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1.【教材P148练习T1变式题】如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$.
(1)若$AD$为$△ ABC$的角平分线，$BC=8$，则$CD$的长为
(2)若$D$为$BC$的中点，$∠ BAD=50°$，则$∠ C$的度数为
(3)若$AD$为边$BC$上的高，且$AB=5$，$BD=4$，则$△ ABC$的周长为
(1)若$AD$为$△ ABC$的角平分线，$BC=8$，则$CD$的长为
4
；(2)若$D$为$BC$的中点，$∠ BAD=50°$，则$∠ C$的度数为
40°
；(3)若$AD$为边$BC$上的高，且$AB=5$，$BD=4$，则$△ ABC$的周长为
18
.答案
1.(1)4 (2)40° (3)18
解析
【分析】
本题围绕等腰三角形的性质设置问题，解题核心是运用等腰三角形“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）的性质，结合已知条件推导线段或角的数量关系，再进行计算即可。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，BC为底边。
又
∵ AD为△ABC的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD也是底边BC的中线，即D是BC的中点，
∴ CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×8 = 4。
(2)
∵ AB=AC，D为BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，
∴ ∠CAD = ∠BAD = 50°，∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠C = 90° - ∠CAD = 90° - 50° = 40°。
(3)
∵ AB=AC，AD为边BC上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是底边BC的中线，
∴ BC = 2BD = 2×4 = 8，
又
∵ AC=AB=5，
∴ △ABC的周长 = AB + AC + BC = 5 + 5 + 8 = 18。
【答案】
(1)4；(2)40°；(3)18
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形等边对等角；三角形周长计算
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，三个小问分别对应三线合一的三种不同应用场景，熟练掌握该性质即可快速求解，是巩固等腰三角形基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题围绕等腰三角形的性质设置问题，解题核心是运用等腰三角形“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）的性质，结合已知条件推导线段或角的数量关系，再进行计算即可。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，BC为底边。
又
∵ AD为△ABC的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD也是底边BC的中线，即D是BC的中点，
∴ CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×8 = 4。
(2)
∵ AB=AC，D为BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，
∴ ∠CAD = ∠BAD = 50°，∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠C = 90° - ∠CAD = 90° - 50° = 40°。
(3)
∵ AB=AC，AD为边BC上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是底边BC的中线，
∴ BC = 2BD = 2×4 = 8，
又
∵ AC=AB=5，
∴ △ABC的周长 = AB + AC + BC = 5 + 5 + 8 = 18。
【答案】
(1)4；(2)40°；(3)18
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形等边对等角；三角形周长计算
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，三个小问分别对应三线合一的三种不同应用场景，熟练掌握该性质即可快速求解，是巩固等腰三角形基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，BD 是等边三角形 ABC 的高，以点 D 为圆心，以 BD 长为半径作弧，交 BC 的延长线于点 E，则∠DEC=
条件变式
如图，在等边三角形 ABC 中，AB=2，BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至点 E，使 CE=CD，则 BE 的长为
30
°。 条件变式
如图，在等边三角形 ABC 中，AB=2，BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至点 E，使 CE=CD，则 BE 的长为
3
。答案
2.30 [变式题] 3
解析
【分析】
原题解题思路
首先回忆等边三角形的性质：等边三角形的每个内角都是60°，且高、中线、角平分线三线合一，因此BD作为高可先求出∠DBC的度数；再根据作图规则可知BD=DE，得到等腰△BDE，利用等腰三角形等边对等角的性质即可求出∠DEC的度数。
变式题解题思路
先根据等边三角形的边长得到BC的长度，再利用三线合一的性质求出CD的长度，结合CE=CD的条件得到CE的长，最后通过线段和的关系即可求出BE的长度。
【解析】
原题解析
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD是等边△ABC的高，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
由作图可知，BD=DE（同圆的半径相等），
∴△BDE是等腰三角形，∠DEC=∠DBC=30°。
变式题解析
∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴BC=AC=AB=2，
∵BD是AC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，D为AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=1，
又
∵CE=CD，
∴CE=1，
∴BE=BC+CE=2+1=3。
【答案】
2. 30；[变式题] 3
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；线段和差计算
【点评】
两道题都围绕特殊三角形的性质展开考查，解题核心是灵活运用等边三角形三线合一的性质，解题时结合图形分析线段和角的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
原题解题思路
首先回忆等边三角形的性质：等边三角形的每个内角都是60°，且高、中线、角平分线三线合一，因此BD作为高可先求出∠DBC的度数；再根据作图规则可知BD=DE，得到等腰△BDE，利用等腰三角形等边对等角的性质即可求出∠DEC的度数。
变式题解题思路
先根据等边三角形的边长得到BC的长度，再利用三线合一的性质求出CD的长度，结合CE=CD的条件得到CE的长，最后通过线段和的关系即可求出BE的长度。
【解析】
原题解析
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD是等边△ABC的高，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
由作图可知，BD=DE（同圆的半径相等），
∴△BDE是等腰三角形，∠DEC=∠DBC=30°。
变式题解析
∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴BC=AC=AB=2，
∵BD是AC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，D为AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=1，
又
∵CE=CD，
∴CE=1，
∴BE=BC+CE=2+1=3。
【答案】
2. 30；[变式题] 3
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；线段和差计算
【点评】
两道题都围绕特殊三角形的性质展开考查，解题核心是灵活运用等边三角形三线合一的性质，解题时结合图形分析线段和角的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是边$BC$上的中线，$BE⊥ AC$于点$E$.求证：$∠ CBE=∠ BAD$. 
