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1. 小强用三根火柴棒组成的图形如下，其中符合三角形概念的是 （
A
B
C
D
C
）A
B
C
D
答案
1.C
解析
【分析】
要解答本题，首先需明确三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所围成的封闭图形叫做三角形。解题时只需对照三角形定义的几个关键特征，逐个判断选项是否符合要求即可。
【解析】
根据三角形的定义逐一分析各选项：
1. 选项A：三根火柴棒未实现首尾顺次相接，图形不是封闭的，不符合三角形的概念，排除；
2. 选项B：上方火柴棒与左侧火柴棒的交点不是线段端点，不满足“首尾顺次相接”的要求，排除；
3. 选项C：三根火柴棒不在同一直线上，且首尾顺次相接围成了封闭图形，完全符合三角形的概念，当选；
4. 选项D：右侧火柴棒未与底边另一端点相接，不是封闭图形，不满足首尾顺次相接的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确掌握三角形定义的几个关键要素，对照要素逐一排查即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
要解答本题，首先需明确三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所围成的封闭图形叫做三角形。解题时只需对照三角形定义的几个关键特征，逐个判断选项是否符合要求即可。
【解析】
根据三角形的定义逐一分析各选项：
1. 选项A：三根火柴棒未实现首尾顺次相接，图形不是封闭的，不符合三角形的概念，排除；
2. 选项B：上方火柴棒与左侧火柴棒的交点不是线段端点，不满足“首尾顺次相接”的要求，排除；
3. 选项C：三根火柴棒不在同一直线上，且首尾顺次相接围成了封闭图形，完全符合三角形的概念，当选；
4. 选项D：右侧火柴棒未与底边另一端点相接，不是封闭图形，不满足首尾顺次相接的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确掌握三角形定义的几个关键要素，对照要素逐一排查即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2. 看图填空：
(1)图中共有
(2)在△AEF中，顶点A所对的边是
(3)∠ACB是△
(1)图中共有
4
个三角形，它们分别是△ABC,△EBG,△AEF,△CGF
；(2)在△AEF中，顶点A所对的边是
EF
，边AF所对的顶点是E
；(3)∠ACB是△
ABC
的内角，∠ACB的对边是AB
。答案
2.(1)4 △ABC,△EBG,△AEF,△CGF (2)EF E (3)ABC AB
解析
【分析】
(1)数三角形时需按一定顺序枚举，避免重复或遗漏，可从大到小逐一识别所有符合三角形定义（由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形）的图形；
(2)明确三角形顶点与对边的对应规则：在一个三角形中，某个顶点所对的边是不包含该顶点的边，某条边所对的顶点是不在这条边上的顶点；
(3)三角形的内角是三角形内部的角，属于对应三角形的组成部分，内角的对边是不包含该角顶点的边，按此规则判断即可。
【解析】
(1)按顺序识别三角形：①包含A、B、C三点的△ABC；②包含E、B、G三点的△EBG；③包含A、E、F三点的△AEF；④包含C、G、F三点的△CGF，共4个；
(2)在△AEF中，顶点A的对边是不经过A的边EF；边AF的端点为A、F，因此所对的顶点是不在AF上的E；
(3)∠ACB位于△ABC内部，是△ABC的内角；∠ACB的顶点为C，其对边是不包含C的边AB。
【答案】
(1)4；△ABC,△EBG,△AEF,△CGF
(2)EF；E
(3)ABC；AB
【知识点】
三角形的识别，三角形边与顶点的对应关系，三角形内角概念
【点评】
本题考查三角形的基础概念，难度较低，解题的核心是牢记三角形的定义及相关元素的对应规则，数三角形时注意有序计数，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.9
(1)数三角形时需按一定顺序枚举，避免重复或遗漏，可从大到小逐一识别所有符合三角形定义（由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形）的图形；
(2)明确三角形顶点与对边的对应规则：在一个三角形中，某个顶点所对的边是不包含该顶点的边，某条边所对的顶点是不在这条边上的顶点；
(3)三角形的内角是三角形内部的角，属于对应三角形的组成部分，内角的对边是不包含该角顶点的边，按此规则判断即可。
【解析】
(1)按顺序识别三角形：①包含A、B、C三点的△ABC；②包含E、B、G三点的△EBG；③包含A、E、F三点的△AEF；④包含C、G、F三点的△CGF，共4个；
(2)在△AEF中，顶点A的对边是不经过A的边EF；边AF的端点为A、F，因此所对的顶点是不在AF上的E；
(3)∠ACB位于△ABC内部，是△ABC的内角；∠ACB的顶点为C，其对边是不包含C的边AB。
【答案】
(1)4；△ABC,△EBG,△AEF,△CGF
(2)EF；E
(3)ABC；AB
【知识点】
三角形的识别，三角形边与顶点的对应关系，三角形内角概念
【点评】
