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9.已知三角形的两边长分别是$a=3,b=7$,第三边长是$c$,且$a＜b＜c$,则$c$的取值范围是（
A.$4＜c＜7$
B.$7＜c＜10$
C.$4＜c＜10$
D.$7＜c＜13$
B
）A.$4＜c＜7$
B.$7＜c＜10$
C.$4＜c＜10$
D.$7＜c＜13$
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形三边的关系定理，再结合题目给出的$a＜b＜c$的附加条件综合判断$c$的取值范围：第一步先根据三角形三边关系求出第三边$c$的基础取值范围；第二步结合$c＞b$的限制条件，对基础范围进行筛选，最终得到符合要求的取值范围。
【解析】
首先根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$b - a ＜ c ＜ a + b$
代入$a=3,b=7$计算得：
$7-3 ＜ c ＜ 3+7$，即$4 ＜ c ＜ 10$
又因为题目给出条件$a ＜ b ＜ c$，可知$c ＞ b = 7$
将两个范围取交集，可得$7 ＜ c ＜ 10$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；不等式解集取交集
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略题干中$a ＜ b ＜ c$的限制条件，直接根据三边关系选C，审题时要注意提取所有限定条件，结合条件筛选取值范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形三边的关系定理，再结合题目给出的$a＜b＜c$的附加条件综合判断$c$的取值范围：第一步先根据三角形三边关系求出第三边$c$的基础取值范围；第二步结合$c＞b$的限制条件，对基础范围进行筛选，最终得到符合要求的取值范围。
【解析】
首先根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$b - a ＜ c ＜ a + b$
代入$a=3,b=7$计算得：
$7-3 ＜ c ＜ 3+7$，即$4 ＜ c ＜ 10$
又因为题目给出条件$a ＜ b ＜ c$，可知$c ＞ b = 7$
将两个范围取交集，可得$7 ＜ c ＜ 10$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；不等式解集取交集
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略题干中$a ＜ b ＜ c$的限制条件，直接根据三边关系选C，审题时要注意提取所有限定条件，结合条件筛选取值范围。
【难度系数】
0.7
10.(易错题)如图,点B,D,E,C在同一条直线上,AB=AC,AD=BD=DE=CE=AE,则下列说法不正确的是 (
A.△ADE为等边三角形
B.图中共有3个等腰三角形
C.图中共有6个三角形
D.含∠B的三角形有△ABD,△ABE,△ABC
（第10题图）
（第11题图）
B
)A.△ADE为等边三角形
B.图中共有3个等腰三角形
C.图中共有6个三角形
D.含∠B的三角形有△ABD,△ABE,△ABC
（第10题图）
（第11题图）
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先明确题干要求是选出说法不正确的选项，结合已知的边相等的条件，逐个对四个选项进行验证：①先根据等边三角形的定义判断A选项；②按顺序枚举所有等腰三角形判断B选项；③按“单个小三角形、两个组合、三个组合”的顺序计数三角形总数判断C选项；④找所有以B为顶点包含∠B的三角形判断D选项，最终得出不正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：已知$AD=DE=AE$，根据“三边相等的三角形是等边三角形”，可知$△ ADE$是等边三角形，A说法正确，不符合题意。
2. 验证选项B：等腰三角形是至少两边相等的三角形，结合已知条件找等腰三角形：
$AD=BD$，故$△ ABD$是等腰三角形；
$AD=DE=AE$，故$△ ADE$是等边三角形，属于特殊的等腰三角形；
$AE=CE$，故$△ AEC$是等腰三角形；
$AB=AC$，故$△ ABC$是等腰三角形；
共4个等腰三角形，B说法“共有3个等腰三角形”错误，符合题意。
3. 验证选项C：按从小到大的顺序计数三角形：
单个小三角形：$△ ABD$、$△ ADE$、$△ AEC$，共3个；
两个小三角形组合：$△ ABE$、$△ ADC$，共2个；
三个小三角形组合：$△ ABC$，共1个；
总计$3+2+1=6$个，C说法正确，不符合题意。
