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1.在$△ ABC$中，$∠ A=40°$，$∠ B=80°$，则$∠ C$的度数是 （
A.$60°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$70°$
A
）A.$60°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$70°$
答案
1.A
解析
【分析】
拿到本题，已知三角形的两个内角度数，求第三个内角，首先回忆三角形内角和定理：三角形的三个内角之和为180°。解题时只需用180°减去已知的两个内角的度数，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形的三个内角和为180°，因此有：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B$
将$∠ A=40°$，$∠ B=80°$代入上式，可得：
$∠ C = 180° - 40° - 80° = 60°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，考查三角形内角和定理的直接应用，计算量小，只要牢记定理内容、计算准确即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
拿到本题，已知三角形的两个内角度数，求第三个内角，首先回忆三角形内角和定理：三角形的三个内角之和为180°。解题时只需用180°减去已知的两个内角的度数，即可求出∠C的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形的三个内角和为180°，因此有：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B$
将$∠ A=40°$，$∠ B=80°$代入上式，可得：
$∠ C = 180° - 40° - 80° = 60°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，考查三角形内角和定理的直接应用，计算量小，只要牢记定理内容、计算准确即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2.如图，在△ABC中，∠B=70°，∠ACB=50°，CD//AB，则∠ACD的度数是（
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
B
）A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
答案
2.B
解析
【分析】
要计算∠ACD的度数，首先观察到CD//AB，根据平行线的性质，两直线平行内错角相等，可得∠ACD=∠CAB，因此只需要先求出△ABC中∠CAB的度数即可。已知△ABC中两个内角的度数，结合三角形内角和为180°，就可以算出∠CAB的度数，进而得到∠ACD的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 70° - 50° = 60°$
∵ $CD// AB$
∴ $∠ ACD = ∠ A = 60°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将三角形内角和与平行线的性质结合考察，解题关键是找到待求角和已知角之间的关联，难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算∠ACD的度数，首先观察到CD//AB，根据平行线的性质，两直线平行内错角相等，可得∠ACD=∠CAB，因此只需要先求出△ABC中∠CAB的度数即可。已知△ABC中两个内角的度数，结合三角形内角和为180°，就可以算出∠CAB的度数，进而得到∠ACD的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 70° - 50° = 60°$
∵ $CD// AB$
∴ $∠ ACD = ∠ A = 60°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将三角形内角和与平行线的性质结合考察，解题关键是找到待求角和已知角之间的关联，难度较低。
【难度系数】
0.8
3.如图，AC，BD相交于点O，连接AB，CD。若∠D=80°，∠C=30°，∠A=75°，则∠B的度数是（
A.$35°$
B.$30°$
C.$25°$
D.$20°$
A
）A.$35°$
B.$30°$
C.$25°$
D.$20°$
答案
3.A
解析
【分析】
解题思路：首先观察图形可知AC与BD交于点O，形成对顶角∠AOB和∠COD，根据对顶角的性质可知二者相等。再结合三角形内角和为180°，可得△AOB和△COD的内角和均为180°，因此可推导出两个三角形中除对顶角外剩余两个角的和相等，即∠A+∠B=∠C+∠D，代入已知角度即可求出∠B的度数，也可先算出对顶角度数，再代入△AOB计算∠B。
【解析】
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°，
消去相等的角可得：∠A+∠B=∠C+∠D，
代入已知角度∠D=80°，∠C=30°，∠A=75°，
得75°+∠B=30°+80°，
解得∠B=35°。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用对顶角相等建立两个三角形内角的等量关系，结合三角形内角和性质即可快速求解，属于对基础几何性质应用的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察图形可知AC与BD交于点O，形成对顶角∠AOB和∠COD，根据对顶角的性质可知二者相等。再结合三角形内角和为180°，可得△AOB和△COD的内角和均为180°，因此可推导出两个三角形中除对顶角外剩余两个角的和相等，即∠A+∠B=∠C+∠D，代入已知角度即可求出∠B的度数，也可先算出对顶角度数，再代入△AOB计算∠B。