本题考查三角形的基础概念，难度较低，解题的核心是牢记三角形的定义及相关元素的对应规则，数三角形时注意有序计数，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.9
3.课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类，其中分类错误的是（
A.①是不等边三角形
B.②③是等腰三角形
C.③是等边三角形
D.②③是等边三角形
D
）A.①是不等边三角形
B.②③是等腰三角形
C.③是等边三角形
D.②③是等边三角形
答案
3.D
解析
【分析】
解题前先明确三角形按边分类的判定规则：三条边都不相等的是不等边三角形；至少有两条边相等的是等腰三角形；三条边都相等的是等边三角形，且等边三角形属于特殊的等腰三角形。解题时先根据标注的边长判断三个三角形的类型，再逐一核对选项，找出分类错误的选项即可。
【解析】
先逐个判断三个三角形的类型：
1. 三角形①的三边长为2、3、4，三条边长度均不相等，属于不等边三角形，因此A选项分类正确。
2. 三角形②的三边长为3、3、4，有两条边长度相等，属于等腰三角形；三角形③的三边长为3、3、3，三条边长度都相等，属于等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，因此②③都属于等腰三角形，B、C选项分类正确。
3. 三角形②仅有两条边相等，不属于等边三角形，因此“②③是等边三角形”的分类错误，即D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形按边分类、等腰三角形判定、等边三角形判定
【点评】
本题考查三角形按边分类的基础概念，解题的关键是牢记不同类型三角形的边长特征，注意等边三角形是特殊的等腰三角形，切勿混淆判定标准。
【难度系数】
0.8
解题前先明确三角形按边分类的判定规则：三条边都不相等的是不等边三角形；至少有两条边相等的是等腰三角形；三条边都相等的是等边三角形，且等边三角形属于特殊的等腰三角形。解题时先根据标注的边长判断三个三角形的类型，再逐一核对选项，找出分类错误的选项即可。
【解析】
先逐个判断三个三角形的类型：
1. 三角形①的三边长为2、3、4，三条边长度均不相等，属于不等边三角形，因此A选项分类正确。
2. 三角形②的三边长为3、3、4，有两条边长度相等，属于等腰三角形；三角形③的三边长为3、3、3，三条边长度都相等，属于等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，因此②③都属于等腰三角形，B、C选项分类正确。
3. 三角形②仅有两条边相等，不属于等边三角形，因此“②③是等边三角形”的分类错误，即D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形按边分类、等腰三角形判定、等边三角形判定
【点评】
本题考查三角形按边分类的基础概念，解题的关键是牢记不同类型三角形的边长特征，注意等边三角形是特殊的等腰三角形，切勿混淆判定标准。
【难度系数】
0.8
4.(2024－2025·淮南期中)下列长度的三条线段能组成三角形的是 (
A.2,3,5
B.5,15,8
C.10,16,8
D.3,6,9
C
)A.2,3,5
B.5,15,8
C.10,16,8
D.3,6,9
答案
4.C
解析
【分析】要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，不需要验证三组边的和，只需要将两条较短的线段长度相加，和最长的线段长度比较即可：如果两条较短线段的和大于最长线段，就能组成三角形，反之则不能，接下来对每个选项逐一验证即可。
【解析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断方法为：比较两条较短线段的和与最长线段的大小，若和大于最长线段，则可构成三角形。
A选项：较短两边为2、3，和为$2+3=5$，等于最长边5，不能组成三角形，排除；
B选项：较短两边为5、8，和为$5+8=13$，$13＜15$（最长边），不能组成三角形，排除；
C选项：较短两边为8、10，和为$8+10=18$，$18＞16$（最长边），满足三边关系，可以组成三角形；
D选项：较短两边为3、6，和为$3+6=9$，等于最长边9，不能组成三角形，排除。
【答案】C
【知识点】三角形三边的关系
【点评】本题是基础类题型，重点考查三角形三边关系的应用，采用“两短边之和与最长边比较”的技巧可以快速得出结论，减少不必要的计算。
【难度系数】0.8
【解析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断方法为：比较两条较短线段的和与最长线段的大小，若和大于最长线段，则可构成三角形。
A选项：较短两边为2、3，和为$2+3=5$，等于最长边5，不能组成三角形，排除；
B选项：较短两边为5、8，和为$5+8=13$，$13＜15$（最长边），不能组成三角形，排除；
C选项：较短两边为8、10，和为$8+10=18$，$18＞16$（最长边），满足三边关系，可以组成三角形；
D选项：较短两边为3、6，和为$3+6=9$，等于最长边9，不能组成三角形，排除。
【答案】C
【知识点】三角形三边的关系
【点评】本题是基础类题型，重点考查三角形三边关系的应用，采用“两短边之和与最长边比较”的技巧可以快速得出结论，减少不必要的计算。