4. 验证选项D：含$∠ B$的三角形，即$∠ B$为其内角的三角形，分别为$△ ABD$、$△ ABE$、$△ ABC$，共3个，D说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形判定，三角形计数，等边三角形判定
【点评】
本题属于易错题，解题时注意不要漏记等边三角形是特殊的等腰三角形，计数三角形时要按固定顺序枚举，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题干要求是选出说法不正确的选项，结合已知的边相等的条件，逐个对四个选项进行验证：①先根据等边三角形的定义判断A选项；②按顺序枚举所有等腰三角形判断B选项；③按“单个小三角形、两个组合、三个组合”的顺序计数三角形总数判断C选项；④找所有以B为顶点包含∠B的三角形判断D选项，最终得出不正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：已知$AD=DE=AE$，根据“三边相等的三角形是等边三角形”，可知$△ ADE$是等边三角形，A说法正确，不符合题意。
2. 验证选项B：等腰三角形是至少两边相等的三角形，结合已知条件找等腰三角形：
$AD=BD$，故$△ ABD$是等腰三角形；
$AD=DE=AE$，故$△ ADE$是等边三角形，属于特殊的等腰三角形；
$AE=CE$，故$△ AEC$是等腰三角形；
$AB=AC$，故$△ ABC$是等腰三角形；
共4个等腰三角形，B说法“共有3个等腰三角形”错误，符合题意。
3. 验证选项C：按从小到大的顺序计数三角形：
单个小三角形：$△ ABD$、$△ ADE$、$△ AEC$，共3个；
两个小三角形组合：$△ ABE$、$△ ADC$，共2个；
三个小三角形组合：$△ ABC$，共1个；
总计$3+2+1=6$个，C说法正确，不符合题意。
4. 验证选项D：含$∠ B$的三角形，即$∠ B$为其内角的三角形，分别为$△ ABD$、$△ ABE$、$△ ABC$，共3个，D说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形判定，三角形计数，等边三角形判定
【点评】
本题属于易错题，解题时注意不要漏记等边三角形是特殊的等腰三角形，计数三角形时要按固定顺序枚举，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
11.如图，AB=6，AD=5，BC=3，CD=12，则BD的长可能是（
A.8
B.9
C.10
D.11
C
）A.8
B.9
C.10
D.11
答案
11.C
解析
【分析】
要确定BD的可能长度，需结合BD所在的两个三角形△ABD、△BCD，分别利用三角形三边关系求出BD的取值范围，再取两个范围的公共部分，最终匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
1. 在△ABD中，AB=6，AD=5，因此：
$AB - AD ＜ BD ＜ AB + AD$
代入数值得：$6-5 ＜ BD ＜ 6+5$，即$1 ＜ BD ＜ 11$。
2. 在△BCD中，BC=3，CD=12，因此：
$CD - BC ＜ BD ＜ CD + BC$
代入数值得：$12-3 ＜ BD ＜ 12+3$，即$9 ＜ BD ＜ 15$。
3. 取两个取值范围的公共部分，可得BD的取值范围为$9 ＜ BD ＜ 11$。
观察选项，只有10满足该范围，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形三边关系的实际应用，解题的关键是注意BD同时属于两个三角形，需同时满足两个三角形的三边限制，尤其要注意第三边的范围是严格大于两边之差、严格小于两边之和，不可取等号。
【难度系数】
0.7
要确定BD的可能长度，需结合BD所在的两个三角形△ABD、△BCD，分别利用三角形三边关系求出BD的取值范围，再取两个范围的公共部分，最终匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
1. 在△ABD中，AB=6，AD=5，因此：
$AB - AD ＜ BD ＜ AB + AD$
代入数值得：$6-5 ＜ BD ＜ 6+5$，即$1 ＜ BD ＜ 11$。
2. 在△BCD中，BC=3，CD=12，因此：
$CD - BC ＜ BD ＜ CD + BC$
代入数值得：$12-3 ＜ BD ＜ 12+3$，即$9 ＜ BD ＜ 15$。
3. 取两个取值范围的公共部分，可得BD的取值范围为$9 ＜ BD ＜ 11$。
观察选项，只有10满足该范围，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形三边关系的实际应用，解题的关键是注意BD同时属于两个三角形，需同时满足两个三角形的三边限制，尤其要注意第三边的范围是严格大于两边之差、严格小于两边之和，不可取等号。