【解析】
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°，
消去相等的角可得：∠A+∠B=∠C+∠D，
代入已知角度∠D=80°，∠C=30°，∠A=75°，
得75°+∠B=30°+80°，
解得∠B=35°。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用对顶角相等建立两个三角形内角的等量关系，结合三角形内角和性质即可快速求解，属于对基础几何性质应用的常规考查。
【难度系数】
0.8
4.已知△ABC的三个内角的度数比为∠A：∠B：∠C=2：3：5，则△ABC中最大的内角度数为
90°
。答案
4.90°
解析
【分析】
本题已知三角形三个内角的度数比，要求最大内角度数，首先用到三角形内角和为180°的核心性质。遇到比例关系时，我们可以先设每份角度为未知数x，将三个内角分别用含x的式子表示，再根据内角和为180°列方程求出x的数值，最后计算占比最高的角的度数即可。
【解析】
解：
∵三角形内角和为180°，且∠A:∠B:∠C=2:3:5
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x（x＞0）
根据三角形内角和定理列方程：
$2x + 3x + 5x = 180°$
合并同类项得：$10x = 180°$
解得：$x=18°$
最大内角为占5份的∠C，代入得：
$∠ C=5x=5×18°=90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，解题关键是熟练掌握三角形内角和为180°的性质，结合比例设未知数列方程即可求解，主要考查学生对基础定理的应用能力和简单计算能力。
【难度系数】
0.9
本题已知三角形三个内角的度数比，要求最大内角度数，首先用到三角形内角和为180°的核心性质。遇到比例关系时，我们可以先设每份角度为未知数x，将三个内角分别用含x的式子表示，再根据内角和为180°列方程求出x的数值，最后计算占比最高的角的度数即可。
【解析】
解：
∵三角形内角和为180°，且∠A:∠B:∠C=2:3:5
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x（x＞0）
根据三角形内角和定理列方程：
$2x + 3x + 5x = 180°$
合并同类项得：$10x = 180°$
解得：$x=18°$
最大内角为占5份的∠C，代入得：
$∠ C=5x=5×18°=90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，解题关键是熟练掌握三角形内角和为180°的性质，结合比例设未知数列方程即可求解，主要考查学生对基础定理的应用能力和简单计算能力。
【难度系数】
0.9
5.如图,考古学家发现在地下A处有一座古墓,古墓上方是煤气管道,为了不影响管道,准备在B和C处开工挖出“V”字形通道.若$∠ DBA=120°,∠ ECA=125°$,则$∠ A$的度数是
65°
.答案
5.65°
解析
【分析】
首先观察图形可知，点D、B、C、E在同一条直线上，因此可利用平角为180°的性质，先求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，即可计算出∠A的度数。
【解析】
∵ 点D、B、C、E在同一直线上，平角为180°
∴ ∠ABC = 180° - ∠DBA = 180° - 120° = 60°
∠ACB = 180° - ∠ECA = 180° - 125° = 55°
在△ABC中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°
∴ ∠A = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 55° = 65°
【答案】
65°
【知识点】
平角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的核心是明确平角的度数和三角形内角和的规律，只要理清图中角的和差关系即可正确求解。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知，点D、B、C、E在同一条直线上，因此可利用平角为180°的性质，先求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，即可计算出∠A的度数。
【解析】
∵ 点D、B、C、E在同一直线上，平角为180°
∴ ∠ABC = 180° - ∠DBA = 180° - 120° = 60°
∠ACB = 180° - ∠ECA = 180° - 125° = 55°
在△ABC中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°
∴ ∠A = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 55° = 65°
【答案】
65°
【知识点】
平角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的核心是明确平角的度数和三角形内角和的规律，只要理清图中角的和差关系即可正确求解。
【难度系数】
0.8
6.（教材 P72 习题 T5 变式）在$△ ABC$中，$∠ B=3∠ A$，$∠ C=∠ B+40°$，求$△ ABC$中各角的度数。
答案
6.解:因为∠B=3∠A,∠C=∠B+40°,所以∠C=3∠A+40°.因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+3∠A+3∠A+40°=180°.所以∠A=20°.所以∠B=3∠A=60°,∠C=∠B+40°=100°.
