11.[2025·德州中考]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,分别以点A和点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧交于M,N两点,作直线MN,与AC交于点D,连接BD.若$∠ A=42°$,则$∠ CBD$的度数为 ()

A.$21°$
B.$27°$
C.$30°$
D.$34.5°$

11.B

【分析】
首先根据尺规作图的特征判断MN是AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；再结合等腰三角形AB=AC的性质，用三角形内角和算出∠ABC的度数，最后用∠ABC减去∠ABD即可得到∠CBD的度数。
【解析】
解：由作图可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，点D在MN上，故AD=BD，
∴∠ABD=∠A=42°。
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠C，
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ABC=(180°-∠ A)÷2=(180°-42°)÷2=69°$，
∴$∠ CBD=∠ ABC-∠ ABD=69°-42°=27°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题将尺规作图与几何性质计算结合，考查的都是基础几何性质，解题关键是先从作图中识别出垂直平分线，再结合等腰三角形的性质逐步计算角度。
【难度系数】
0.7

12.如图，$△ ABC$是等边三角形，$BC=BD$.若$∠ ACD=110°$，则$∠ BAD$的度数为.

12.$20°$

【分析】
解题思路：先利用等边三角形的性质得到等边三角形三边相等、三个内角均为60°，再结合已知BC=BD推出AB=BD，可知△ABD为等腰三角形，要得到底角∠BAD的度数，只需先求出△ABD的顶角∠ABD的度数即可。具体步骤如下：①先用∠ACD的度数减去等边三角形内角∠ACB的度数，得到∠BCD的度数；②在等腰△BCD中，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和求出∠CBD的度数；③结合等边三角形内角∠ABC的度数，求和得到∠ABD的度数；④最后在等腰△ABD中，利用等腰三角形性质计算出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°
∵∠ACD=110°
∴∠BCD=∠ACD-∠ACB=110°-60°=50°
∵BC=BD
∴AB=BD，△BCD为等腰三角形，∠BCD=∠BDC=50°
∴∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=180°-50°×2=80°
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+80°=140°
∵AB=BD，△ABD为等腰三角形
∴∠BAD=(180°-∠ABD)÷2=(180°-140°)÷2=20°
【答案】
20°
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形性质的常规综合应用题，解题的核心是准确梳理等边三角形、等腰三角形的边角关系，理清各角度之间的和差逻辑，计算时注意不要混淆角的位置即可。
【难度系数】
0.7

13.【教材P146练习T2变式题】如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点D在BC边上，连接AD.若$AD=BD$，$AC=DC$，则$∠ DAC$的度数为.

13.$72°$

【分析】
本题涉及多个等腰三角形，解题时可利用等腰三角形“等边对等角”的性质，设最小的角为未知数，将相关角都用该未知数表示，再结合三角形外角性质和三角形内角和为180°列方程求解。首先设∠B为x，依次推导其余角的表达式，最后利用△ABC的内角和列方程计算未知数，进而求出∠DAC的度数。
【解析】
设$∠ B = x$，
$\because AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠ C = ∠ B = x$，
$\because AD=BD$，同理可得$∠ BAD = ∠ B = x$，
根据三角形外角的性质，$∠ ADC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = x + x = 2x$，
又$\because AC=DC$，$\therefore ∠ DAC = ∠ ADC = 2x$，
则$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ DAC = x + 2x = 3x$，
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ B + ∠ C + ∠ BAC = 180°$，代入得$x + x + 3x = 180°$，
解得$x=36°$，
$\therefore ∠ DAC = 2x = 2×36° = 72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，通过设未知数表示角度、结合内角和列方程的方法，是解决多等腰三角形角度计算问题的常用思路，掌握该技巧能快速处理同类题型。
【难度系数】
0.7

14.【教材P156复习题T3变式题】如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°,AC=2AB,D$是$AC$的中点。若$△ EAD$为等腰三角形，$∠ AED=90°$,则$∠ EBC=$$°.$