【难度系数】
0.7
12.若$△ ABC$的三条边长分别是$a,b,c$,则化简$|a-b-c|-|a+c-b|$的结果是
2b−2a
.答案
12.2b−2a
解析
【分析】
要化简这个含绝对值的式子，首先需要根据三角形三边关系判断每个绝对值内代数式的正负，再结合绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果。第一步，回忆三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此判断$a-b-c$和$a+c-b$的正负；第二步，根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号；第三步，去括号合并同类项得到化简结果。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$b+c＞a$，$a+c＞b$
∴ $a-b-c=a-(b+c)＜0$，$a+c-b＞0$
根据绝对值的性质化简：
$|a-b-c|-|a+c-b|$
$=-(a-b-c)-(a+c-b)$
$=-a+b+c -a -c +b$
$=2b-2a$
【答案】
$2b-2a$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减
【点评】
本题是三角形三边关系与代数式化简的综合题型，解题的核心是先利用三角形三边关系确定绝对值内式子的正负，再正确去绝对值进行整式运算，计算时注意去括号的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
要化简这个含绝对值的式子，首先需要根据三角形三边关系判断每个绝对值内代数式的正负，再结合绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果。第一步，回忆三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此判断$a-b-c$和$a+c-b$的正负；第二步，根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号；第三步，去括号合并同类项得到化简结果。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$b+c＞a$，$a+c＞b$
∴ $a-b-c=a-(b+c)＜0$，$a+c-b＞0$
根据绝对值的性质化简：
$|a-b-c|-|a+c-b|$
$=-(a-b-c)-(a+c-b)$
$=-a+b+c -a -c +b$
$=2b-2a$
【答案】
$2b-2a$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减
【点评】
本题是三角形三边关系与代数式化简的综合题型，解题的核心是先利用三角形三边关系确定绝对值内式子的正负，再正确去绝对值进行整式运算，计算时注意去括号的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
13.已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，$a=4$，$b=6$，且$△ ABC$的周长是小于18的偶数。
(1)求$c$的值；
(2)判断$△ ABC$的形状。
(1)求$c$的值；
(2)判断$△ ABC$的形状。
答案
13.解:(1)因为a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,所以6−4＜c＜6+4,即2＜c＜10.因为△ABC的周长是小于18的偶数,所以a+b+c=10+c＜18.所以2＜c＜8,且c为偶数.所以c=4或6.(2)当c=4或6时,△ABC的形状都是等腰三角形.
解析
【分析】
解题时先从三角形三边关系入手，先确定边长c的初步取值范围；再结合题目给出的“周长是小于18的偶数”这一限制条件，进一步缩小c的取值范围，筛选出符合要求的c值；第二问根据得到的三边长，判断是否有两边相等，即可确定三角形的形状。
【解析】
(1) 已知a、b、c是△ABC的三边长，a=4，b=6，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
$6-4＜c＜6+4$，即$2＜c＜10$。
已知△ABC的周长是小于18的偶数，周长为$a+b+c=4+6+c=10+c$，因此：
$10+c＜18$，解得$c＜8$。
结合$2＜c＜10$，可得c的取值范围为$2＜c＜8$。
又因为周长$10+c$是偶数，10为偶数，因此c必须为偶数，所以符合条件的c的值为4或6。
(2) 当$c=4$时，三边长为4、6、4，其中$a=c=4$，有两条边相等；
当$c=6$时，三边长为4、6、6，其中$b=c=6$，有两条边相等；
