7.[2026·安庆期末]如图，AD，CE分别是$△ ABC$的中线和角平分线.若$AB=AC$，$∠ CAD=20°$，则$∠ ACE$的度数是（）

A.$20°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$70°$

7.B

【分析】
首先根据已知条件AB=AC判断△ABC是等腰三角形，结合AD是中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质可知AD同时是顶角∠BAC的角平分线，由此可先求出∠BAC的度数；再根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和定理求出底角∠ACB的度数；最后根据CE是角平分线，即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD平分∠BAC，∠B=∠ACB（等腰三角形三线合一、等腰三角形两底角相等），
∴∠BAC=2∠CAD=2×20°=40°，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}×(180°-∠BAC)$=$\frac{1}{2}×(180°-40°)$=70°，
又
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}∠ACB$=$\frac{1}{2}×70°$=35°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合角平分线定义和三角形内角和公式逐步推导角度，解题时注意性质的适用条件，避免混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7

8.如图，$△ ABC$和$△ ADE$是等边三角形，AD是$△ ABC$的角平分线，AB与DE相交于点F，下列结论中不正确的是（）

A.$AD⊥ BC$
B.$EF=DF$
C.$BE=BD$
D.$AE=AC$

8.D

【分析】
解题时先结合等边三角形的性质，利用等腰（等边）三角形三线合一的性质验证A选项；再通过角的计算得到∠EAB=∠DAB，利用SAS证明三角形全等，进而验证B、C选项；最后对比AE和AC的长度关系，判断D选项的正误。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
1. 验证选项A：
已知△ABC是等边三角形，AD是△ABC的角平分线，根据等边三角形三线合一（角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）的性质，AD同时是BC边上的高，因此$AD⊥BC$，A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B、C：
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$，$AB=AC$，
∵AD平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
∵△ADE是等边三角形，
∴$∠ DAE=60°$，$AE=AD$，
∴$∠ EAB=∠ DAE-∠ BAD=60°-30°=30°$，即$∠ EAB=∠ BAD$。
在$△ AEB$和$△ ADB$中：
$\begin{cases}AE=AD \\∠ EAB=∠ DAB \\AB=AB\end{cases}$
∴$△ AEB≌△ ADB(\mathrm{SAS})$，因此$BE=BD$，C结论正确，不符合题意。
在$△ AEF$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}AE=AD \\∠ EAF=∠ DAF \\AF=AF\end{cases}$
∴$△ AEF≌△ ADF(\mathrm{SAS})$，因此$EF=DF$，B结论正确，不符合题意。
3. 验证选项D：
∵△ADE是等边三角形，
∴$AE=AD$，
在等边△ABC中，AD是角平分线（高），$AD＜AB$（直角三角形中直角边小于斜边），又
∵$AC=AB$，
∴$AD＜AC$，即$AE=AD＜AC$，$AE≠AC$，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一
【点评】
本题核心是对等边三角形性质的灵活运用，解题的关键是通过角的推导得到等角，再借助全等三角形证明线段相等，做题时注意区分等边三角形的边长和内部线段（如高、角平分线）的长度差异，避免误判。
【难度系数】
0.7

9. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，E是AB的中点，连接DE。若△ABC的面积为16，则四边形ACDE的面积为。
第9题图

9.12

【分析】
解题时先从已知的等腰三角形和角平分线条件入手，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得出AD是BC边上的中线，因此△ABD和△ACD的面积相等，各为△ABC面积的一半。再结合E是AB中点的条件，可知DE是△ABD的中线，根据三角形中线平分三角形面积的性质，可求出△BDE的面积，最后用△ABC的总面积减去△BDE的面积即可得到四边形ACDE的面积。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC的中线，即D为BC的中点，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16=8$，
又
∵E是AB的中点，
∴DE是△ABD的中线，
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×8=4$，
∴$S_{四边形ACDE}=S_{△ ABC}-S_{△ BDE}=16-4=12$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查等腰三角形性质和三角形中线与面积的关系，解题核心是利用“三线合一”确定中点，再结合中线平分三角形面积的性质逐步推导，是等腰三角形和三角形面积结合的典型题型。
【难度系数】
0.75

10.如图，$△ ABC$是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC边的中点，P是线段AD上的一个动点.当$PC+PE$最小时，$∠ CEP$的度数为.

10.90°

【分析】
要解决PC+PE最小的问题，首先利用轴对称性质转化线段：等边△ABC中AD是BC边上的高，因此AD是△ABC的对称轴，点C和点B关于AD对称，可得PC=PB，那么PC+PE就转化为PB+PE。根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，PB+PE的和最小，即此时PC+PE最小。再结合等边三角形三线合一的性质，即可求出∠CEP的度数。
【解析】
连接BE，交AD于点P，此时PC+PE的值最小。
1. 因为△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，所以AD垂直平分BC，点B与点C关于AD对称，因此$PC=PB$，则$PC+PE=PB+PE$。根据两点之间线段最短，当B、P、E共线时，$PB+PE$取得最小值，即此时$PC+PE$最小。
2. 已知E是等边△ABC中AC边的中点，根据等边三角形三线合一的性质，BE是AC边上的高，因此$BE⊥ AC$，即$∠ CEP=90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型题型，解题的核心是利用轴对称将两条线段和的最小值转化为两点之间线段的长度，再结合等边三角形三线合一的性质计算角度，难度适中，注重对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,E$为边$BC$上一点,且$AB=AE,D$为线段$BE$的中点,过点$E$作$EF ⊥ AE$,过点$A$作$AF // BC$,且$AF,EF$相交于点$F$.求证:
(1)$∠ C=∠ BAD$;

(2)$AC=EF$.