答案
证明:
∵AB=AC,AD 是边 BC 上的中线，
∴AD 平分∠BAC,AD⊥BC.
∴∠CAD=∠BAD,∠CAD+∠C=90°.
∵BE⊥AC,
∴∠CBE+∠C=90°.
∴∠CBE=∠CAD.
∴∠CBE=∠BAD.
∵AB=AC,AD 是边 BC 上的中线，
∴AD 平分∠BAC,AD⊥BC.
∴∠CAD=∠BAD,∠CAD+∠C=90°.
∵BE⊥AC,
∴∠CBE+∠C=90°.
∴∠CBE=∠CAD.
∴∠CBE=∠BAD.
解析
【分析】
要证明∠CBE=∠BAD，可通过等量代换的思路推导：首先由△ABC是等腰三角形、AD是BC边上的中线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD同时是∠BAC的角平分线和BC边上的高，由此可得∠BAD=∠CAD，且∠CAD与∠C互余；再结合BE⊥AC的条件，可得∠CBE也与∠C互余，根据“同角的余角相等”推出∠CBE=∠CAD，最后通过等量代换即可完成证明。
【解析】
证明:
∵AB=AC,AD 是边 BC 上的中线，
∴AD 平分∠BAC,AD⊥BC.
∴∠CAD=∠BAD,∠CAD+∠C=90°.
∵BE⊥AC,
∴∠CBE+∠C=90°.
∴∠CBE=∠CAD.
∴∠CBE=∠BAD.
【答案】
∠CBE=∠BAD，证明过程如上。
【知识点】
等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余，余角的性质
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到相等的角与垂直关系，再结合余角的性质完成角的等量代换，是等腰三角形相关证明的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要证明∠CBE=∠BAD，可通过等量代换的思路推导：首先由△ABC是等腰三角形、AD是BC边上的中线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD同时是∠BAC的角平分线和BC边上的高，由此可得∠BAD=∠CAD，且∠CAD与∠C互余；再结合BE⊥AC的条件，可得∠CBE也与∠C互余，根据“同角的余角相等”推出∠CBE=∠CAD，最后通过等量代换即可完成证明。
【解析】
证明:
∵AB=AC,AD 是边 BC 上的中线，
∴AD 平分∠BAC,AD⊥BC.
∴∠CAD=∠BAD,∠CAD+∠C=90°.
∵BE⊥AC,
∴∠CBE+∠C=90°.
∴∠CBE=∠CAD.
∴∠CBE=∠BAD.