14.45

【分析】
解题思路如下：首先根据“AC=2AB，D是AC中点”推导得到AB=AD=CD；再结合等腰直角△EAD的性质，得到EA=ED，∠EAD=∠EDA=45°，进而推出∠EAB和∠EDC都为135°，通过SAS证明△EAB≌△EDC，得到EB=EC且∠BEC=90°，即可判断△BEC是等腰直角三角形，求出∠EBC的度数。
【解析】
1. 已知∠BAC=90°，D是AC的中点，因此AC=2AD=2CD，结合条件AC=2AB，可得AB=AD=CD。
2. 因为△EAD是等腰直角三角形，∠AED=90°，所以EA=ED，∠EAD=∠EDA=45°。
3. 计算角度：
∠EAB=∠BAC + ∠EAD=90°+45°=135°，
∠EDC=180°-∠EDA=180°-45°=135°，
因此∠EAB=∠EDC。
4. 在△EAB和△EDC中：
$\{\begin{array}{l}EA=ED\\ ∠ EAB=∠ EDC\\ AB=DC\end{array} $
所以△EAB≌△EDC（SAS）。
5. 由全等性质可得EB=EC，∠AEB=∠DEC，因此∠BEC=∠BED+∠DEC=∠BED+∠AEB=∠AED=90°，即△BEC是等腰直角三角形。
6. 所以∠EBC=45°。
【答案】
45
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型综合题，解题的关键是结合线段的倍数关系和中点找到相等的边，再通过角度推导证明三角形全等，进而得到等腰直角三角形求解。
【难度系数】
0.65

15. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，点 $D,E$ 分别在 $BC,AC$ 边上，且 $AE=CD$，$AD$ 与 $BE$ 相交于点 $F$.
(1)线段 $AD$ 与 $BE$ 有什么数量关系？试证明你的结论；

(2)求 $∠ BFD$ 的度数.

15.解:(1)$AD=BE$.证明如下：
$\because △ ABC$ 为等边三角形,$\therefore ∠ C=∠ BAC=60°,CA=AB.$
在$△ CAD$ 和$△ ABE$ 中,$\because \begin{cases} CA=AB, \\ ∠ C=∠ BAE, \\ CD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ CAD ≌ △ ABE.(SAS)$
$\therefore AD=BE.$
(2)$\because △ CAD ≌ △ ABE,\therefore ∠ CAD=∠ ABE.$
$\because ∠ BFD=∠ ABE+∠ BAD,$
$\therefore ∠ BFD=∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC=60°.$

【分析】
(1) 要判断AD与BE的数量关系，观察可知两条线段分别在△CAD和△ABE中。已知△ABC是等边三角形，可得到等边、等角的条件，再结合已知AE=CD，可通过SAS判定两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得到两条线段的关系。
(2) 求∠BFD的度数，可利用三角形外角的性质：∠BFD是△ABF的外角，等于∠ABE+∠BAD，结合第一问全等得到的角相等的结论，进行等量代换，即可将∠BFD转化为等边三角形的内角，从而求出度数。
【解析】
(1) $AD=BE$，证明如下：
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore ∠ C=∠ BAC=60°,CA=AB$。
在$△ CAD$和$△ ABE$中，
$\begin{cases}CA=AB \\∠ C=∠ BAE \\CD=AE\end{cases}$
$\therefore △ CAD ≌ △ ABE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=BE$。
(2) $\because △ CAD ≌ △ ABE$，
$\therefore ∠ CAD=∠ ABE$。
$\because ∠ BFD$是$△ ABF$的外角，$\therefore ∠ BFD=∠ ABE+∠ BAD$，
代入$∠ ABE=∠ CAD$得：
$∠ BFD=∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC=60°$。
【答案】
(1) $AD=BE$；
(2) $∠ BFD=60°$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形模块的典型基础题，解题核心是结合等边三角形的性质找到全等三角形的判定条件，再通过角的等量代换求解角度，能很好地巩固全等三角形、等边三角形的相关应用。
【难度系数】
0.7