解析
【分析】
本题要求三角形三个内角的度数，解题核心是利用三角形内角和为180°的性质求解。观察已知条件，三个角之间存在明确的等量关系：∠B与∠A相关，∠C与∠B相关，因此我们可以将∠A作为基础未知量，把∠B、∠C都转化为含∠A的表达式，再代入三角形内角和公式，即可得到只含∠A的一元一次方程，解出∠A后，再根据角的等量关系依次算出∠B和∠C的度数。
【解析】
解：因为∠B=3∠A，∠C=∠B+40°，所以将∠B替换为3∠A，可得：
$∠ C=3∠ A+40°$
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为$180°$，即：
$∠ A+∠ B+∠ C=180°$
将$∠ B=3∠ A$、$∠ C=3∠ A+40°$代入上式，得：
$∠ A+3∠ A+3∠ A+40°=180°$
合并同类项得：$7∠ A + 40° = 180°$
移项计算得：$7∠ A=140°$，解得$∠ A=20°$
将$∠ A=20°$代入$∠ B=3∠ A$，得$∠ B=3×20°=60°$
将$∠ B=60°$代入$∠ C=∠ B+40°$，得$∠ C=60°+40°=100°$
【答案】
$∠ A=20°$，$∠ B=60°$，$∠ C=100°$
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.角度和差计算
3.一元一次方程的应用
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题关键是通过已知的角的等量关系，将三个内角统一用同一个未知量表示，再结合三角形内角和列方程求解，这种设未知数列方程的方法是解决几何角度计算问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题要求三角形三个内角的度数，解题核心是利用三角形内角和为180°的性质求解。观察已知条件，三个角之间存在明确的等量关系：∠B与∠A相关，∠C与∠B相关，因此我们可以将∠A作为基础未知量，把∠B、∠C都转化为含∠A的表达式，再代入三角形内角和公式，即可得到只含∠A的一元一次方程，解出∠A后，再根据角的等量关系依次算出∠B和∠C的度数。
【解析】
解：因为∠B=3∠A，∠C=∠B+40°，所以将∠B替换为3∠A，可得：
$∠ C=3∠ A+40°$
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为$180°$，即：
$∠ A+∠ B+∠ C=180°$
将$∠ B=3∠ A$、$∠ C=3∠ A+40°$代入上式，得：
$∠ A+3∠ A+3∠ A+40°=180°$
合并同类项得：$7∠ A + 40° = 180°$
移项计算得：$7∠ A=140°$，解得$∠ A=20°$
将$∠ A=20°$代入$∠ B=3∠ A$，得$∠ B=3×20°=60°$
将$∠ B=60°$代入$∠ C=∠ B+40°$，得$∠ C=60°+40°=100°$
【答案】
$∠ A=20°$，$∠ B=60°$，$∠ C=100°$
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.角度和差计算
3.一元一次方程的应用
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题关键是通过已知的角的等量关系，将三个内角统一用同一个未知量表示，再结合三角形内角和列方程求解，这种设未知数列方程的方法是解决几何角度计算问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，$∠ 1 = ∠ 2$，$∠ C = 65°$，求$∠ BAC$的度数。
答案
7.解:因为$AD ⊥ BC$,所以$∠ADB=90°$.因为$∠1+∠2+∠ADB=180°,∠1=∠2$,所以$2∠2=90°$.所以$∠2=45°$.因为$∠C=65°$,所以$∠BAC=180°-∠2-∠C=70°$.