11.证明:(1)
∵AB=AE,D为线段BE的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠C+∠DAC=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAC=90°.
∴∠C=∠BAD.
(2)
∵AF//BC,
∴∠FAE=∠AEB.
∵AB=AE,
∴∠B=∠AEB.
∴∠B=∠FAE.
∵EF⊥AE,
∴∠AEF=90°=∠BAC.
在△ABC和△EAF中,
∵$\begin{cases} ∠B=∠FAE, \\ AB=EA, \\ ∠BAC=∠AEF, \end{cases}$
∴△ABC≌△EAF.(ASA)
∴AC=EF.

【分析】
(1) 要证∠C=∠BAD，可利用同角的余角相等推导：首先由AB=AE、D是BE中点，结合等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，从而得到∠C与∠DAC互余；再结合∠BAC=90°可知∠BAD与∠DAC互余，即可推出两个角相等。
(2) 要证AC=EF，可通过证明两条边所在的三角形全等实现：首先由AF//BC得内错角相等，结合AB=AE推出∠B=∠FAE，再结合∠BAC=∠AEF=90°、AB=EA，用ASA判定△ABC和△EAF全等，即可得到对应边相等。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=90°。
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°。
∴∠C=∠BAD。
(2) 证明：
∵AF//BC，
∴∠FAE=∠AEB。
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB。
∴∠B=∠FAE。
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°=∠BAC。
在△ABC和△EAF中，
∵$\begin{cases} ∠B=∠FAE, \\ AB=EA, \\ ∠BAC=∠AEF, \end{cases}$
∴△ABC≌△EAF(ASA)。
∴AC=EF。
【答案】
(1) 已证∠C=∠BAD；
(2) 已证AC=EF。
（完整证明过程见解析）
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用等腰三角形、平行线的性质推导角的等量关系，再通过全等三角形判定得到边相等的结论，掌握相关性质定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

12. 新考向 类比探究 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$。
（1）如图①，若$∠ BAD＝30°$，$AD$是边$BC$上的高，$AD＝AE$，则$∠ EDC$的度数为。
（2）如图②，若$∠ BAD＝40°$，$AD$是边$BC$上的高，$AD＝AE$，则$∠ EDC$的度数为。
（3）思考：通过以上两题，你发现$∠ BAD$与$∠ EDC$之间有什么数量关系？请用式子表示。
（4）如图③，若$AD$不是边$BC$上的高，$AD＝AE$，是否仍有（3）中的关系存在？请说明理由。

12.解:(1)$15°$ (2)$20°$
(3)$∠BAD=2∠EDC( 或∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD)$.
(4)仍有$∠BAD=2∠EDC$存在.理由如下:
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED.
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴∠BAD=2∠EDC.

【分析】
本题围绕等腰三角形性质开展类比探究：
1. 第(1)(2)问为特殊场景：AD是等腰△ABC底边上的高，首先根据等腰三角形“三线合一”可得AD平分∠BAC、∠ADC=90°；再结合AD=AE可知△ADE为等腰三角形，可求出∠ADE的度数，最后用∠ADC减去∠ADE即可得到∠EDC的度数。
2. 第(3)问根据前两问的计算结果，归纳∠BAD和∠EDC的数量关系即可。
3. 第(4)问为一般情况的证明，利用三角形外角性质，结合AD=AE得∠ADE=∠AED、AB=AC得∠B=∠C，通过等量代换即可推导得出两者的数量关系。
【解析】
(1) 已知$AB=AC$，$AD$是$BC$边上的高，根据等腰三角形三线合一，得$∠ DAC=∠ BAD=30°$，$∠ ADC=90°$。
又$AD=AE$，即$△ ADE$为等腰三角形，因此$∠ ADE=∠ AED=\frac{180°-∠ DAC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
故$∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=90°-75°=15°$。
(2) 同理，$∠ BAD=40°$时，$∠ DAC=40°$，$∠ ADE=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
因此$∠ EDC=90°-70°=20°$。
(3) 由(1)(2)的计算结果可得：$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$，即$∠ BAD=2∠ EDC$。
(4) 仍有$∠ BAD=2∠ EDC$存在，理由如下：
$\because AD=AE$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED$。
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$。
又$\because ∠ ADC=∠ ADE+∠ EDC=∠ AED+∠ EDC$，且$∠ AED$是$△ DEC$的外角，$\therefore ∠ AED=∠ C+∠ EDC$。
代入可得：$∠ B+∠ BAD=∠ C+∠ EDC+∠ EDC=∠ C+2∠ EDC$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$，因此$∠ BAD=2∠ EDC$。
【答案】
(1) $15°$；(2) $20°$；(3) $∠ BAD=2∠ EDC$（或$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAD$）；(4) 仍有$∠ BAD=2∠ EDC$存在，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的类比探究类题目，遵循从特殊到一般的探究逻辑，先通过AD为高的特殊场景计算归纳规律，再推导一般情况的结论，考查对等腰三角形性质的灵活运用能力，以及归纳推理、逻辑证明的能力。
【难度系数】
0.7