因此两种情况下△ABC都是等腰三角形。
【答案】
(1) $c=4$或$6$；
(2) $△ ABC$是等腰三角形。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 等腰三角形判定
【点评】
本题是三角形边长相关的基础题，解题的关键是准确运用三角形三边关系，同时不要遗漏周长的数值限制、奇偶性限制等隐含条件，避免出现多解漏解的情况。
【难度系数】
0.8
解题时先从三角形三边关系入手，先确定边长c的初步取值范围；再结合题目给出的“周长是小于18的偶数”这一限制条件，进一步缩小c的取值范围，筛选出符合要求的c值；第二问根据得到的三边长，判断是否有两边相等，即可确定三角形的形状。
【解析】
(1) 已知a、b、c是△ABC的三边长，a=4，b=6，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
$6-4＜c＜6+4$，即$2＜c＜10$。
已知△ABC的周长是小于18的偶数，周长为$a+b+c=4+6+c=10+c$，因此：
$10+c＜18$，解得$c＜8$。
结合$2＜c＜10$，可得c的取值范围为$2＜c＜8$。
又因为周长$10+c$是偶数，10为偶数，因此c必须为偶数，所以符合条件的c的值为4或6。
(2) 当$c=4$时，三边长为4、6、4，其中$a=c=4$，有两条边相等；
当$c=6$时，三边长为4、6、6，其中$b=c=6$，有两条边相等；
因此两种情况下△ABC都是等腰三角形。
【答案】
(1) $c=4$或$6$；
(2) $△ ABC$是等腰三角形。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 等腰三角形判定
【点评】
本题是三角形边长相关的基础题，解题的关键是准确运用三角形三边关系，同时不要遗漏周长的数值限制、奇偶性限制等隐含条件，避免出现多解漏解的情况。
【难度系数】
0.8
14.(教材P65例1变式)已知等腰三角形的周长为18 cm,其中一边比另一边长6 cm,求三角形各边的长.
答案
14.解:设腰长为x cm.分两种情况讨论:①当底边长大于腰长时,底边长为(x+6)cm.由题意,得2x+(x+6)=18,解得x=4.所以x+6=10.所以腰长为4 cm,底边长为10 cm.因为4+4＜10,所以不能围成腰长为4 cm的等腰三角形;②当底边长小于腰长时,底边长为(x−6)cm.由题意,得2x+x−6=18,解得x=8.所以x−6=2.所以腰长为8 cm,底边长为2 cm.因为2+8＞8,所以能围成腰长为8 cm的等腰三角形.综上所述,三角形各边的长分别为8 cm,8 cm,2 cm.
解析
【分析】
本题是等腰三角形周长的计算问题，解题思路如下：首先，等腰三角形的边分为腰和底边两类，题目仅说明“一边比另一边长6cm”，未明确是底边长于腰还是腰长于底，因此需要分两种情况分类讨论；其次，设腰长为未知数，根据两种情况分别表示出底边的长度，再结合周长为18cm列一元一次方程求解；最后，求出边长后必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证能否构成三角形，不符合的结果要舍去。
【解析】
解：设腰长为$x$ cm，分两种情况讨论：
① 当底边长大于腰长时，底边长为$(x+6)$cm。
根据周长为18cm列方程：$2x + (x+6) = 18$
解得$x=4$，此时底边长为$4+6=10$cm，三边长为4cm，4cm，10cm。
$\because 4+4＜10$，不满足三角形三边关系，$\therefore$ 该情况舍去，不能构成三角形。
② 当底边长小于腰长时，底边长为$(x-6)$cm。
根据周长为18cm列方程：$2x + (x-6) = 18$
解得$x=8$，此时底边长为$8-6=2$cm，三边长为8cm，8cm，2cm。
$\because 2+8＞8$，满足三角形三边关系，$\therefore$ 该情况成立。
综上所述，三角形各边的长为8cm，8cm，2cm。
【答案】
8 cm，8 cm，2 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的常见题型，易错点有两个：一是未考虑两种边长大小情况，遗漏分类讨论；二是求解后没有验证三边关系，把不能构成三角形的结果也纳入答案，解题时要注意规避这两个错误。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形周长的计算问题，解题思路如下：首先，等腰三角形的边分为腰和底边两类，题目仅说明“一边比另一边长6cm”，未明确是底边长于腰还是腰长于底，因此需要分两种情况分类讨论；其次，设腰长为未知数，根据两种情况分别表示出底边的长度，再结合周长为18cm列一元一次方程求解；最后，求出边长后必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证能否构成三角形，不符合的结果要舍去。