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，首先得到△ABD中的直角，再结合三角形内角和为180°以及∠1=∠2的已知条件，先求出∠2的度数，最后利用△ABC的内角和为180°，减去已知的∠2和∠C的度数，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB=90°（垂直的定义）。
在△ABD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠1 + ∠2 + ∠ADB = 180°，
又
∵∠1=∠2（已知），
∴2∠2 + 90° = 180°，
解得∠2=45°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC + ∠2 + ∠C = 180°，
已知∠C=65°，
∴∠BAC = 180° - 45° - 65° = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
三角形内角和定理，垂直的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是结合垂直性质和三角形内角和定理逐步推导未知角的度数，主要考察学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的垂直条件入手，首先得到△ABD中的直角，再结合三角形内角和为180°以及∠1=∠2的已知条件，先求出∠2的度数，最后利用△ABC的内角和为180°，减去已知的∠2和∠C的度数，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC（已知），
∴∠ADB=90°（垂直的定义）。
在△ABD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠1 + ∠2 + ∠ADB = 180°，
又
∵∠1=∠2（已知），
∴2∠2 + 90° = 180°，
解得∠2=45°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC + ∠2 + ∠C = 180°，
已知∠C=65°，
∴∠BAC = 180° - 45° - 65° = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
三角形内角和定理，垂直的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题的关键是结合垂直性质和三角形内角和定理逐步推导未知角的度数，主要考察学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
8.若一个三角形的三个内角分别为54°,38°,88°,则这个三角形是 （
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
A
）A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
答案
8.A
解析
【分析】
解题首先要明确三角形按角分类的判定规则：只需判断三角形最大内角的类型，若最大内角是锐角（小于90°），则三角形为锐角三角形；若最大内角是直角（等于90°），则为直角三角形；若最大内角是钝角（大于90°），则为钝角三角形。首先先找出题干给出的三个内角中的最大值，再判断该角的类型，即可对应得到三角形的类别。
【解析】
首先比较三个内角的大小：$38°＜54°＜88°$，可得该三角形的最大内角为$88°$。
因为$88°＜90°$，属于锐角，即该三角形的三个内角均为锐角。
根据锐角三角形的定义：三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，因此该三角形是锐角三角形。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形按角分类；锐角三角形判定
【点评】
本题是三角形角的分类的基础考查题，解题核心是通过最大内角的类型判断三角形类别，牢记分类标准即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确三角形按角分类的判定规则：只需判断三角形最大内角的类型，若最大内角是锐角（小于90°），则三角形为锐角三角形；若最大内角是直角（等于90°），则为直角三角形；若最大内角是钝角（大于90°），则为钝角三角形。首先先找出题干给出的三个内角中的最大值，再判断该角的类型，即可对应得到三角形的类别。
【解析】
首先比较三个内角的大小：$38°＜54°＜88°$，可得该三角形的最大内角为$88°$。
因为$88°＜90°$，属于锐角，即该三角形的三个内角均为锐角。
根据锐角三角形的定义：三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，因此该三角形是锐角三角形。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形按角分类；锐角三角形判定
【点评】
本题是三角形角的分类的基础考查题，解题核心是通过最大内角的类型判断三角形类别，牢记分类标准即可快速解答。
【难度系数】
0.9
9.观察如图所示的四个三角形.
