$\sin^2 A_2 + \sin^2 B_2 =$
1
;$\sin^2 A_3 + \sin^2 B_3 =$
1
.(1)观察上述等式,猜想:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,都有$\sin^2 A + \sin^2 B =$
1
;(2)如图④,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$的对边分别是$a$,$b$,$c$,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想;
(3)已知$∠ A + ∠ B = 90°$,且$\sin A = \frac{5}{13}$,求$\sin B$的值.
答案
17.1 1 1 (1)1
(2)证明:如题图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$.
∵$\sin A = \frac{a}{c}$,$\sin B = \frac{b}{c}$,
∴$\sin^2 A + \sin^2 B = \frac{a^2+b^2}{c^2}$.
∵$∠ C=90°$,
∴$a^2 + b^2 = c^2$,
∴$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$.
(3)解:
∵$\sin A = \frac{5}{13}$,$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$,
∴$\sin B = \sqrt{1-(\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$.
(2)证明:如题图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$.
∵$\sin A = \frac{a}{c}$,$\sin B = \frac{b}{c}$,
∴$\sin^2 A + \sin^2 B = \frac{a^2+b^2}{c^2}$.
∵$∠ C=90°$,
∴$a^2 + b^2 = c^2$,
∴$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$.
(3)解:
∵$\sin A = \frac{5}{13}$,$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$,
∴$\sin B = \sqrt{1-(\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$.