【解析】
解：设腰长为$x$ cm，分两种情况讨论：
① 当底边长大于腰长时，底边长为$(x+6)$cm。
根据周长为18cm列方程：$2x + (x+6) = 18$
解得$x=4$，此时底边长为$4+6=10$cm，三边长为4cm，4cm，10cm。
$\because 4+4＜10$，不满足三角形三边关系，$\therefore$ 该情况舍去，不能构成三角形。
② 当底边长小于腰长时，底边长为$(x-6)$cm。
根据周长为18cm列方程：$2x + (x-6) = 18$
解得$x=8$，此时底边长为$8-6=2$cm，三边长为8cm，8cm，2cm。
$\because 2+8＞8$，满足三角形三边关系，$\therefore$ 该情况成立。
综上所述，三角形各边的长为8cm，8cm，2cm。
【答案】
8 cm，8 cm，2 cm
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的常见题型，易错点有两个：一是未考虑两种边长大小情况，遗漏分类讨论；二是求解后没有验证三边关系，把不能构成三角形的结果也纳入答案，解题时要注意规避这两个错误。
【难度系数】
0.6
15.如图，D为$△ ABC$内一点，两只猴子同时以相同的速度行走，甲猴沿$B→D→C$的线路，乙猴沿$B→A→C$的线路，则哪只猴子先到达C地？
答案
15.解:延长BD,交AC于点H.甲猴沿B→D→C的线路走的路程为BD+DC,乙猴沿B→A→C的线路走的路程为AB+AC.因为AB+AH＞BD+DH,CH＞DC−DH,所以AB+AH+CH＞BD+DH+DC−DH,即AB+AC＞BD+DC.因为两只猴子同时以相同的速度行走,所以甲猴先到达C地.
解析
【分析】
两只猴子速度相同，所以先到达C地的是路程更短的猴子，因此问题转化为比较路线长度$AB+AC$和$BD+DC$的大小。根据三角形三边关系，我们需要将待比较的线段拆分到不同三角形中，故考虑延长BD交AC于点H，分别在两个三角形中应用三边关系得到不等式，再对不等式相加化简即可得到两条路线的长度关系。
【解析】
解：延长BD，交AC于点H。
甲猴走的路程为$ BD + DC $，乙猴走的路程为$ AB + AC $。
在$△ ABH$中，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得：
$ AB + AH ＞ BH = BD + DH $ ①
在$△ CDH$中，同理得：
$ DH + CH ＞ DC $，变形可得$ CH ＞ DC - DH $ ②
将①和②左右两边分别相加，得：
$ AB + AH + CH ＞ BD + DH + DC - DH $
化简得$ AB + AC ＞ BD + DC $。
因为两只猴子速度相同，路程越短用时越少，所以甲猴用时更短。
【答案】
甲猴先到达C地
【知识点】
1.三角形三边关系
2.不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用，解题的核心是通过构造辅助线，将内部线段与三角形边长关联起来，结合不等式变形得到线段大小关系，体现了几何中的转化思想，掌握辅助线的构造思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
两只猴子速度相同，所以先到达C地的是路程更短的猴子，因此问题转化为比较路线长度$AB+AC$和$BD+DC$的大小。根据三角形三边关系，我们需要将待比较的线段拆分到不同三角形中，故考虑延长BD交AC于点H，分别在两个三角形中应用三边关系得到不等式，再对不等式相加化简即可得到两条路线的长度关系。
【解析】
解：延长BD，交AC于点H。
甲猴走的路程为$ BD + DC $，乙猴走的路程为$ AB + AC $。
在$△ ABH$中，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得：
$ AB + AH ＞ BH = BD + DH $ ①
在$△ CDH$中，同理得：
$ DH + CH ＞ DC $，变形可得$ CH ＞ DC - DH $ ②
将①和②左右两边分别相加，得：
$ AB + AH + CH ＞ BD + DH + DC - DH $
化简得$ AB + AC ＞ BD + DC $。
因为两只猴子速度相同，路程越短用时越少，所以甲猴用时更短。
【答案】
甲猴先到达C地
【知识点】
1.三角形三边关系
2.不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用，解题的核心是通过构造辅助线，将内部线段与三角形边长关联起来，结合不等式变形得到线段大小关系，体现了几何中的转化思想，掌握辅助线的构造思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