【答案】
∠CBE=∠BAD，证明过程如上。
【知识点】
等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余，余角的性质
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到相等的角与垂直关系，再结合余角的性质完成角的等量代换，是等腰三角形相关证明的典型基础题。
【难度系数】
0.8
4.如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且点B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是
“三线合一”
.答案
4.“三线合一”
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：①固定绳长度相等，即AB=AC；②固定点B、C到杆脚E的距离相等，即BE=CE，且B、E、C共线。第一步由AB=AC可判定△ABC为等腰三角形，BC是该等腰三角形的底边；第二步由BE=CE可知AE是等腰△ABC底边BC上的中线；要推导AE⊥BC，对应等腰三角形的相关性质即可得到操作的依据。
【解析】
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，BC为其底边。
又
∵ BE=CE，
∴ AE是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合，可得AE⊥BC，即电线杆DE垂直于BC。
因此该操作方法的依据是三线合一。
【答案】
三线合一
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合实际生活场景考查等腰三角形相关性质的应用，能够让学生感受到数学知识在实际生活中的实用价值，解题时只需抓住等腰三角形的特征与三线合一的对应条件即可快速得出结论，难度较低。
【难度系数】
0.85
首先梳理题目已知条件：①固定绳长度相等，即AB=AC；②固定点B、C到杆脚E的距离相等，即BE=CE，且B、E、C共线。第一步由AB=AC可判定△ABC为等腰三角形，BC是该等腰三角形的底边；第二步由BE=CE可知AE是等腰△ABC底边BC上的中线；要推导AE⊥BC，对应等腰三角形的相关性质即可得到操作的依据。
【解析】
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，BC为其底边。
又
∵ BE=CE，
∴ AE是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合，可得AE⊥BC，即电线杆DE垂直于BC。
因此该操作方法的依据是三线合一。
【答案】
三线合一
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合实际生活场景考查等腰三角形相关性质的应用，能够让学生感受到数学知识在实际生活中的实用价值，解题时只需抓住等腰三角形的特征与三线合一的对应条件即可快速得出结论，难度较低。
【难度系数】
0.85
5. 新考向 情境题 谢朓楼是宣城市宣州区的一座著名楼阁.如图,谢朓楼的顶部可看成等腰三角形$ABC$,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,则下列结论中不一定正确的是 (
A.$BC=2BD$
B.$AD ⊥ BC$
C.$AD$ 平分 $∠ BAC$
D.$AD=BD$
D
)A.$BC=2BD$
B.$AD ⊥ BC$
C.$AD$ 平分 $∠ BAC$
D.$AD=BD$
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的性质应用，解题思路如下：首先明确已知条件：△ABC为等腰三角形，AB=AC，D是BC中点。先结合线段中点的定义判断A选项；再回忆等腰三角形“三线合一”的性质，依次判断B、C选项；最后分析D选项，AD=BD仅属于特殊等腰三角形的性质，不属于所有等腰三角形的共性，即可选出符合要求的答案。
【解析】
解：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为BC的中点。
1. 根据线段中点的定义，可得$BD=DC=\frac{1}{2}BC$，因此$BC=2BD$，A选项结论正确，不符合题意；
2. 根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合。AD是底边BC上的中线，因此AD也是底边BC的高，即$AD⊥BC$，B选项结论正确，不符合题意；
3. 同时AD也是顶角∠BAC的平分线，即AD平分$∠BAC$，C选项结论正确，不符合题意；
4. 只有当△ABC为等腰直角三角形（$∠ BAC=90°$）时，才有$AD=BD$，普通等腰三角形中AD与BD不一定相等，因此D选项结论不一定正确，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题结合古建筑情境考查等腰三角形的核心性质，重点考查对“三线合一”的理解和应用，解题时要注意区分一般等腰三角形的共性和特殊等腰三角形的特性，不要将特殊情况当成通用结论。
【难度系数】
0.8
本题考查等腰三角形的性质应用，解题思路如下：首先明确已知条件：△ABC为等腰三角形，AB=AC，D是BC中点。先结合线段中点的定义判断A选项；再回忆等腰三角形“三线合一”的性质，依次判断B、C选项；最后分析D选项，AD=BD仅属于特殊等腰三角形的性质，不属于所有等腰三角形的共性，即可选出符合要求的答案。
【解析】
解：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为BC的中点。
1. 根据线段中点的定义，可得$BD=DC=\frac{1}{2}BC$，因此$BC=2BD$，A选项结论正确，不符合题意；
2. 根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合。AD是底边BC上的中线，因此AD也是底边BC的高，即$AD⊥BC$，B选项结论正确，不符合题意；
3. 同时AD也是顶角∠BAC的平分线，即AD平分$∠BAC$，C选项结论正确，不符合题意；
4. 只有当△ABC为等腰直角三角形（$∠ BAC=90°$）时，才有$AD=BD$，普通等腰三角形中AD与BD不一定相等，因此D选项结论不一定正确，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题结合古建筑情境考查等腰三角形的核心性质，重点考查对“三线合一”的理解和应用，解题时要注意区分一般等腰三角形的共性和特殊等腰三角形的特性，不要将特殊情况当成通用结论。
【难度系数】
0.8
6.【教材P147例3变式题】求证:等腰三角形两底角的平分线相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,
.