其中锐角三角形是
其中锐角三角形是
③
，直角三角形是①④
，钝角三角形是②
.(填序号)答案
9.③ ①④ ②
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确三角形按角分类的判断标准：首先观察图形中是否有直角符号，有直角符号的就是直角三角形；没有直角符号的，再判断是否存在大于90°的钝角，有钝角的就是钝角三角形；三个角都小于90°的是锐角三角形，接下来按照这个标准逐个判断四个三角形即可。
【解析】
三角形按角的大小分为三类：
1. 锐角三角形：三个内角都小于90°（都是锐角）的三角形；
2. 直角三角形：有一个内角等于90°（是直角）的三角形，图形上通常用直角符号标注直角；
3. 钝角三角形：有一个内角大于90°且小于180°（是钝角）的三角形。
逐个分析图形：
图①标注有直角符号，存在直角，属于直角三角形；
图②有一个内角明显大于90°，是钝角，属于钝角三角形；
图③三个内角都小于90°，都是锐角，属于锐角三角形；
图④标注有直角符号，存在直角，属于直角三角形。
【答案】
③；①④；②
【知识点】
三角形按角分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握不同类型三角形的定义，结合图形的明显特征就能快速得出正确结果，解题时注意不要漏看直角符号。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确三角形按角分类的判断标准：首先观察图形中是否有直角符号，有直角符号的就是直角三角形；没有直角符号的，再判断是否存在大于90°的钝角，有钝角的就是钝角三角形；三个角都小于90°的是锐角三角形，接下来按照这个标准逐个判断四个三角形即可。
【解析】
三角形按角的大小分为三类：
1. 锐角三角形：三个内角都小于90°（都是锐角）的三角形；
2. 直角三角形：有一个内角等于90°（是直角）的三角形，图形上通常用直角符号标注直角；
3. 钝角三角形：有一个内角大于90°且小于180°（是钝角）的三角形。
逐个分析图形：
图①标注有直角符号，存在直角，属于直角三角形；
图②有一个内角明显大于90°，是钝角，属于钝角三角形；
图③三个内角都小于90°，都是锐角，属于锐角三角形；
图④标注有直角符号，存在直角，属于直角三角形。
【答案】
③；①④；②
【知识点】
三角形按角分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握不同类型三角形的定义，结合图形的明显特征就能快速得出正确结果，解题时注意不要漏看直角符号。
【难度系数】
0.9
10. 在锐角三角形中,最大角α的取值范围是 （
A.$0° ＜ α ＜ 90°$
B.$60° ＜ α ＜ 90°$
C.$60° ＜ α ＜ 180°$
D.$60° ≤ α ＜ 90°$
D
）A.$0° ＜ α ＜ 90°$
B.$60° ＜ α ＜ 90°$
C.$60° ＜ α ＜ 180°$
D.$60° ≤ α ＜ 90°$
答案
10.D
解析
【分析】
解题时可分两步推导：第一步先结合锐角三角形的定义确定最大角的上限，第二步结合三角形内角和定理确定最大角的下限，还要注意特殊情况等边三角形也是锐角三角形，避免遗漏等号的情况。首先，锐角三角形要求所有内角都小于90°，因此最大角α必然小于90°；其次，若最大角小于60°，则三个内角的和会小于180°，不符合三角形内角和为180°的定理，因此最大角最小为60°，当三角形是等边三角形时，三个角都是60°，满足锐角三角形的要求。
【解析】
① 根据锐角三角形的定义：锐角三角形的三个内角都为锐角（即小于90°），因此最大角α ＜ 90°；
② 根据三角形内角和为180°：假设最大角α ＜ 60°，则三角形的三个内角都小于60°，三个内角的和就会小于60°×3=180°，不符合三角形内角和定理，因此α ≥ 60°；
综合可得：60° ≤ α ＜ 90°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角形的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角的关系的基础题型，易错点是容易忽略等边三角形这种特殊的锐角三角形，误将下限定为60°＜α，从而错选B选项，解题时要注意结合特殊情况验证结论。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步推导：第一步先结合锐角三角形的定义确定最大角的上限，第二步结合三角形内角和定理确定最大角的下限，还要注意特殊情况等边三角形也是锐角三角形，避免遗漏等号的情况。首先，锐角三角形要求所有内角都小于90°，因此最大角α必然小于90°；其次，若最大角小于60°，则三个内角的和会小于180°，不符合三角形内角和为180°的定理，因此最大角最小为60°，当三角形是等边三角形时，三个角都是60°，满足锐角三角形的要求。
【解析】
① 根据锐角三角形的定义：锐角三角形的三个内角都为锐角（即小于90°），因此最大角α ＜ 90°；
② 根据三角形内角和为180°：假设最大角α ＜ 60°，则三角形的三个内角都小于60°，三个内角的和就会小于60°×3=180°，不符合三角形内角和定理，因此α ≥ 60°；
综合可得：60° ≤ α ＜ 90°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角形的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角的关系的基础题型，易错点是容易忽略等边三角形这种特殊的锐角三角形，误将下限定为60°＜α，从而错选B选项，解题时要注意结合特殊情况验证结论。
【难度系数】
0.7