【难度系数】0.8
5. 如图,为估计池塘两岸A,B间的距离,小华在池塘一侧选取一点P,测得$PA=8\ \mathrm{m},PB=6\ \mathrm{m}$,则点A,B之间的距离不可能是(
A.8 m
B.10 m
C.12 m
D.14 m
D
)A.8 m
B.10 m
C.12 m
D.14 m
答案
5.D
解析
【分析】
这道题是三角形三边关系的实际应用类题目，我们可以将A、B、P三点看作三角形的三个顶点，PA、PB、AB为三角形的三条边，根据三角形三边的取值规则，先求出AB的长度范围，再对比选项判断不符合范围的结果即可。
【解析】
将A、B、P三点看作△PAB的三个顶点，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$PA-PB ＜ AB ＜ PA+PB$
代入已知$PA=8\ \mathrm{m}$，$PB=6\ \mathrm{m}$，计算得：
$8-6 ＜ AB ＜ 8+6$
即$2\ \mathrm{m} ＜ AB ＜ 14\ \mathrm{m}$
观察选项，8m、10m、12m都在该取值范围内，只有14m不在范围内，因此AB的距离不可能是14m。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是将实际场景转化为三角形模型，利用三边关系求出未知边的取值范围再判断即可，掌握三角形三边关系是得分的关键。
【难度系数】
0.9
这道题是三角形三边关系的实际应用类题目，我们可以将A、B、P三点看作三角形的三个顶点，PA、PB、AB为三角形的三条边，根据三角形三边的取值规则，先求出AB的长度范围，再对比选项判断不符合范围的结果即可。
【解析】
将A、B、P三点看作△PAB的三个顶点，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$PA-PB ＜ AB ＜ PA+PB$
代入已知$PA=8\ \mathrm{m}$，$PB=6\ \mathrm{m}$，计算得：
$8-6 ＜ AB ＜ 8+6$
即$2\ \mathrm{m} ＜ AB ＜ 14\ \mathrm{m}$
观察选项，8m、10m、12m都在该取值范围内，只有14m不在范围内，因此AB的距离不可能是14m。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是将实际场景转化为三角形模型，利用三边关系求出未知边的取值范围再判断即可，掌握三角形三边关系是得分的关键。
【难度系数】
0.9
6.已知三条线段的长分别是5,5,m,若它们能构成三角形,则整数m的最大值是 (
A.11
B.10
C.9
D.7
C
)A.11
B.10
C.9
D.7
答案
6.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形三边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们需要先根据三边关系求出m的取值范围，再结合m是整数的条件，找出范围内的最大整数即可。需要注意的是，当两边之和等于第三边时，三条线段共线，无法构成三角形，因此要排除等于的情况。
【解析】
根据三角形三边关系：
1. 两边之差小于第三边：$5 - 5 ＜ m$，解得$m ＞ 0$；
2. 两边之和大于第三边：$5 + 5 ＞ m$，解得$m ＜ 10$。
综上，m的取值范围是$0 ＜ m ＜ 10$。
因为m为整数，所以m的最大值为9。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式的整数解
【点评】
本题是三角形边的关系的基础应用题，解题核心是准确运用三边关系列出不等式确定未知边的取值范围，易错点是忽略“两边之和等于第三边时不能构成三角形”的要求，误选10作为答案。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆三角形三边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们需要先根据三边关系求出m的取值范围，再结合m是整数的条件，找出范围内的最大整数即可。需要注意的是，当两边之和等于第三边时，三条线段共线，无法构成三角形，因此要排除等于的情况。
【解析】
根据三角形三边关系：
1. 两边之差小于第三边：$5 - 5 ＜ m$，解得$m ＞ 0$；
2. 两边之和大于第三边：$5 + 5 ＞ m$，解得$m ＜ 10$。
综上，m的取值范围是$0 ＜ m ＜ 10$。
因为m为整数，所以m的最大值为9。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式的整数解
【点评】
本题是三角形边的关系的基础应用题，解题核心是准确运用三边关系列出不等式确定未知边的取值范围，易错点是忽略“两边之和等于第三边时不能构成三角形”的要求，误选10作为答案。
【难度系数】
0.7
7.(2024－2025·六安期中)在$△ ABC$中，
$AB=4,AC=5,BC＜AB.$
(1)求$BC$的取值范围；
(2)若$BC$的长度是奇数，求$△ ABC$的周长.
$AB=4,AC=5,BC＜AB.$
(1)求$BC$的取值范围；
(2)若$BC$的长度是奇数，求$△ ABC$的周长.
