9.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,且AB=CD,AD=BC,下列结论不一定成立的是 ()

A.$AD// BC$
B.$AB// CD$
C.$∠ DAB=∠ BCD$
D.$∠ DAC=∠ BAC$

9.D

【分析】
解题时首先从已知条件AB=CD、AD=BC入手，结合公共边，利用“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）”的判定定理证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质，结合平行线的判定定理逐一验证选项：
1. 先证明△ABD和△CDB全等，得到对应角相等，即可推出两组对边平行，验证A、B选项；
2. 由全等三角形对应角相等可直接得到∠DAB=∠BCD，验证C选项；
3. 分析D选项，要使∠DAC=∠BAC，需要额外的邻边相等条件，题干未给出相关条件，因此该结论不一定成立。
【解析】
在△ABD和△CDB中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD(\mathrm{已知})\\AD=BC(\mathrm{已知})\\BD=DB(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∴∠ADB=∠CBD，∠ABD=∠CDB，∠DAB=∠BCD（全等三角形对应角相等）
由∠ADB=∠CBD，可得AD//BC（内错角相等，两直线平行），故A选项结论一定成立；
由∠ABD=∠CDB，可得AB//CD（内错角相等，两直线平行），故B选项结论一定成立；
由全等得∠DAB=∠BCD，故C选项结论一定成立；
对于D选项，要使∠DAC=∠BAC，需满足AD=AB（或BC=CD）等额外条件，题干仅给出两组对边相等，未给出邻边相等的相关条件，因此∠DAC=∠BAC不一定成立。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
SSS证全等、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题考查SSS全等判定的应用，解题的关键是找到公共边构造全等三角形，再结合全等性质和平行线判定分析各选项，注意结论“不一定成立”是指存在不成立的可能，并非一定不成立。
【难度系数】
0.8

10.[2026·淮北期末]在如图所示的正方形网格中，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是网格线的交点)，则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形(不含△ABC)有 ()

A.4个
B.5个
C.6个
D.7个

10.A

【分析】
要解决本题，我们可以结合全等三角形的SSS判定定理，采用分类讨论的思路解题：①分别将△ABC的三条边作为公共边；②对每条公共边，在网格中寻找除原三角形顶点外，能使新三角形三边与△ABC三边对应相等的格点；③统计所有符合条件的三角形数量，注意要排除△ABC本身。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令点B坐标为(0,1)，点C坐标为(3,1)，点A坐标为(1,2)，可得△ABC三边长：AB=√2，AC=√5，BC=3。分三类讨论：
1. 以BC为公共边：新三角形第三个顶点需满足到B距离为√2、到C距离为√5，符合条件的格点为(1,0)，共1个（排除A点本身）；
2. 以AB为公共边：新三角形第三个顶点需满足三边分别等于△ABC的三边长，符合条件的格点为(0,3)、(2,-1)，共2个（排除C点本身）；
3. 以AC为公共边：新三角形第三个顶点需满足三边分别等于△ABC的三边长，符合条件的格点为(3,3)，共1个（排除B点本身）。
综上，符合条件的格点三角形总共有1+2+1=4个。
【答案】
A
【知识点】
SSS判定全等三角形，格点边长计算，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是按公共边的不同分类计数，计数时要注意避免漏数、重复数，同时不要忘记排除原三角形本身。
【难度系数】
0.6

11.如图，$AB=DC$，$AC=DB$，求证：$∠ A=∠ D$。

11.证明:如图,连接 $BC$.

在$△ BAC$ 和$△ CDB$ 中, $\because \begin{cases} AB=DC,\\ AC=DB,\\ BC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ BAC≌△ CDB.(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ A=∠ D.$

【分析】要证明∠A=∠D，可通过证明两角所在的三角形全等实现。已知AB=DC、AC=DB两组边相等，此时只需连接BC，得到△BAC和△CDB的公共边BC=CB，即可满足三边分别相等的全等判定条件，证明三角形全等后，由全等三角形对应角相等就能得到结论。
【解析】证明：首先连接辅助线BC，
在△BAC和△CDB中：
AB=DC（已知），
AC=DB（已知），
BC=CB（公共边相等），
因此△BAC≌△CDB（SSS）。
根据全等三角形对应角相等的性质，可得∠A=∠D。
【答案】证明:如图,连接 $BC$.

在$△ BAC$ 和$△ CDB$ 中, $\because \begin{cases} AB=DC,\\ AC=DB,\\ BC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ BAC≌△ CDB.(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ A=∠ D.$
【知识点】SSS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】本题属于几何基础证明题，解题核心是通过添加辅助线构造公共边，凑齐全等三角形的判定条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】0.85

12.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E为CD的中点,连接AE,BE,延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证:$△ DAE ≌ △ CFE$;

(2)若$AB=BC+AD$,求证:$BE ⊥ AF$.

12.证明:(1)$\because AD// BC,\therefore ∠ ADE=∠ FCE.$
$\because E$ 是 $CD$ 的中点, $\therefore DE=CE$.
在$△ DAE$ 和$△ CFE$ 中, $\because \begin{cases} ∠ ADE=∠ FCE,\\ DE=CE,\\ ∠ AED=∠ FEC, \end{cases}$
$\therefore △ DAE≌△ CFE.(\mathrm{ASA})$
(2)由(1)知$△ DAE≌△ CFE,\therefore AE=FE,AD=FC.$
$\because AB=BC+AD,\therefore AB=BC+FC$,即 $AB=FB$.
在$△ ABE$ 和$△ FBE$ 中, $\because \begin{cases} AB=FB,\\ AE=FE,\\ BE=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ FBE.(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ AEB=∠ FEB.$
又$\because ∠ AEB+∠ FEB=180°$,
$\therefore ∠ AEB=∠ FEB=90°,\therefore BE⊥ AF.$