16.[2025·亳州涡阳县期末]在$△ ABC$中，$AB＞AC$，点E在BC边上，连接AE，将$△ AEC$沿AE折叠，使点C落在AB边上的点D处，得$△ AED$，连接CD.
(1)如图①，若$∠ BAC=52°$，$∠ ACB=90°$，则$∠ BCD=$$°$；
(2)如图②，若$AB=BC$，$BD=DE$，求$∠ BCD$的度数.

16.解:(1)26
(2)如图②,设 $AE$ 交 $CD$ 于点 $F$.
由折叠可知 $AE$ 垂直平分 $CD$,
$\therefore DE=CE$,$AD=AC$,
$\therefore ∠ BCD=∠ EDC$,$∠ ADC=∠ ACD.$
$\because BD=DE$,
$\therefore ∠ B=∠ DEB=∠ BCD+∠ EDC=2∠ BCD.$
$\therefore ∠ ADC=∠ ACD=∠ B+∠ BCD=3∠ BCD.$
$\therefore ∠ ACB=∠ BCD+∠ ACD=4∠ BCD.$
$\because AB=BC,\therefore ∠ BAC=∠ ACB=4∠ BCD.$
$\because ∠ B+∠ BAC+∠ ACB=180°,$
$\therefore 2∠ BCD+4∠ BCD+4∠ BCD=180°,\therefore ∠ BCD=18°.$

【分析】
(1) 先根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再结合折叠性质得到AD=AC，可知△ACD为等腰三角形，利用等腰三角形内角和求出∠ACD的度数，最后用∠ACB减去∠ACD即可得到∠BCD的度数。
(2) 先根据折叠的性质得到AE垂直平分CD，推出DE=CE、AD=AC，利用等边对等角得到对应角相等；再结合BD=DE的条件，利用三角形外角的性质将∠B、∠ACB、∠BAC都用∠BCD表示，最后根据△ABC内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=52°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ BAC=38°$，
由折叠的性质可知$AD=AC$，即$△ ACD$是等腰三角形，$∠ ACD=∠ ADC$，
$\therefore ∠ ACD=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-52°)÷2=64°$，
$\therefore ∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=90°-64°=26°$。
(2) 如图②，设$AE$交$CD$于点$F$。
由折叠可知$AE$垂直平分$CD$，
$\therefore DE=CE$，$AD=AC$，
$\therefore ∠ BCD=∠ EDC$，$∠ ADC=∠ ACD$。
$\because BD=DE$，
$\therefore ∠ B=∠ DEB$，
又$\because ∠ DEB$是$△ EDC$的外角，$\therefore ∠ DEB=∠ BCD+∠ EDC=2∠ BCD$，即$∠ B=2∠ BCD$。
$\because ∠ ADC$是$△ BCD$的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BCD=2∠ BCD+∠ BCD=3∠ BCD$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ADC=3∠ BCD$，
$\therefore ∠ ACB=∠ BCD+∠ ACD=∠ BCD+3∠ BCD=4∠ BCD$。
$\because AB=BC$，$\therefore ∠ BAC=∠ ACB=4∠ BCD$。
在$△ ABC$中，$∠ B+∠ BAC+∠ ACB=180°$，
代入得：$2∠ BCD+4∠ BCD+4∠ BCD=180°$，
即$10∠ BCD=180°$，解得$∠ BCD=18°$。
【答案】
(1) $\boxed{26}$
(2) $\boxed{18°}$

【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何角度计算的综合题，将折叠变换与等腰三角形性质、三角形内外角关系相结合，解题的核心是通过折叠的性质找到边、角的等量关系，再通过设未知角、利用内角和构造方程求解，能有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65