答案
7.解:(1)在△ABC中,AC−AB＜BC＜AB+AC,AB=4,AC=5,即1＜BC＜9.又因为BC＜AB,所以1＜BC＜4.(2)因为1＜BC＜4,BC的长度是奇数,所以BC=3,所以△ABC的周长为AB+AC+BC=4+5+3=12.
解析
【分析】
(1) 求解BC的取值范围时，首先利用三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边、任意两边之和大于第三边，先求出BC的初步范围，再结合题目给出的BC＜AB的限制条件，最终确定BC的取值范围。
(2) 在第一问求出的BC取值范围内，筛选出长度为奇数的BC值，再根据三角形周长为三边长度之和，代入数值计算即可得到周长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，在△ABC中：
$AC - AB ＜ BC ＜ AB + AC$
已知$AB=4,AC=5$，代入得：
$5-4 ＜ BC ＜ 4+5$，即$1 ＜ BC ＜ 9$
又因为$BC ＜ AB$，$AB=4$，因此最终取值范围为：$1 ＜ BC ＜ 4$
(2) 由(1)可知$1 ＜ BC ＜ 4$，且BC的长度是奇数，满足条件的BC值为3，即$BC=3$
因此△ABC的周长为：
$AB + AC + BC = 4 + 5 + 3 = 12$
【答案】
(1) $1＜BC＜4$；(2) $12$
【知识点】
三角形三边关系、三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题时要注意留意题干给出的边长限制条件，避免忽略约束导致取值范围求解错误。
【难度系数】
0.8
(1) 求解BC的取值范围时，首先利用三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边、任意两边之和大于第三边，先求出BC的初步范围，再结合题目给出的BC＜AB的限制条件，最终确定BC的取值范围。
(2) 在第一问求出的BC取值范围内，筛选出长度为奇数的BC值，再根据三角形周长为三边长度之和，代入数值计算即可得到周长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，在△ABC中：
$AC - AB ＜ BC ＜ AB + AC$
已知$AB=4,AC=5$，代入得：
$5-4 ＜ BC ＜ 4+5$，即$1 ＜ BC ＜ 9$
又因为$BC ＜ AB$，$AB=4$，因此最终取值范围为：$1 ＜ BC ＜ 4$
(2) 由(1)可知$1 ＜ BC ＜ 4$，且BC的长度是奇数，满足条件的BC值为3，即$BC=3$
因此△ABC的周长为：
$AB + AC + BC = 4 + 5 + 3 = 12$
【答案】
(1) $1＜BC＜4$；(2) $12$
【知识点】
三角形三边关系、三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题时要注意留意题干给出的边长限制条件，避免忽略约束导致取值范围求解错误。
【难度系数】
0.8
8. 等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，
则此三角形的周长为 （
A.25 cm
B.20 cm
C.15 cm
D.20 cm或25 cm
则此三角形的周长为 （
A
）A.25 cm
B.20 cm
C.15 cm
D.20 cm或25 cm
答案
8.A
解析
【分析】
本题考查等腰三角形周长的计算，解题思路如下：首先，题干没有明确说明等腰三角形的腰长和底边长，所以需要分腰长为5cm、腰长为10cm两种情况讨论；其次，每种情况得出的三边长，都要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，不符合要求的情况要舍去，最后对符合条件的情况计算周长即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若腰长为5cm，则三角形三边长为5cm，5cm，10cm。
此时$5+5=10$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去；
② 若腰长为10cm，则三角形三边长为10cm，10cm，5cm。
此时$5+10＞10$，$10+10＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形，周长为$10+10+5=25\mathrm{cm}$。
综上，此三角形的周长为25cm，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础易错题，解题时容易忽略验证三边关系，直接默认两种情况都成立而错选D。解答此类未明确腰和底的等腰三角形问题时，一定要先分类讨论，再验证能否构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形周长的计算，解题思路如下：首先，题干没有明确说明等腰三角形的腰长和底边长，所以需要分腰长为5cm、腰长为10cm两种情况讨论；其次，每种情况得出的三边长，都要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，不符合要求的情况要舍去，最后对符合条件的情况计算周长即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若腰长为5cm，则三角形三边长为5cm，5cm，10cm。
此时$5+5=10$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去；
② 若腰长为10cm，则三角形三边长为10cm，10cm，5cm。
此时$5+10＞10$，$10+10＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形，周长为$10+10+5=25\mathrm{cm}$。
综上，此三角形的周长为25cm，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础易错题，解题时容易忽略验证三边关系，直接默认两种情况都成立而错选D。解答此类未明确腰和底的等腰三角形问题时，一定要先分类讨论，再验证能否构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