求证:
请补全已知和求证,并写出证明过程.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,
BF,CE分别平分∠ABC,∠ACB
..
求证:
BF=CE
.请补全已知和求证,并写出证明过程.
答案
6.BF,CE 分别平分∠ABC,∠ACB BF=CE
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BF,CE分别平分∠ABC,∠ACB，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠CBF=∠BCE.
在△BCF和△CBE中,
∵$\begin{cases} ∠BCF=∠CBE, \\ BC=CB, \\ ∠CBF=∠BCE, \end{cases}$
∴△BCF≌△CBE,(ASA)
∴BF=CE.
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BF,CE分别平分∠ABC,∠ACB，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠CBF=∠BCE.
在△BCF和△CBE中,
∵$\begin{cases} ∠BCF=∠CBE, \\ BC=CB, \\ ∠CBF=∠BCE, \end{cases}$
∴△BCF≌△CBE,(ASA)
∴BF=CE.
解析
【分析】
首先根据命题“等腰三角形两底角的平分线相等”补全已知和求证：命题的题设为“三角形是等腰三角形，两条线段分别是两个底角的平分线”，因此已知部分在AB=AC的基础上补充“BF、CE分别平分∠ABC，∠ACB”；命题的结论为“两条底角的平分线相等”，因此求证部分为“BF=CE”。证明线段相等通常可证明线段所在的三角形全等，先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到两底角相等，再结合角平分线的定义推出一组对应角相等，最后以BC为公共边，通过ASA证明△BCF和△CBE全等，即可得到对应边BF=CE的结论。
【解析】
补全已知和求证：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BF，CE分别平分∠ABC，∠ACB。
求证：BF=CE。
证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵BF，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠CBF=∠BCE。
在△BCF和△CBE中，
$\begin{cases} ∠BCF=∠CBE, \\ BC=CB, \\ ∠CBF=∠BCE, \end{cases}$
∴△BCF≌△CBE（ASA），
∴BF=CE。
【答案】
已知补充：BF,CE 分别平分∠ABC,∠ACB
求证：BF=CE
证明过程：
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BF,CE分别平分∠ABC,∠ACB，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠CBF=∠BCE.
在△BCF和△CBE中,
∵$\begin{cases} ∠BCF=∠CBE, \\ BC=CB, \\ ∠CBF=∠BCE, \end{cases}$
∴△BCF≌△CBE,(ASA)
∴BF=CE.
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等腰三角形性质和全等三角形判定的基础综合题，核心考查利用全等三角形证明线段相等的方法，解题关键是通过等腰三角形性质和角平分线定义找到全等所需的等角条件，对夯实几何证明的基础逻辑有很大帮助。
【难度系数】
0.7
首先根据命题“等腰三角形两底角的平分线相等”补全已知和求证：命题的题设为“三角形是等腰三角形，两条线段分别是两个底角的平分线”，因此已知部分在AB=AC的基础上补充“BF、CE分别平分∠ABC，∠ACB”；命题的结论为“两条底角的平分线相等”，因此求证部分为“BF=CE”。证明线段相等通常可证明线段所在的三角形全等，先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到两底角相等，再结合角平分线的定义推出一组对应角相等，最后以BC为公共边，通过ASA证明△BCF和△CBE全等，即可得到对应边BF=CE的结论。
【解析】
补全已知和求证：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BF，CE分别平分∠ABC，∠ACB。
求证：BF=CE。
证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵BF，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠CBF=∠BCE。
在△BCF和△CBE中，
$\begin{cases} ∠BCF=∠CBE, \\ BC=CB, \\ ∠CBF=∠BCE, \end{cases}$
∴△BCF≌△CBE（ASA），
∴BF=CE。
【答案】
已知补充：BF,CE 分别平分∠ABC,∠ACB
求证：BF=CE
证明过程：
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BF,CE分别平分∠ABC,∠ACB，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠CBF=∠BCE.
在△BCF和△CBE中,
∵$\begin{cases} ∠BCF=∠CBE, \\ BC=CB, \\ ∠CBF=∠BCE, \end{cases}$
∴△BCF≌△CBE,(ASA)
∴BF=CE.
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等腰三角形性质和全等三角形判定的基础综合题，核心考查利用全等三角形证明线段相等的方法，解题关键是通过等腰三角形性质和角平分线定义找到全等所需的等角条件，对夯实几何证明的基础逻辑有很大帮助。
【难度系数】
0.7