【分析】
(1) 要证明△DAE≌△CFE，先结合已知条件找全等的判定条件：由AD//BC可得内错角相等，E是CD中点可得一组对应边相等，再加对顶角相等，即可通过ASA证明两三角形全等。
(2) 要证明BE⊥AF，即需证∠AEB=90°。先利用第一问全等的结论，得到对应边相等，将AB=BC+AD转化为AB=BF，再通过SSS证明△ABE≌△FBE，得到对应角相等，结合平角的定义即可推出两个角均为90°，得到垂直结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD// BC,\therefore ∠ADE=∠FCE$。
$\because E$是$CD$的中点，$\therefore DE=CE$。
在$△DAE$和$△CFE$中：
$\begin{cases} ∠ADE=∠FCE,\\ DE=CE,\\ ∠AED=∠FEC, \end{cases}$
$\therefore △DAE≌△CFE(\mathrm{ASA})$。
(2) 证明：
由(1)知$△DAE≌△CFE$，$\therefore AE=FE,AD=FC$。
$\because AB=BC+AD$，$\therefore AB=BC+FC$，即$AB=FB$。
在$△ABE$和$△FBE$中：
$\begin{cases} AB=FB,\\ AE=FE,\\ BE=BE, \end{cases}$
$\therefore △ABE≌△FBE(\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠AEB=∠FEB$。
又$\because ∠AEB+∠FEB=180°$，
$\therefore ∠AEB=∠FEB=90°$，$\therefore BE⊥AF$。
【答案】
(1) 见上述(1)的证明过程；
(2) 见上述(2)的证明过程。
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形的经典综合题，两小问呈递进关系，第一问侧重基础全等判定的考查，第二问需要灵活运用前一问的结论转化边的关系，能够很好地考查几何逻辑推理能力，是几何学习阶段的典型题型。
【难度系数】
0.7

13.如图，A为BE上一点，D为AF上一点，C为ED延长线上一点，AB=AD，AE=AF，BF=DE.
(1)求证：∠E=∠F；
(2)求证：BF⊥CE；
(3)若BC=DC，∠E=20°，求∠ABC的度数.

13.(1)证明:在$△ ADE$ 和$△ ABF$ 中, $\because \begin{cases} AD=AB,\\ AE=AF,\\ DE=BF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ ABF.(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ E=∠ F.$
(2)证明:如图,设 $BF$ 与 $CE$ 相交于点 $O$.

由(1)知$△ ADE≌△ ABF$,
$\therefore ∠ DAE=∠ BAF.$
又$\because ∠ BAF+∠ DAE=180°$,
$\therefore ∠ BAF=∠ DAE=90°.\therefore ∠ ABF+∠ F=90°.$
$\because ∠ E=∠ F,\therefore ∠ ABF+∠ E=90°.$
$\therefore ∠ BOE=90°.\therefore BF⊥ CE.$
(3)解:如图,连接 $AC$.
在$△ ABC$ 和$△ ADC$ 中, $\because \begin{cases} AB=AD,\\ AC=AC,\\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC.(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ ABC=∠ ADC.$
$\because ∠ DAE=90°,∠ E=20°,$
$\therefore ∠ ADC=∠ DAE+∠ E=90°+20°=110°.$
$\therefore ∠ ABC=110°.$

【分析】
(1) 要证明∠E=∠F，观察两角分别在△ADE和△ABF中，已知两组对应边相等、第三组边也相等，可通过SSS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得证；
(2) 要证明BF⊥CE，只需证明两直线夹角为90°。先由(1)的全等得∠DAE=∠BAF，结合两角为邻补角和为180°，可得两个角均为90°，再利用直角三角形两锐角互余，结合∠E=∠F等量代换，可推出BF与CE的夹角为90°，即可证垂直；
(3) 要求∠ABC的度数，已知AB=AD、BC=DC，连接公共边AC后可通过SSS证△ABC与△ADC全等，得∠ABC=∠ADC，再利用三角形外角的性质，∠ADC是△ADE的外角，等于∠DAE与∠E的和，代入已知角度即可求出结果。
【解析】
(1)证明:在$△ ADE$ 和$△ ABF$ 中,
$\because \begin{cases} AD=AB,\\ AE=AF,\\ DE=BF, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ ABF.(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ E=∠ F.$
(2)证明:设 $BF$ 与 $CE$ 相交于点 $O$.

由(1)知$△ ADE≌△ ABF$,
$\therefore ∠ DAE=∠ BAF.$
又$\because ∠ BAF+∠ DAE=180°$,
$\therefore ∠ BAF=∠ DAE=90°.\therefore ∠ ABF+∠ F=90°.$
$\because ∠ E=∠ F,\therefore ∠ ABF+∠ E=90°.$
$\therefore ∠ BOE=90°.\therefore BF⊥ CE.$
(3)解:连接 $AC$.
在$△ ABC$ 和$△ ADC$ 中,
$\because \begin{cases} AB=AD,\\ AC=AC,\\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC.(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ ABC=∠ ADC.$
$\because ∠ DAE=90°,∠ E=20°,$
$\therefore ∠ ADC=∠ DAE+∠ E=90°+20°=110°.$
$\therefore ∠ ABC=110°.$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠E=∠F}$，证明见解析；
(2) $\boldsymbol{BF⊥CE}$，证明见解析；
(3) $\boldsymbol{∠ABC=110°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、垂直的判定、三角形外角的性质
【点评】
本题三个小问层层递进，既考查了全等三角形SSS判定方法的基础应用，也结合了角度推导、垂直证明等核心几何知识，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.7